中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：中考試題中三角板問題的歸類探析

中考試題中三角板問題的歸類探析三角板的拼擺、疊放、平移、旋轉(zhuǎn)，能使圖形千變?nèi)f化，運(yùn)動(dòng)著的三角板中蘊(yùn)含著深厚的數(shù)學(xué)知識(shí)，這成為中考數(shù)學(xué)的一道亮麗風(fēng)景，三角板問題操作性強(qiáng)，能較好地考查學(xué)生各種綜合運(yùn)用能力，同時(shí)也充分體現(xiàn)了新課標(biāo)“動(dòng)手實(shí)踐和探究創(chuàng)新”的能力要求．下面就近幾年中考數(shù)學(xué)中涉及到的三角板問題進(jìn)行歸納整理和分類，并作簡(jiǎn)要賞析，以供參考．一、三角板的拼擺1．求拼出的圖形中角的度數(shù)例1一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小聰將一副三角板按圖1中方式疊放，則∠α等于()．(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°簡(jiǎn)析在解答例1時(shí)，關(guān)鍵就是看考生是否能注意圖形中隱含了相對(duì)兩邊的平行性，并利用這個(gè)平行性，將要求解的目標(biāo)角進(jìn)行集中，且與三角板角聯(lián)系起來．如果考生抓住了這個(gè)隱含條件，就能順利解答．2．求拼出的圖形中的線段的長(zhǎng)度例2一副直角三角板如圖2放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，試求CD的長(zhǎng)．簡(jiǎn)析在解答本題時(shí)，關(guān)鍵是要用好“平行線間距離處處相等”，再抓住三角板中邊角關(guān)系即可．3．求拼出的圖形的面積例3將一副三角尺如圖3所示疊放在一起，若AB＝14cm，則陰影部分的面積是_______cm2．簡(jiǎn)析解答本題的關(guān)鍵是利用已知的兩個(gè)三角板的特殊角，以此求出陰影部分三角形的邊長(zhǎng)，從而獲解．4．判斷拼出的圖形形狀及數(shù)量與位置關(guān)系例4如圖4，將兩個(gè)形狀相同的三角板放置在一張矩形紙片上，按圖示畫線得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD的形狀是_________．例5如圖5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A，D重合，連結(jié)BE，EC．試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．簡(jiǎn)析在本例中，三角板AED為我們提供了EA＝ED，∠EAD＝∠EDA＝45°，∠AED＝90°，結(jié)合已知條件“在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)”，可以得到△EAB≌△EDC．因此有BE＝EC，∠AEB＝∠DEC，從而∠BEC＝90°，所以BE＝EC，且BE⊥EC．二、三角板的平移、旋轉(zhuǎn)以“三角板”的平移、旋轉(zhuǎn)為背景的操作探究題，立意新穎、構(gòu)思巧妙，為學(xué)生提供了實(shí)踐操作的空間，較好地考查了學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、聯(lián)想、類比、歸納的能力，逐漸成為中考命題的一個(gè)新的熱點(diǎn)．例6如圖6，三角板ABC的斜邊AB＝12cm，∠A＝30°，將三角板ABC繞C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900至三角板A'B'C'的位置后，再沿CB方向向左平移，使點(diǎn)B'落在原三角板ABC的斜邊AB上，則三角板A'B'C'平移的距離為()．(A)6cm(B)4cm(C)(6－2)cm (D)(4－6)cm簡(jiǎn)析本題借助三角板的旋轉(zhuǎn)與平移，綜合考查考生利用三角板自身的角度與邊長(zhǎng)，求得平移的距離．例7將一副三角板放置如圖7那樣，等腰直角三角板ACB的直角頂點(diǎn)A在直角三角板EDF的直角邊DE上，點(diǎn)C,D,B,F在同一直線上，點(diǎn)D,B是CF的三等分點(diǎn)，CF＝6，∠F＝30°．(1)三角板ACB固定不動(dòng)，將三角板EDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至EF∥CB（如圖8），試求DF旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；點(diǎn)A在EF上嗎？為什么？(2)在圖8的位置，將三角板EDF繞點(diǎn)D繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°，請(qǐng)問此時(shí)AC與DF有何位置關(guān)系？為什么？簡(jiǎn)析(1)EF∥CB時(shí)，旋轉(zhuǎn)角∠FDB＝∠F＝30°．且線段AD與線段EF，CB均垂直，所以只要考慮兩個(gè)直角三角形斜邊上的高是否相等，即可判斷點(diǎn)A與線段EF的位置關(guān)系，由題意易求兩個(gè)直角三角形斜邊上的高均為2．(2)由(1)知三角板EDF繞點(diǎn)D已經(jīng)旋轉(zhuǎn)了30°，再旋轉(zhuǎn)15°后，總的旋轉(zhuǎn)角就是45°了，從而∠FDB＝45°＝∠C，線段AC與DF的位置關(guān)系可得．三、在函數(shù)類試題應(yīng)用例8如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長(zhǎng)為5的等腰直角三角板ABC放在第二象限且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，0），點(diǎn)B在拋物線y＝ax2＋ax－2上．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為_______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_______；(2)拋物線的關(guān)系式為_______；(3)設(shè)(2)中拋物線的頂點(diǎn)為D，求△DBC的面積；(4)將三角板ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)△AB'C'的位置，請(qǐng)判斷點(diǎn)B'、C'是否在(2)中的拋物線上，并說明理由．簡(jiǎn)析易求(1)(2)(3)答案：A(0，2)、B(－3，1)，關(guān)系式為y＝0.5x2＋0.5x－2．△DBC的面積為1.875．第(4)問是一個(gè)開放性問題，必須借助旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及坐標(biāo)特征、三角形全等來求得B'（1，－1），C'(2，1)在拋物線上．本例巧妙地將等腰直角三角板的旋轉(zhuǎn)放置在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行．先通過三角板的特殊角來計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線的解析式，而后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來確定旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．將旋轉(zhuǎn)、全等三角形、平面直角坐標(biāo)系及二次函數(shù)圖象的相關(guān)知識(shí)有機(jī)的統(tǒng)一在一起，有效地考查了學(xué)生