湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽(yáng)金剛中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽(yáng)金剛中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖面積為4的矩形ABCD中有一個(gè)陰影部分，若往矩形ABCD投擲1000個(gè)點(diǎn)，落在矩形ABCD的非陰影部分中的點(diǎn)數(shù)為400個(gè)，試估計(jì)陰影部分的面積為（）A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.若則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是（

）

A．[2，6]

B．[2，5]

C．[3，6]

D．[3，5]參考答案：A3.已知點(diǎn)P在曲線上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（

）A．[0,)

B．

C．

D．參考答案：D因?yàn)椋磘an≥－1，所以．4.過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角線BD1的截面面積為S，Smax和Smin分別為S的最大值和最小值，則的值為

(

)A．B．C．

D．參考答案：C5.把十進(jìn)制數(shù)15化為二進(jìn)制數(shù)為（C）A．1011

B．1001(2）

C．1111（2）

D．1111參考答案：C6.有下列四個(gè)命題：

①“若,則互為相反數(shù)”的逆命題；②“全等三角形的面積相等”的否命題；③“若,則有實(shí)根”的逆否命題；④“存在，使成立”的否定．其中真命題為（

）A．①②

B．②③

C．①③

D．③④參考答案：C略9.已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)．假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立，需要用到的與之間的關(guān)系式是（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】分別根據(jù)已知列出和，即可得兩者之間的關(guān)系式.【詳解】由題得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則有，故選C.8.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.

或

B.C.

D.參考答案：C9.等比數(shù)列{an}中，若a5＝5，則a3a7＝

．A.

5

B.

10

C.

25

D.

參考答案：C10.若雙曲線（a＞0）的離心力為2，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C雙曲線（a＞0）的，則離心率，解得，則雙曲線的漸近線方程為，即為，故選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.雙曲線﹣=1的漸近線方程是

．參考答案：y=±

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0即得漸近線方程，化簡(jiǎn)即可得到所求．【解答】解：∵雙曲線方程為﹣=1的，則漸近線方程為線﹣=0，即y=±，故答案為y=±．12.如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子，有180粒豆子落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為

。參考答案：0.1813.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意，存在唯一，使（C為常數(shù)）成立，則稱在D上的均值為C，給出下列四個(gè)函數(shù)：①②③④則滿足在其定義域上均值為2的所有函數(shù)是

參考答案：①③略14.給出以下四個(gè)命題：①．命題“若，則”的逆否命題是：“若，則”②．若且為假命題，則、均為假命題③．“”是“”的充分不必要條件④．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線一定可以用方程表示其中真命題的序號(hào)是

▲

參考答案：①③15.過(guò)點(diǎn)（0，），（2，0）的直線的方程為______________．參考答案：略16.復(fù)數(shù)z＝（i為虛數(shù)單位），則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第▲象限．參考答案：四

略17.__________。參考答案：根據(jù)積分的幾何意義，原積分的值即為單元圓在第一象限的面積則三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）數(shù)列{}中，＝－23，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和參考答案：∵an＋1－an－3＝0，∴an＋1－an＝3，即數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d＝3.………………6分又因?yàn)閍1＝－23，所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn＝－23n＋n(n－1)×3，即Sn＝n2－n.………………12分19.已知函數(shù).（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；（III）若，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解析：由已知函數(shù)的定義域均為,且.……1分（Ⅰ）函數(shù),當(dāng)且時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是.

………………3分（Ⅱ）因f(x)在上為減函數(shù)，故20.已知函數(shù)。（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)。（2）若對(duì)任意的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案：(1)是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn).(2)【分析】第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的極值點(diǎn)。第二問(wèn)是恒成立問(wèn)題求參數(shù)取值范圍，先移項(xiàng)，因?yàn)?，所以化?jiǎn)成這樣一個(gè)恒成立問(wèn)題：，求參數(shù)的取值范圍。從而利用參變量分離的方法去求的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?，求?dǎo)得令得或，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn).（2）由，得.由題意，故，即對(duì)恒成立.設(shè)，則.設(shè)，則.∵，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴的取值范圍是.【點(diǎn)睛】第一問(wèn)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，屬于常規(guī)基礎(chǔ)題。第二問(wèn)也是常見(jiàn)題型，恒成立問(wèn)題求參數(shù)取值范圍?？梢酝ㄟ^(guò)參變量分離的方法去求解，屬于導(dǎo)數(shù)和不等式綜合題.

21.中秋節(jié)前幾天，小毛所在的班級(jí)籌劃組織一次中秋班會(huì)，熱心的小毛受班級(jí)同學(xué)委托，去一家小禮品店為班級(jí)的三個(gè)小組分別采購(gòu)三種小禮物：中國(guó)結(jié)、記事本和筆袋（每種禮物的品種和單價(jià)都相同）．三個(gè)小組給他的采購(gòu)計(jì)劃各不相同，各種禮物的采購(gòu)數(shù)量及價(jià)格如下表所示：

中國(guó)結(jié)（個(gè)）記事本（本）筆袋（個(gè)）合計(jì)（元）小組A21010小組B13110小組C05230為了結(jié)賬，小毛特意計(jì)算了各小組的采購(gòu)總價(jià)（見(jiàn)上表合計(jì)欄），可是粗心的小毛卻不慎抄錯(cuò)了其中一個(gè)數(shù)字．第二天，當(dāng)他按照自己的記錄去向各小組報(bào)銷的時(shí)候，有同學(xué)很快發(fā)現(xiàn)其中有錯(cuò)．發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的同學(xué)并不知道三種小禮物的單價(jià)，那么他是如何作出判斷的呢？請(qǐng)你用所學(xué)的行列式的知識(shí)對(duì)此加以說(shuō)明．參考答案：【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；矩陣和變換．【分析】設(shè)中國(guó)結(jié)每個(gè)x元，記事本每本y元，筆袋每個(gè)z元，由題設(shè)列出方程組，由系數(shù)行列式D=0，得方程組有無(wú)窮多組解或無(wú)解，再由Dx，Dy，Dz均不為0，得到該方程組無(wú)解．【解答】（本題滿分12分）解：設(shè)中國(guó)結(jié)每個(gè)x元，記事本每本y元，筆袋每個(gè)z元，由題設(shè)有，∵，∴方程組有無(wú)窮多組解或無(wú)解，又，，，∴該方程組無(wú)解．【點(diǎn)評(píng)】本題考查行列式知識(shí)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意系數(shù)行列式在解線性方程組時(shí)的合理運(yùn)用．22.如圖，中心在原點(diǎn)的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在過(guò)M（0，2）的直線與橢圓交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：，由繼而求出b2=a2﹣c2=1，繼而得出橢圓方程．（Ⅱ）設(shè)直線斜率為k，則直線l的方程為：y=kx+2，由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0，由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=0．代入求解即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：，∵2a=4∴a=2…（1分）∵…（2分）∴b2=a2﹣c2=1…（3分）所以，橢圓的方程為：…（4分）（Ⅱ）法一：假設(shè)存在過(guò)M（0，2）的直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，依題意可知OA⊥OB．①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A、B分別為橢圓短軸的端點(diǎn)，不符合題意

…（5分）②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線l的方程為：y=kx+2由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0…（6分）令△＞0，得：（16k）2﹣4?（4k2+1）?12=4k2﹣3＞0∴…（7分）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則…（8分）又y1=kx1+2，y2=kx2+2∴==…（9分）∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…（10分）∴∴∴k=±2…（11分）∴直線l的方程為：y=±2x+2，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0，所以，存在過(guò)M（0，2）的直線與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，其方程為：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0．…（12分）（Ⅱ）法二：假設(shè)存在過(guò)M（0，2）的直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，依題意可知OA⊥OB，設(shè)直線l的方程為：x=m（y﹣2）…（5分）由得：（m2+4）y2﹣4m2y+4m2﹣4=0…（6分）令△＞0，得：16m4﹣4?（m2+4）?（4m2﹣4）=64﹣48m2＞0∴…（7分）設(shè)A（x1，y1），