導數(shù)中的三種同構題型總結（解析版）

導數(shù)中的三種同構題型總結題型一：指對同構1.設實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是（）．解：，即恒成立，，2.對，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為_____.．解：由題意得：3.已知是函數(shù)的零點，則為（）解析：令可知單增，所以4.若對任意，恒有，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，不等式變形為.設，則.當時，即在上單調(diào)遞減.當時，即在上單調(diào)遞增.則在上有且只有一個極值點，該極值點就是的最小值點.所以，即在上單調(diào)遞增.若使得對任意，恒有成立.則需對任意，恒有成立.即對任意，恒有成立，則在恒成立.設則.當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減則在上有且只有一個極值點，該極值點就是的最大值點.所以，即，則實數(shù)的最小值為.故選：D5.已知，對任意的，不等式恒成立，則的最小值為___________.【答案】∵對于任意，，不等式恒成立∴對于任意，，即恒成立當時，；當，，設，則，所以在上單調(diào)遞增，由，知，即，即設，，求導令，得當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；∴在處取得極大值，且為最大值，所以時，不等式恒成立故答案為：6.已知不等式對恒成立，則實數(shù)m的最小值為__________.【答案】可變?yōu)?，再變形可得，，設，原不等式等價于，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，，當時，，所以由可得，，因為，所以．設，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，即．當時，不等式在恒成立；當時，，無論是否存在，使得在上恒成立，都可判斷實數(shù)m的最小值為．故答案為：．7.設，若存在正實數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．解：因為，所以，因為，所以，即，設函數(shù)，，，所以函數(shù)在為增函數(shù)，所以所以，設函數(shù)，，所以函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，所以，所以的最大值為，故選：A.8.若關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D依題意，．令，則．令，，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，故在上恒成立，其中在單調(diào)遞增，故．所以，實數(shù)的取值范圍是.故選：D9.已知不等式對恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C因為，所以，即，構造函數(shù)，所以，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，與1的大小不定，但當實數(shù)a最小時，只需考慮其為負數(shù)的情況，此時因為當時，單調(diào)遞減，故，兩邊取對數(shù)得：，令，則，令得：，令得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以故a的最小值是．當時，，從四個選項均為負，考慮，此時有，兩邊取對數(shù)得：，所以令，則，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無最大值，此時無解，綜上：故a的最小值是．故選：C10.，若，求的取值范圍（）解析：同構構造題型二：題型朗博同構1.若恒成立，則的最大值（C）A.B.C.D.解析：2.已知關于的不等式對于任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍（B）A.B.C.D.解析：.3.已知函數(shù)．設，其中，若恒成立，求的取值范圍.解析：由題意得：因為，當且僅當時等號成立因為，所以等價于證:當且僅當時等號成立，所以.4.已知函數(shù)恒成立，求的取值范圍（）解析：要使，只需要：，即：5.，若，求的取值范圍（）構造.，6.不等式對任意的都成立，則的取值范圍（）解析：7.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）對任意，恒成立，求實數(shù)的最大值．解：（1）當時，，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，，所以在上單調(diào)遞增；，，所以在上單調(diào)遞減；綜上：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）任意，，即恒成立,即恒成立；令,則任意，,因為，存在正實數(shù)，滿足：,且，所以，所以.下證：當時成立：即證：,因為,所以：顯然成立；所以實數(shù)的最大值為.題型三：零點同構1.已知函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍（）解析：，令容易知單增，，①,至多有一個根，不符合題意。②符合題意2.已知函數(shù)，討論的零點的個數(shù)解析：令，無零點；只有一個零點有兩個零點3.已知函數(shù)有兩個零點，則a的最小整數(shù)值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】先將函數(shù)化為，令，進而只需說明在R上有兩個零點，然后對函數(shù)求導，討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，最后通過放縮法解決問題.【詳解】，設，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，易得，于是問題等價于函數(shù)在R上有兩個零點，，若，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，至多有1個零點，不合題意，舍去；若，則時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.因為函數(shù)在R上有兩個零點，所以，而，限定，記，，即在上單調(diào)遞增，于是，則時，，此時，因為，所以，于是時，.綜上：當時，有兩個交點，a的最小整數(shù)值為2.故選：C.4.已知函數(shù)，若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍（）解析：有兩解，指對分離：同乘得：構造函數(shù)：單增圖像有兩個交點，綜上：題型四：解答題1.已知函數(shù)和有相同最小值．（1）求a；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．【小問1詳解】的定義域為，而，若，則，此時無最小值，故.的定義域為，而.當時，，故在上為減函數(shù)，當時，，故在上為增函數(shù)，故.當時，，故在上為減函數(shù)，當時，，故在上為增函數(shù)，故.因為和有相同的最小值，故，整理得到，其中，設，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.【小問2詳解】由（1）可得和的最小值為.當時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).設，，當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.設，，當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.當，由（1）討論可得、僅有一個零點，當時，由（1）討論可得、均無零點，故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，則.設，其中，故，設，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，