導(dǎo)數(shù)中的三種同構(gòu)題型總結(jié)（解析版）

導(dǎo)數(shù)中的三種同構(gòu)題型總結(jié)題型一：指對同構(gòu)1.設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是（）．解：，即恒成立，，2.對，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_____.．解：由題意得：3.已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則為（）解析：令可知單增，所以4.若對任意，恒有，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，不等式變形為.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增.則在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)就是的最小值點(diǎn).所以，即在上單調(diào)遞增.若使得對任意，恒有成立.則需對任意，恒有成立.即對任意，恒有成立，則在恒成立.設(shè)則.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減則在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)就是的最大值點(diǎn).所以，即，則實(shí)數(shù)的最小值為.故選：D5.已知，對任意的，不等式恒成立，則的最小值為___________.【答案】∵對于任意，，不等式恒成立∴對于任意，，即恒成立當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，由，知，即，即設(shè)，，求導(dǎo)令，得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；∴在處取得極大值，且為最大值，所以時(shí)，不等式恒成立故答案為：6.已知不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為__________.【答案】可變?yōu)?，再變形可得，，設(shè)，原不等式等價(jià)于，因?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得，，因?yàn)?，所以．設(shè)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，即．當(dāng)時(shí)，不等式在恒成立；當(dāng)時(shí)，，無論是否存在，使得在上恒成立，都可判斷實(shí)數(shù)m的最小值為．故答案為：．7.設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．解：因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，即，設(shè)函數(shù)，，，所以函數(shù)在為增函數(shù)，所以所以，設(shè)函數(shù)，，所以函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，所以，所以的最大值為，故選：A.8.若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D依題意，．令，則．令，，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，故在上恒成立，其中在單調(diào)遞增，故．所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D9.已知不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C因?yàn)?，所以，即，?gòu)造函數(shù)，所以，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，與1的大小不定，但當(dāng)實(shí)數(shù)a最小時(shí)，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，此時(shí)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，兩邊取對數(shù)得：，令，則，令得：，令得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以故a的最小值是．當(dāng)時(shí)，，從四個(gè)選項(xiàng)均為負(fù)，考慮，此時(shí)有，兩邊取對數(shù)得：，所以令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無最大值，此時(shí)無解，綜上：故a的最小值是．故選：C10.，若，求的取值范圍（）解析：同構(gòu)構(gòu)造題型二：題型朗博同構(gòu)1.若恒成立，則的最大值（C）A.B.C.D.解析：2.已知關(guān)于的不等式對于任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（B）A.B.C.D.解析：.3.已知函數(shù)．設(shè)，其中，若恒成立，求的取值范圍.解析：由題意得：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立因?yàn)?，所以等價(jià)于證:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以.4.已知函數(shù)恒成立，求的取值范圍（）解析：要使，只需要：，即：5.，若，求的取值范圍（）構(gòu)造.，6.不等式對任意的都成立，則的取值范圍（）解析：7.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增；，，所以在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）任意，，即恒成立,即恒成立；令,則任意，,因?yàn)椋嬖谡龑?shí)數(shù)，滿足：,且，所以，所以.下證：當(dāng)時(shí)成立：即證：,因?yàn)?所以：顯然成立；所以實(shí)數(shù)的最大值為.題型三：零點(diǎn)同構(gòu)1.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍（）解析：，令容易知單增，，①,至多有一個(gè)根，不符合題意。②符合題意2.已知函數(shù)，討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解析：令，無零點(diǎn)；只有一個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)零點(diǎn)3.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的最小整數(shù)值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】先將函數(shù)化為，令，進(jìn)而只需說明在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，然后對函數(shù)求導(dǎo)，討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，最后通過放縮法解決問題.【詳解】，設(shè)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，易得，于是問題等價(jià)于函數(shù)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，，若，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去；若，則時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，而，限定，記，，即在上單調(diào)遞增，于是，則時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)?，所以，于是時(shí)，.綜上：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，a的最小整數(shù)值為2.故選：C.4.已知函數(shù)，若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍（）解析：有兩解，指對分離：同乘得：構(gòu)造函數(shù)：單增圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，綜上：題型四：解答題1.已知函數(shù)和有相同最小值．（1）求a；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【小問1詳解】的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無最小值，故.的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.【小問2詳解】由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無零點(diǎn)，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，