浙江省寧波市余姚中學2020年高考數(shù)學模擬試卷

浙江省寧波市余姚中學2020年高考數(shù)學模擬試卷一、選擇題（本大題共10小題）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡集合，再求得解.【詳解】由題得，則，故選：C.【點睛】本題主要考查集合的化簡和交集運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.2.雙曲線的一個頂點坐標是（）A.(2，0) B.(－，0) C.(0，) D.(0，)【答案】D【解析】【分析】先將雙曲線方程化為標準方程，即可得到頂點坐標.【詳解】雙曲線化為標準方程為：，∴=，且實軸在y軸上，∴頂點坐標是（），故選D.【點睛】本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，比較基礎．3.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為()A. B.C. D.或【答案】C【解析】分析：解決該題的關鍵是求得等比數(shù)列的公比，利用題中所給的條件，建立項之間的關系，從而得到公比所滿足的等量關系式，解方程即可得結果.詳解：根據(jù)題意有，即，因為數(shù)列各項都是正數(shù)，所以，而，故選C.點睛：該題應用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比，而待求量就是，代入即可得結果.4.若x，y滿足約束條件，則的最大值是（）A.-5 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】畫出可行域，向上平移基準直線到可行域邊界位置，由此求得目標函數(shù)的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，向上平移基準直線到可行域邊界的位置，由此求得目標函數(shù)的最大值為.故選D.【點睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求目標函數(shù)的最值，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先通過三視圖找到幾何體原圖，再求幾何體的體積得解.【詳解】由題意可知幾何體是組合體，上部是四棱錐，底面是矩形，邊長為3，4，高為，且一個側面與底面垂直，下部是一個半圓柱，底面半徑為2，高為3，（如圖所示），所以組合體的體積為.故選：A.【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體原圖，考查幾何體的體積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.6.函數(shù)f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若將該函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)圖象關于直線x＝對稱，則函數(shù)f(x)的解析式為（）A.f(x)＝sin(2x＋) B.f(x)＝sin(2x－)C.f(x)＝sin(2x＋) D.f(x)＝sin(2x－)【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的周期求得，再由平移后的函數(shù)圖像關于直線對稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.【詳解】分析：由函數(shù)的周期求得，再由平移后的函數(shù)圖像關于直線對稱，得到，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.詳解：因為函數(shù)的最小正周期是，所以，解得，所以，將該函數(shù)的圖像向右平移個單位后，得到圖像所對應的函數(shù)解析式為，由此函數(shù)圖像關于直線對稱，得：，即，取，得，滿足，所以函數(shù)的解析式為，故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及函數(shù)的解析式的求解，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到，再根據(jù)三角函數(shù)的性質求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.7.在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】分析：從兩個方向去判斷，先看能推出三角形的形狀是銳角三角形，而非鈍角三角形，從而得到充分性不成立，再看當三角形是鈍角三角形時，也推不出成立，從而必要性也不滿足，從而選出正確的結果.詳解：由題意可得，在中，因為，所以，因為，所以，，結合三角形內(nèi)角的條件，故A,B同為銳角，因為，所以，即，所以，因此，所以是銳角三角形，不是鈍角三角形，所以充分性不滿足，反之，若是鈍角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以為既不充分也不必要條件，故選D.點睛：該題考查的是有關充分必要條件的判斷問題，在解題的過程中，需要用到不等式的等價轉化，余弦的和角公式，誘導公式等，需要明確對應此類問題的解題步驟，以及三角形形狀對應的特征.8.若正實數(shù)，滿足，則取最小值時，（）A.5 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由題得，且，，再利用基本不等式求的最小值和此時的值.詳解】∵；∴，且，；∴；∴，當且僅當，即時取等號.故選：B.【點睛】本題主要考查對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的性質，考查基本不等式求最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9.在正四面體ABCD中，P，Q分別是棱AB，CD的中點，E，F(xiàn)分別是直線AB，CD上的動點，M是EF的中點，則能使點M的軌跡是圓的條件是（）A.PE＋QF＝2 B.PE?QF＝2C.PE＝2QF D.PE2＋QF2＝2【答案】D【解析】【分析】先由對稱性找到PQ、EF的中點在中截面GHLK上運動，利用向量的加減運算，得到，結合正四面體的特征將等式平方得到4，由圓的定義得到結論.【詳解】如圖：取BC、BD、AC、AD的中點為G、H、K、L，因為P、Q是定點，所以PQ的中點O為定點，由對稱性可知，PQ、EF的中點在中截面GHLK上運動，∵+=+,∴，又在正四面體中，對棱垂直，∴PEQF，∴，∴4=若點M的軌跡是以O為圓心的圓，則為定值，只有D符合題意，故選D【點睛】本題考查了向量的三角形法則的應用，考查了曲線的軌跡的求法，屬于較難題型.10.等差數(shù)列，滿足，則（）A.的最大值是50 B.的最小值是50C.的最大值是51 D.的最小值是51【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)題意可知中的項有正有負，不妨設，根據(jù)題意可求得，根據(jù)，去絕對值求和，即可求出結果.【詳解】時，滿足條件，所以滿足條件，即最小值為2，舍去B,D.要使得取最大值，則項數(shù)為偶數(shù)，設，等差數(shù)列的公差為，首項為，不妨設，則，且，由可得，所以,因為，所以，所以，而，所以，故.故選A【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質，熟記等差數(shù)列的性質以及通項公式等即可，屬于常考題型.二、填空題（本大題共7小題）11.已知，復數(shù)且（為虛數(shù)單位），則__________，_________．【答案】(1).(2).【解析】∵復數(shù)且∴∴∴∴，故答案為，12.已知隨機變量的分布列如下表，若，則a=________，______.012Pab【答案】(1).(2).【解析】【分析】根據(jù)分布列概率之和為以及期望值列方程組，解方程組求得的值，進而求得方差.【詳解】依題意，故.所以.故填：（1）；（2）.【點睛】本小題主要考查分布列中概率的計算，考查分布列的期望和方差的有關計算，考查運算求解能力，屬于基礎題.13.若，則________，________.【答案】(1).1(2).13【解析】【分析】設，，根據(jù)得到，再令即得解.【詳解】設，，所以，，又，所以，即，取得：，又，故，故答案為：1，13.【點睛】本題主要考查函數(shù)求導，考查二項式系數(shù)和的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知，分別為橢圓C：（）的左、右焦點，點關于直線的對稱點Q在橢圓上，則長軸長為________；若P是橢圓上的一點，且，則________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）先求出點，根據(jù)已知求出，即得橢圓的長軸長；（2）由題得，再根據(jù)求出，即得.【詳解】（1）由橢圓C：（）得.∴，點關于直線的對稱點，由題意可得：，即，則橢圓的長軸長為；（2）由（1）得橢圓方程為.則，又，∴.∴.則.故答案為：；.【點睛】本題主要考查橢圓的簡單幾何性質，考查余弦定理解三角形，考查三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和計算能力.15.將隨機排成一列，記為，，，，，，則是偶數(shù)的概率為______【答案】【解析】【分析】先求出基本事件的種數(shù)種，再求出為偶數(shù)的排列數(shù)，利用古典概型及概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，將隨機排成一列，共有種不同的排法，其中為偶數(shù)等價于不全為奇數(shù)，且不全為奇數(shù)，共有，所以所求的概率為【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，其中解答中熟練利用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件的所包含的基本事件的個數(shù)是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.16.設平面向量，滿足，，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】設，再分別求的最小值和最大值即得的取值范圍.【詳解】設，當時，∴，所以，綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運算，考查基本不等式求最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.17.已知，若對任意的aR，存在[0，2]，使得成立，則實數(shù)k的最大值是_____【答案】【解析】【分析】討論f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，求出在[0，2]的最大值，即可得出m的取值范圍．【詳解】當0時，即a≤0時，在[0，2]恒成立，∴，此時在[0，2]上單調(diào)遞增，∴maxf（x）max＝f（2）＝22﹣2a＝4﹣2a，∴k≤4-2a對任意的a≤0成立，∴k≤4；當2時，即a≥4，[0，2]恒成立，∴，此時在[0，2]上單調(diào)遞減，∴maxf（x）min＝-f（2）＝-22+2a＝-4+2a，∴k≤-4+2a對任意的a≥4成立，∴k≤4；當0時，即0＜a≤2時，此時在[0，]上單調(diào)遞減，在[，2]上單調(diào)遞增，且在[0，a]恒成立，在[a，2]恒成立，∴max又-=+2a-4≥0時，即時，max，∴k≤對任意的成立，∴k≤；時，max，∴k≤對任意的成立，∴k≤；當2時，即2＜a＜4時，f（x）max＝＝，∴k≤對任意的2＜a＜4成立，∴k≤1；綜上所述：k≤；故答案為.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了恒成立問題與存在性問題，是綜合性題目．三、解答題（本大題共5小題）18.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）若，且，求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）直接化簡函數(shù)，再利用三角函數(shù)的周期公式求解.(2)先解方程得到的值，再求的值.【詳解】（1）．所以的最小正周期．（2）因為，所以，又，所以，解得，所以．【點睛】把形如y＝asinx＋bcosx的函數(shù)化為的形式，可進一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對稱性，這是解決類似問題的必備步驟．根據(jù)三角函數(shù)值求角時，必須先求出角的范圍，然后在該范圍內(nèi)求解．19.如圖，為正三角形，且，，將沿翻折.（1）若點的射影在上，求的長；（2）若點的射影在中，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長.【答案】（1）2（2）.【解析】【分析】（1）過A作交于E，取中點O，連接，，先證明平面和，求出，，再求的長；（2）以O為原點，以為x軸，以為y軸，以平面的過O的垂線為z軸建立空間直角坐標系，設二面角為，，利用向量法求出，即得點坐標和的長.【詳解】（1）過A作交于E，則平面.取中點O，連接，，∵平面，平面，∴，又是正三角形，∴，又，AE，平面，∴平面，∴.又，O為的中點，∴為的中點.∵，∴，，，∴，.∴；（2）取中點為過點作平面的垂線，垂足為,連接,因為.以O為原點，以為x軸，以為y軸，以平面的過O的垂線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：設二面角為，因為平面，與（1）同理可證平面，，，則，，，.∴，，，設平面的法向量為，則，令，得.∴，解得.∴，又，∴.【點睛】本題主要考查空間直線平面位置關系的證明，考查空間直線和平面所成的角的求法，考查空間距離的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和計算推理能力.20.設各項為正項的數(shù)列，其前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，由得到，可得數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為公差為6的等差數(shù)列，即得數(shù)列的通項公式；（2）對分和兩種情況討論，利用分組求和即得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）各項為正項的數(shù)列，其前項和為，，,可得，解得，由時，，可得，兩式相減可得，，可得，可得數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項均為公差為6的等差數(shù)列，可得正項的數(shù)列為2，5，8，11，14，17，，所以當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，綜合得有正項的數(shù)列的通項公式為；（2），當時，前項和；當時，前項和.綜上可得數(shù)列的前項和.【點睛】本題主要考查數(shù)列通項的求法，考查數(shù)列的求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和計算能力.21.已知拋物線：的焦點為，過點的動直線與拋物線交于，兩點，直線交拋物線于另一點，的最小值為4.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）記、的面積分別為，，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)拋物線性質可得，即得結果，（Ⅱ）設直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理以及弦長公式求，再利用基本不等式求最值.【詳解】（Ⅰ）由已知及拋物線的幾何性質可得，∴，∴拋物線的方程為.（Ⅱ）設直線：，：，，，，由，，同理可得，從而，點到的距離，，∴.又，∴.當且僅當，即時有最小值.【點睛】本題考查拋物線定義與性質以及基本不等式求最值，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.22.已知實數(shù)，設函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若對任意的，均有，求的取值范圍．注：為自然對數(shù)的底數(shù)．【答案】（1）在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）【解析】【分析】(1)求導后取出極值點,再分,兩種情況進行討論即可.(2)當時得出的一個取值范圍,再討論時的情況,再對時構造函數(shù)兩邊取對數(shù)進行分析論證