【級數(shù)理論及其應用探究11000字（論文）】

級數(shù)理論及其應用研究摘要眾所周知，工程中的實際系統(tǒng)幾乎總含有各種各樣的非線性因素，例如機械系統(tǒng)中的間隙、干摩擦、軸承油膜，結構系統(tǒng)的大變形、非線性材料本構關系，控制系統(tǒng)的非線性控制策略等等。線性系統(tǒng)是為了分析的方便對精度要求較低或系統(tǒng)非線性對系統(tǒng)性能影響不大的系統(tǒng)一種簡化模型。通常，線性系統(tǒng)模型可對實際系統(tǒng)動力學行為進行很好的逼近。然而，近年來，隨著科學技術的發(fā)展和進步，對系統(tǒng)性能要求的不斷提高，使得這種線性逼近并非總是可靠的，被忽略的非線性因素有時會在分析和計算中引起無法接受的誤差。而且，工程當中越來越多的非線性現(xiàn)象也引起了人們的重視，非線性問題已經(jīng)成為當前研究的熱點問題之一。因此，有必要對非線性系統(tǒng)進行非線性研究，揭示非線性系統(tǒng)的本質，這對進行非線性系統(tǒng)的分析與設計具有重要的意義。近幾十年來，經(jīng)過眾多學者的努力，已經(jīng)發(fā)展出了許多分析非線性系統(tǒng)的方法，例如平均法、KBM法、攝動法、多尺度法、諧波平衡法。然而，利用Volterra級數(shù)理論對非線性系統(tǒng)進行分析還是比較新穎的，而且該方法擁有許多其它方法所沒有的優(yōu)點?；诖?，本文將詳細地介紹了如何利用Volterra級數(shù)分析方法來分析非線性系統(tǒng)。關鍵詞：Volterra級數(shù)；非線性系統(tǒng)；應用研究目錄TOC\o"1-3"\h\u218311緒論 1176721.1Volterra級數(shù)研究的意義 1195621.2Volterra級數(shù)國內外研究現(xiàn)狀 2123522Volterra級數(shù)的基本理論 4238022.1引言 4152392.2Volterra級數(shù)的表達形式 5269772.3NARMAX模型及其相關理論 6236142.3.1NARMAX模型 7173012.3.2正交參數(shù)估計 8282183級數(shù)理論在結構損傷檢測應用 9110113.1結構損傷檢測的意義 9251983.2損傷檢測的分類 10181823.3當前結構損傷檢測存在的問題 13153924結束語 1327103參考文獻 151緒論1.1Volterra級數(shù)研究的意義非線性振動現(xiàn)象在實際的機械設備和結構當中廣泛存在。早在1940年VonKarman就研究發(fā)現(xiàn)飛機的推進器會在機翼引起1/2亞諧波分量的振動，在方向舵引起1/4亞諧波分量的振動；在1972年，F(xiàn).Ehrich就在高速運轉的轉子振動信號中發(fā)現(xiàn)了頻率間的交叉調制現(xiàn)象。上世紀90年代前，這些非線性振動現(xiàn)象并沒有引起科研人員太多的熱情。之后，隨著大量柔性結構和彈性結構的廣泛應用，如空間站中柔性機械臂、衛(wèi)星天線和太陽能列陣、柔性機器人、高速柔性轉子和汽車懸架等，為了使這些結構的動態(tài)設計、加工、運行與控制滿足日益提高的精度需求，并保證它們的運行可靠性和安全性，非線性振動問題的研究需求日益突出。非線性系統(tǒng)理論也逐漸成為理論研究的熱點。然而不幸的是，人們基于線性系統(tǒng)理論提出的一系列信號處理方法，如Fourier變換、余弦變換等并不能直接用于非線性系統(tǒng)的分析。因此，許多非線性方法越來越受到重視，然而與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)的分析方法要復雜很多，到目前為止，還沒有一種公認為很好的模型描述方法。在非線性理論發(fā)展的初期，有學者提出了相平面法、李亞普諾夫法和描述函數(shù)法等分析方法，以及雙線性模型、Hammerstein模型、輸出仿射模型等非線性模型。這些方法以及模型的局限性在于無法描述任意的非線性系統(tǒng)，因此也就只能用于解決某些特定的問題。隨著非線性系統(tǒng)理論的進一步發(fā)展，數(shù)學領域的進一步深入研究，計算機技術的普遍使用，目前已經(jīng)提出了幾種具有更廣泛適用性的非線性模型，如NARMAX模型、Volterra級數(shù)模型等。其中，Volterra級數(shù)是由意大利數(shù)學家Vito.Volterra于1887年首次提出的，起初是作為對Taylor級數(shù)的推廣，用于積分方程和微分方程的求解。Volterra級數(shù)可看作是一維線性卷積理論在高維空間的推廣，Volterra級數(shù)核的多維傅里葉變換就是廣義頻率響應函數(shù)，廣義頻率響應函數(shù)與系統(tǒng)輸入無關，能夠在頻域很好地表示非線性系統(tǒng)的特性，方便了人們對非線性系統(tǒng)的分析。然而廣義頻率響應函數(shù)在實際應用中也遇到了很大的難題。眾所周知，線性系統(tǒng)的頻響函數(shù)是一維的，可方便地以圖表的方式表達出來，這極大地簡化了利用頻響函數(shù)對線性系統(tǒng)的分析。令人遺憾的是，除了第一階廣義頻響函數(shù)是一維的，其它階次的廣義頻響函數(shù)都是多維的，它們的維數(shù)和它們的階次相等，因此三階以上的廣義頻響函數(shù)基本上無法用直觀的圖形來表示。廣義頻響函數(shù)的多維性同樣給對它的分析解釋和估計辨識帶來了極大的困難，也正是因為這些困難，它一般多用于對單自由度或低自由度非線性系統(tǒng)的分析。綜上所述，雖然Volterra級數(shù)及由之發(fā)展而來的頻域概念在理論上以及實際應用當中都取得了一定的進步，然而還有許多關鍵問題值得進一步研究。針對Volterra級數(shù)在實際應用當中存在的問題以及進一步推進Volterra級數(shù)理論在實際當中的應用，本文將一方面進一步對Volterra級數(shù)理論進行研究，基于Volterra級數(shù)以及廣義頻率響應函數(shù)對受隨機激勵的非線性系統(tǒng)進行頻率響應分析研究；另外，在研究Volterra級數(shù)的應用方面，基于Volterra級數(shù)及由之發(fā)展而來的頻域概念，研究出比系統(tǒng)的線性特征對系統(tǒng)狀態(tài)更加敏感的系統(tǒng)非線性特征，并用該特征來表征系統(tǒng)的狀態(tài)，從而利用系統(tǒng)的非線性特征來對一些結構進行損傷檢測以及損傷定位。1.2Volterra級數(shù)國內外研究現(xiàn)狀Volterra級數(shù)理論最早由V.Volterra在1887年提出，用于對非線性過程的建模描述。雖然Volterra級數(shù)是無窮階級數(shù)，但研究表明，一大類非線性系統(tǒng)可通過有限階次的Volterra級數(shù)來表示。早期關于Volterra級數(shù)理論的研究主要在數(shù)學家圈中進行，后來人們開始陸續(xù)將其應用于電子工程、生物醫(yī)學工程、神經(jīng)科學、土木工程和機械工程等學科中各種非線性過程的建模和分析研究。研究重點主要是如何利用輸入和輸出數(shù)據(jù)建立一個Volterra級數(shù)模型來表示原系統(tǒng)，其中的關鍵是Volterra級數(shù)核的辨識方法。事實證明Volterra級數(shù)核的辨識是一個具有挑戰(zhàn)性的難題，這主要是因為從辨識的角度來看，Volterra的級數(shù)有一個明顯的缺點，那就是需要相當多的被估計參數(shù)才能取得滿意的精度。在線性系統(tǒng)分析中，卷積中所用的積分核的傅立葉變換就是眾所周知的頻率響應函數(shù)。由于Volterra級數(shù)可看作是一維線性卷積理論在高維空間的推廣，那么能否從Volterra級數(shù)核中發(fā)展出一套類似頻率響應函數(shù)的概念，用于在頻域對非線性系統(tǒng)進行分析呢？最早的嘗試見諸于1959年MIT學者George的研究報告中，他提出了非線性頻率響應函數(shù)的概念(NonlinearFrequencyResponseFunction)，現(xiàn)在一般稱為廣義頻率響應函數(shù)(GFRF：GeneralizedFrequencyResponseFunction)，它定義為各階次Volterra級數(shù)核函數(shù)的多維傅立葉變換。此后，不斷有學者對此概念進行了發(fā)展和充實，如Bedrosian和Rice研究了在諧波輸入和高斯噪聲輸入下Volterra系統(tǒng)的廣義頻率響應函數(shù)；Bussgang和他的同事將此概念推廣到多輸入非線性系統(tǒng)的研究；Victor和Knight對廣義頻率響應函數(shù)給出了更加嚴格和規(guī)范的表達；Billings和PeytonJones則對Volterra非線性系統(tǒng)研究中常用的諧波探試法(HarmonicProbingMethod)做了歸納總結，并由此提出了一種遞歸方法來計算給定動力學方程的非線性系統(tǒng)的廣義頻率響應函數(shù)，隨后Billings又和他的同事將該遞歸方法推廣到多輸入的情形，該方法可以用符號運算方式由計算機進行操作，這在一定程度上方便了廣義頻率響應函數(shù)的應用。廣義頻率響應函數(shù)與系統(tǒng)輸入無關，能夠在頻域很好地刻畫非線性系統(tǒng)的特性，方便了人們對非線性系統(tǒng)的分析，現(xiàn)在它已經(jīng)應用于多個領域的研究，如非線性振動系統(tǒng)的頻率響應分析和參數(shù)辨識、非線性控制系統(tǒng)的設計和穩(wěn)定性分析、設備故障診斷等。然而廣義頻率響應函數(shù)在實際應用中也遇到了很大的難題。眾所周知，線性系統(tǒng)的頻響函數(shù)是一維的，可方便地以圖表的方式進行表示，這極大地簡化了利用頻響函數(shù)對線性系統(tǒng)的分析。令人遺憾的是，除了第一階廣義頻響函數(shù)是一維的，其它階次的廣義頻響函數(shù)都是多維的，它們的維數(shù)和它們的階次相等，因此三階以上的廣義頻響函數(shù)基本上無法用直觀的圖形來表示。廣義頻響函數(shù)的多維性同樣給對它的分析解釋和估計辨識帶來了極大的困難，也正是因為這些困難，它一般多用于對單自由度或低自由度的非線性系統(tǒng)的分析。為了克服廣義頻響函數(shù)在實際應用中遇到的這些困難，近年來Lang和Billings提出了非線性輸出頻率響應函數(shù)(NOFRF：NonlinearOutputFrequencyResponseFunction)的概念，并用它對非線性系統(tǒng)的能量轉移特性作了很好的解釋，其后Peng和Lang等人又將此概念推廣到了多輸入多輸出的情況。與廣義頻響函數(shù)不同的是，非線性輸出頻響函數(shù)不僅與非線性系統(tǒng)本身的特性有關，而且與系統(tǒng)的輸入有關，它反映的是非線性系統(tǒng)在特定類型的輸入下將表現(xiàn)出來的頻率響應特性，它最大的優(yōu)點是各階次的函數(shù)都是一維的，從而可方便地用圖表來表示和進行分析，也較容易從系統(tǒng)輸入、輸出信號中辨識估計得到。利用非線性輸出頻響函數(shù)，非線性系統(tǒng)輸出和輸入頻譜之間的關系為，其中，是系統(tǒng)輸入u(t)的i次冪的傅立葉變換頻譜，表示第i階非線性輸出頻率響應函數(shù)，是系統(tǒng)輸出的傅立葉變換頻譜。在國內，一些學者也對Volterra級數(shù)進行了研究，著名學者焦李成教授在1988年對如何將Volterra級數(shù)應用于故障診斷當中進行了論述。宋志平，魏瑞軒，韓崇昭提出了一種基于系統(tǒng)仿真的非線性Volterra核函數(shù)辨識算法。張華君提出了一種基于批量遞推最小二乘的Volterra級數(shù)核辨識方法。李斌等介紹了非線性系統(tǒng)Volterra級數(shù)的原理及其在故障檢測中的應用，并基于這一方法設計了飛機剎車系統(tǒng)慣性傳感器故障檢測設備，被測系統(tǒng)的故障特征是廣義頻率響應函數(shù)。曹建福等基于Volterra級數(shù)，介紹了非線性系統(tǒng)廣義頻率響應函數(shù)的概念，提出了一種求解多項式類非線性系統(tǒng)GFRF的遞推算法，并證明了該算法的有效性。張華君，韓崇昭等提出了一種在確保辨識精度的前提下，利用影響指數(shù)對Volterra級數(shù)核函數(shù)進行選擇，并利用篩選出的核函數(shù)作為對原系統(tǒng)的逼近，從而有效地降低了核函數(shù)的辨識維度，達到了簡化辨識的目的。蔣靜，李志農等基于Volterra級數(shù)研究了旋轉機械轉子碰摩故障的非線性頻譜分析方法。唐浩等研究了轉子系統(tǒng)起車過程中正常狀態(tài)和碰摩狀態(tài)Volterra級數(shù)核函數(shù)的變化，并利用辨識出的Volterra級數(shù)核函數(shù)判斷轉子系統(tǒng)是否存在故障。韓清凱等基于非線性輸出頻率響應函數(shù)（NOFRFs）的方法，對轉子系統(tǒng)碰摩故障進行了定位辨識。袁海英等基于GFRF函數(shù)對非線性模擬電路進行了故障診斷。高占寶等研究了如何基于GFRF函數(shù)對系統(tǒng)進行健康監(jiān)測。魏瑞軒等[78]詳細介紹了非線性系統(tǒng)故障診斷的Volterra級數(shù)分析方法。2Volterra級數(shù)的基本理論2.1引言非線性振動現(xiàn)象在實際的機械設備和結構當中廣泛存在。例如，機械系統(tǒng)中的間隙、干摩擦、軸承油膜、結構系統(tǒng)的大變形、非線性材料本構關系等?，F(xiàn)在普遍使用的非線性振動定量分析方法一般都是通過各種近似解法對非線性系統(tǒng)進行近似求解。然而，本質上來說，這些廣泛使用的研究方法都是在時域考察非線性振動系統(tǒng)的動力學行為，分析系統(tǒng)狀態(tài)隨時間的演化。比較而言，直接針對非線性振動系統(tǒng)的頻率響應特性的研究則相對較少。眾所周知，現(xiàn)在普遍使用的頻率響應函數(shù)能夠極大地簡化線性系統(tǒng)的分析，曾使線性系統(tǒng)的研究得到飛躍式的發(fā)展。令人遺憾的是，頻率響應函數(shù)不能直接應用于非線性振動系統(tǒng)的分析研究，它不能夠解釋一些非線性振動系統(tǒng)所特有的頻率響應現(xiàn)象，如次共振現(xiàn)象、高次諧波和亞諧波的產生、及頻率間交叉調制現(xiàn)象等。如果能夠發(fā)展出類似頻率響應函數(shù)的概念，在頻域研究非線性振動系統(tǒng)的動力學行為，分析非線性特征參數(shù)和線性特征參數(shù)對系統(tǒng)頻率響應特性的影響，無疑將對非線性振動系統(tǒng)尤其是多自由度非線性振動系統(tǒng)的分析、設計和控制起到極大的促進作用。另外，雖然一些學者基于Volterra級數(shù)核的多維傅里葉變換即廣義頻率響應函數(shù)對非線性系統(tǒng)進行了分析，然而，廣義頻響函數(shù)除了第一階是一維的以外，其它階次的廣義頻響函數(shù)都是多維的，它們的維數(shù)和它們的階次相等，因此三階以上的廣義頻響函數(shù)基本上無法用直觀的圖形來表示。廣義頻響函數(shù)的多維性同樣給對它的分析解釋和估計辨識帶來了極大的困難。基于以上考慮，所以有必要進一步對Volterra級數(shù)理論進行研究，基于Volterra級數(shù)，研究出較廣義頻響函數(shù)使用起來更加方便的非線性頻域分析方法。2.2Volterra級數(shù)的表達形式對于線性系統(tǒng)，Volterra級數(shù)表示的是系統(tǒng)的輸入與輸出之間線性的關系，如下式所示：（2-1）其中，x(t)是系統(tǒng)的輸入，y(t)是系統(tǒng)的輸出，可以把上式理解為Duhamel積分，系統(tǒng)可以由脈沖響應函數(shù)h(t)唯一確定，對方程(2-1)進行傅里葉變換產生了下面的頻域表達式，（2-2）其中，X()，Y()，H()分別是x(t)，y(t)，h(t)的傅里葉變換。H()是系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)(FRF)。對于線性系統(tǒng)，H()或h(t)包含系統(tǒng)所有的信息。方程(2-1)(2-2)對于分析線性系統(tǒng)是正確的，但它不能用于分析非線性系統(tǒng)，眾所周知，現(xiàn)在普遍使用的頻率響應函數(shù)能夠極大地簡化線性系統(tǒng)的分析，曾使線性系統(tǒng)的研究得到飛躍式的發(fā)展。令人遺憾的是頻率響應函數(shù)不能直接應用于非線性振動系統(tǒng)的分析研究，它不能夠解釋一些非線性振動系統(tǒng)所特有的頻率響應現(xiàn)象，如次共振現(xiàn)象、高次諧波和亞諧波的生產、及頻率間交叉調制現(xiàn)象等。幸運的是，同線性系統(tǒng)一樣，對任意連續(xù)的時不變非線性動態(tài)系統(tǒng)，若輸入、輸出都是解析函數(shù)，在零初始條件下，如果系統(tǒng)所采用的輸入信號u(t)都滿足下式，即u(t)是能量有限的信號。則該系統(tǒng)可以用如廣義卷積積分或Volterra級數(shù)表示。Volterra級數(shù)是方程(2-1)的擴展形式，它是一個無窮項級數(shù)，可以表示成下式，函數(shù)是線性脈沖響應函數(shù)的推廣，一般稱它們?yōu)閂olterra級數(shù)的核函數(shù)。另外，設被研究的系統(tǒng)的平衡點y=0，這意味著在方程(2-4)中沒有常數(shù)項y0(t)，這主要是為了避免常數(shù)項輸出引起輸入頻率之間的相互耦合。另外，值得注意的是，當系統(tǒng)的二階以上Volterra核均為零時，非線性系統(tǒng)就退化為線性系統(tǒng)。如方程(2-4)所示，Volterra級數(shù)是無窮項級數(shù)，這可能會引起級數(shù)收斂性問題。經(jīng)過一些學者的努力，Volterra級數(shù)的收斂性問題雖然取得了一些進步，但至今仍是個未得到很好解決的難題，由于實際工程當中許多非線性系統(tǒng)的Volterra級數(shù)表示都是收斂的，且該問題不是本文的研究重點，所以本文將不對Volterra級數(shù)的收斂性問題作過多的討論，只是假定本文當中所研究的非線性系統(tǒng)的Volterra級數(shù)都是收斂的。在實際當中，對于收斂的Volterra級數(shù)，則可采用截斷的Volterra級數(shù)來近似表示非線性系統(tǒng)輸入與輸出之間的關系，即：其中，Q是截斷階數(shù)。2.3NARMAX模型及其相關理論本章以上各節(jié)分析的出發(fā)點都是已知非線性系統(tǒng)的動力學微分方程或動力學差分方程，然而，對實際工程系統(tǒng)進行分析時，由于系統(tǒng)較復雜，利用數(shù)學的方法對其進行精確建模比較復雜，所以一般情況下系統(tǒng)的動力學方程是未知的，此時為了對該工程系統(tǒng)進行分析，需要先對系統(tǒng)的模型進行辨識，然后再對其進行上文介紹的非線性頻域分析。另外，由于對實際工程系統(tǒng)進行分析時，采集到的信號都是離散的，該離散數(shù)據(jù)不能夠直接用連續(xù)Volterra級數(shù)進行分析，于是大家利用離散的Volterra級數(shù)對采集到的數(shù)據(jù)進行分析，然而在利用離散的Volterra級數(shù)對系統(tǒng)進行分析時，然而人們發(fā)現(xiàn)離散Volterra級數(shù)核的辨識是一個具有挑戰(zhàn)性的難題。幸運的是，由于NARMAX模型既包含了過去的輸出信息，又包含了現(xiàn)在和過去的輸入信息，與Volterra，Wiener模型相比，它只需要較少的參數(shù)集，因此利用NARMAX模型，可以有效地減少非線性系統(tǒng)辨識的計算工作量。因此許多情況，可以先根據(jù)測量得到的輸入輸出時域信號，辨識出非線性系統(tǒng)的NARMAX模型，然后基于辨識得到的系統(tǒng)NARMAX模型，計算出該系統(tǒng)的廣義頻率響應函數(shù)或非線性輸出頻率響應函數(shù)，在頻域對系統(tǒng)進行分析。本文第四章基于NARMAX模型與非線性輸出頻率響應函數(shù)對結構系統(tǒng)進行損傷檢測，利用的就是這個思想。下面將詳細地介紹一下NARMAX模型的基本理論，主要包括：NARMAX模型的具體表達式，辨識方法，以及模型有效性驗證等內容。2.3.1NARMAX模型Leontaritis和Billings在1985年提出了非線性系統(tǒng)的NARMAX模型，并且指出滿足一定條件的非線性系統(tǒng)均可以用NARMAX模型來表示。NARMAX模型是非線性系統(tǒng)的一般參數(shù)化表達形式。NARMAX模型表示系統(tǒng)輸入與輸出之間的一個非線性函數(shù)關系，該函數(shù)是一個非線性的差分方程，如下式所示，其中，分別是時刻k時，系統(tǒng)輸出、輸入與噪聲項的最大延遲數(shù)，u(k),y(k)分別是系統(tǒng)的輸入與輸出，是一個非線性函數(shù)。實際工程當中，噪聲項e(k)是無法直接測量出來的，而是用預測誤差來代替，即，其中，是預測的輸出，y(k)為測量得到的實際輸出。在利用NARMAX模型進行系統(tǒng)辨識過程當中，首先應確定ny、nu和的值，因為它們的大小關系到模型辨識時系統(tǒng)包含的項數(shù)。由方程可知，模型所包含的多項式的個數(shù)，特別是非線性項的個數(shù)在不同的組合時可能達到上千項。因此，ny、nu和的值應在滿足辨識精度的條件下盡量小，然而作為系統(tǒng)模型，在滿足實際應用的同時，模型的項數(shù)仍可能過多。這時，需要對所謂的重要項進行選擇，即確定哪些項貢獻比例大，哪些項貢獻比例小，將貢獻比例小的項去掉，從而即能簡化模型，又能充分反映真實系統(tǒng)。這個問題可通過計算各項對系統(tǒng)的貢獻來解決。在計算過程當中，先選出貢獻最大的，再從系統(tǒng)中除去該項，重新選出貢獻最大的項，以此類推，當前面選出項的總貢獻大于設定的門限值之后，結束選項。下面兩小節(jié)將介紹如何根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)辨識出系統(tǒng)的NARMAX模型。2.3.2正交參數(shù)估計假設函數(shù)是階數(shù)為Nl的多項式函數(shù)。為了估計該函數(shù)的參數(shù)，方程可以用下式來表示，其中，代表NARMAX模型當中的項，，N為數(shù)據(jù)的長度，是列向量的個數(shù)，是待估計的模型參數(shù)。為了利用正交遞推最小二乘算法估計參數(shù)，將方程改寫成一個等價的輔助方程，其中，是正交的列向量，gi是方程中待估計的參數(shù)，該參數(shù)向量可以通過正交算法估算得出。正交算法具體步驟如下，第一步，令其中，由正交性可知，當其中，方程上面的橫杠表示在時間序列上的平均。第二步，估計參數(shù)gi，并將其轉化成。gi是輔助方程中待估計的參數(shù)，可用下式計算，因此，原模型中的待估計的未知參數(shù)可通過計算得到，由于向量是正交的，所以無需重復計算，。因此，利用正交最小二乘算法進行參數(shù)估計可以簡化計算。實際上，方程包含的預選項非常多，這使得計算非常復雜而且有時會因為待估計的參數(shù)太多，而使得估計的參數(shù)精度較差，甚至無解。因此如何準確并有效地辨識出系統(tǒng)的模型成為了一項難題。針對以上難題，Chen和Billings提出了一種正交前向回歸最小二乘算法?；谠撍惴梢暂^好地辨識出系統(tǒng)的NARMAX模型并且可以減小系統(tǒng)辨識的計算量。本文即是基于該算法，辨識出了被檢測系統(tǒng)的NARMAX模型，再根據(jù)辨識得到的NARMAX模型，得到被檢測系統(tǒng)的NARX模型。3級數(shù)理論在結構損傷檢測應用3.1結構損傷檢測的意義隨著科技和社會的迅速發(fā)展，大型的復雜工程結構不斷涌現(xiàn)，如高層、超高層建筑、大跨度橋梁、大型水利工程、大型海洋平臺、造價昂貴的飛機和航天設備等。這些重要的工程結構在服役期間，由于諸如外物碰撞、環(huán)境腐蝕、材料老化、荷載的長期效應和疲勞效應等眾多因素的影響，將會不斷累積損傷。由于結構的局部損傷可能會導致結構整體的迅速破壞，由此而造成重大的工程事故，給人民的生命財產帶來巨大的損失?；诖它c考慮，人們對各種工程結構在使用期間的損傷識別和健康監(jiān)測也越來越重視，這也使得結構損傷檢測技術成為了當前研究的熱點之一。結構損傷檢測最早被應用于機械、航空領域，對由連桿、軸承、齒輪等一系列零件組成的大型機械進行損傷檢測；在20世紀60年代初期，由于航空、軍工的需要，結構的損傷檢測技術也逐漸發(fā)展起來，發(fā)展出了一系列的無損檢測技術；80年代以后，計算機技術、信息技術和人工智能等學科的知識不斷被應用到結構損傷檢測中，由此發(fā)展出了各種各樣的結構損傷檢測方法。3.2損傷檢測的分類結構損傷檢測技術按檢測目標可分為局部檢測和整體檢測兩大類。局部法依靠無損檢測技術(NondestructiveEvaluation，NDE)對特定構件進行精確的檢測，描述缺陷的部位，而整體法試圖評價整體結構的狀態(tài)，可以間斷或連續(xù)地評價結構的健康，確定損傷存在的可疑區(qū)域。在大型土木結構工程的健康監(jiān)測中多綜合利用局部法和整體法。傳統(tǒng)的損傷檢測方法大多用可視的或局部的試驗方法，如超聲波,渦流,光與熱方法，引導聲波技術包括Lamb波等。這些方法都要求事先知道損傷的大概位置，且被檢測部位是能夠接近或到達的，故這些方法通常都只能檢測結構表面及其附近的損傷，且工作量大、耗費高，不能對結構的健康狀況進行實時監(jiān)控。所以發(fā)展整體的、適時的，適合于各種大型復雜結構的損傷檢測方法顯得尤為重要。由于結構振動的模態(tài)參數(shù)(比如頻率、振型和模態(tài)阻尼)是結構物理參數(shù)(如質量，剛度和阻尼)的函數(shù)，因此結構物理參數(shù)的變化必然導致結構振動模態(tài)參數(shù)的變化。另外，由于振動測試法具有信號易提取、測點無需苛刻要求的高效性、經(jīng)濟性以及結構動態(tài)響應的全局性等優(yōu)點，所以基于結構振動特性改變的損傷識別方法是解決傳統(tǒng)損傷檢測方法局限性的有效方法之一。隨著現(xiàn)代模態(tài)測試分析技術以及數(shù)字信號處理技術的日益精確和完善，基于振動的結構損傷識別方法已迅速發(fā)展起來，并已被廣泛地應用于工程實踐當中。損傷識別通常分為四個級別：判斷損傷的發(fā)生；確定損傷的位置；求解損傷的程度；預測結構的剩余壽命。早期的損傷識別方法多集中于利用損傷前后頻率的變化來判別損傷是否發(fā)生，后來逐漸發(fā)展到充分利用各種模態(tài)測試信息(如位移振型，應變振型和頻響函數(shù))對損傷進行精確定位和損傷程度量化，由于第四個級別的損傷識別與預測通常要與斷裂力學，疲勞壽命分析，結構設計評估的領域相結合才可能實現(xiàn)，比較復雜，目前對結構的剩余壽命還無法給出精確的預測。針對以上四個級別的損傷識別研究，大量的研究人員付出了艱辛的努力，并發(fā)展出了各種各樣的損傷檢測方法，其中根據(jù)所采用的分析技術，大致可將基于振動的損傷識別方法分為以下兩類：基于模態(tài)分析方法的結構損傷檢測和基于試驗信號處理的損傷檢測方法?；谀B(tài)分析方法的結構損傷檢測方法主要是針對結構的全局測試，使用的模態(tài)都限于低頻范圍內，所檢測的結構應容易建立有限元模型，便于進行響應預測。該損傷檢測方法的原理是通過測試結構振動模態(tài)（如固有頻率、固有振型和模態(tài)阻尼）的改變來分析結構的損傷，采用振型模態(tài)的導數(shù)可延伸出其它分析技術，如曲率模態(tài)、應變模態(tài)等，這些方法的優(yōu)點是能反映出結構損傷的位置信息。依據(jù)所采用的模態(tài)信息的不同，可將基于模態(tài)分析方法的結構損傷檢測方法細分為以下幾種方法：固有頻率法由于結構振動的低階頻率信息較容易獲得且辨識精度很高，所以結構振動的頻率信息被最早用于損傷檢測。但是，固有頻率往往只能發(fā)現(xiàn)損傷，而無法確定損傷的位置，這是因為不同位置的損傷可能引起相同量的頻率變化。另外，頻率變化對損傷的靈敏度也不高，結構發(fā)生小損傷甚至不會引起低階頻率發(fā)生明顯的改變。振型法雖然振型的測試精度低于固有頻率，但振型包含更多的損傷信息。利用振型變化識別結構早期損傷的方法很多，主要包括，a，模態(tài)置信度判據(jù)法用模態(tài)置信判據(jù)進行損傷識別(如MAC、COMAC)。其原理是:當損傷未發(fā)生時，模態(tài)置信度判據(jù)為1?？梢坏p傷發(fā)生，由于振型的變化，模態(tài)置信度判據(jù)不等于1。b，模態(tài)正交法顧名思義，模態(tài)正交法是利用模態(tài)的正交條件進行損傷識別。當結構無損傷時，模態(tài)滿足正交條件；當結構發(fā)生損傷時，則模態(tài)不滿足正交條件。然而，實際工程當中，上述基于振型變化的損傷識別技術在應用中面臨著測量振型不完整(不僅測量的振型個數(shù)少于分析模型的個數(shù)，而且測量的自由度個數(shù)也少于分析模型的自由度數(shù))和噪聲的影響問題，當缺少損傷影響較大的測量模態(tài)時，該類技術將不能識別結構的損傷?；趧偠茸兓膿p傷識別技術當一個結構發(fā)生損傷時，剛度矩陣一般提供的信息比質量矩陣多。利用剛度矩陣的變化進行損傷識別有很多人在研究，因為結構發(fā)生較大的損傷時，其剛度將發(fā)生顯著的變化。但是，結構發(fā)生微小的損傷(比如小于5%)時，這類方法將無法進行損傷識別。柔度矩陣改變法相對于結構的剛度矩陣而言，柔度矩陣可以根據(jù)質量歸一化的振型和結構的前幾階固有頻率精確地得到，所以用柔度矩陣的變化來進行損傷定位的方法頗具實用價值。振型曲率或柔度曲率法如果結構出現(xiàn)損傷，則損傷處的剛度會降低，而曲率會增大。振型曲率的變化隨著曲率的增大而增大。因此，可以根據(jù)振型曲率的變化確定損傷發(fā)生的位置。這種方法還可以以振型曲率作為定位參數(shù)，判斷損傷產生的位置。該方法的不足之處是需要非常鄰近的測點，以便利用中心差分法求取曲率模態(tài)。這樣就要求足夠密的測點，或者要求精度非常好的插值擴階模態(tài)，否則將增大曲率模態(tài)振型的誤差。模態(tài)應變能由于損傷單元前后的模態(tài)應變能變化率很大，與損傷單元相鄰單元的模態(tài)應變能變化率較小，而遠離損傷單元的模態(tài)應變能變化率很小的結論，因此，可將損傷前后單元模態(tài)應變能的變化率作為損傷定位的指標。另外還有基于傳遞函數(shù)(頻響函數(shù))變化的損傷識別技術?；谠囼炐盘柼幚淼膿p傷檢測方法不需識別結構的動力參數(shù)，而是通過對比所檢測結構與無損傷結構的響應信號或信號的某種特征參數(shù)來識別損傷。通常是針對結構局部構件的檢測，特別是不易用有限元方法建立損傷模型的結構系統(tǒng)。一般來說，直接測試得到的動態(tài)響應信號要經(jīng)過處理才能提取出其特征參數(shù)，在基于試驗信號處理的損傷檢測方法中，用于信號處理的方法是多種多樣的，主要可分為時域方法、頻域方法以及時頻分析方法。常用的時域方法有利用AR，MA，ARMA(自回歸滑動平均)模型，相關函數(shù)和擴展的卡爾曼濾波算法等一系列方法。對于滾動軸承還有下面一些方法：時域峰值(PeakAmplitude)法，振動水平診斷法(RmsAmplitude)，峰值因素法(CrestFactorAnalysis)，峭度因子分析法(KurtosisAnalysis)，沖擊脈沖法(ShockPulseMethod)。2）頻域方法常用的分析方法有傅立葉譜分析、多譜分析[117,118]、倒譜分析。3）時頻分析方法有小波分析及Wigner-Ville分布以及近年來發(fā)展起來的HHT(希爾伯特黃變換)。3.3當前結構損傷檢測存在的問題當前，模態(tài)分析方法在結構損傷檢測方面是用的最廣泛的技術，而當前的模態(tài)分析技術采用了線性模型假設，這在結構具有小損傷情況下是可行的，但當損傷比較大時，結構振動的非線性特性將會越來越明顯，所以用模態(tài)分析方法來對損傷比較大的結構進行分析，可能會存在較大的誤差。另外，一些學者指出結構的線性特性檢測特征對結構的變化不敏感。例如文獻指出數(shù)值研究結果顯示截面面積10~20%的裂紋，固有頻率僅僅降低了0.6~1.9%?；诖丝紤]，最近一些年，許多學者提出了一些利用非線性振動方法來對結構進行損傷檢測的方法。例如，Tsyfanskii和他的同事研究棒的振動響應時發(fā)現(xiàn)棒的非線性因素對裂紋(即使是非常小的裂紋)的存在非常敏感。Bovsunovsky以及Surce證實了這一點，并且指出非線性因素對裂紋的存在比固有頻率或模態(tài)振型敏感。所以研究新的非線性分析方法以及新的信號處理方法對結構的損傷識別具有重要的意義?；谝陨峡紤]，本文將提出另外一種新的結構損傷檢測技術，由于該結構損傷檢測技術的理論基礎是NARMAX模型和NOFRFs分析方法，所以該損傷檢測技術是一種非線性檢測技術。該損傷檢測技術主要包含以下三步：首先，根據(jù)檢測對象的輸入和輸出數(shù)據(jù)建立NARMAX模型，根據(jù)該模型，提取出NARX模型；然后，基于求得的NARX模型，可以求出檢測對象的NOFRFs以及相關的指標；最后，通過比較被檢測對象和正常結構的NOFRFs相關指標的值，判斷結構是否存在損傷。4結束語本文主要介紹了Volterra級數(shù)的具體表達形式、廣義頻率響應函數(shù)的定義、基于諧波探測法的廣義頻率響應函數(shù)求解方法以及廣義頻率響應函數(shù)的一般遞推方法、非線性輸出頻率響應函數(shù)的定義以及數(shù)值求解方法、輸出頻率響應函數(shù)的定義以及求解方法。另外，還介紹了NARMAX模型的相關理論，主要包括NARMAX模型表達式、基于正交最小二乘算法對關鍵項進行選擇、模型有效性驗證等內容。需要進一步完善基于非線性輸出頻率響應函數(shù)以及NARMAX模型對非線性結構進行損傷檢測的方法，因為本文當中的實驗研究的只是比較簡單的實驗模型，對于比較復雜的實際系統(tǒng)，可能還要考慮更多的環(huán)境因素或工程實踐當中需要解決的問題。雖然理論上以及實驗已經(jīng)證實了上述損傷檢測方法的可行性，但是選擇關鍵項以及輸入輸出數(shù)據(jù)辨識出NARMAX模型的計算量比較大，不便于在線監(jiān)測和損傷診斷，所以如果將這項技術應用于實際的工程，還有許多工作要做。本文第五章基于非線性輸出頻率響應函數(shù)對周期結構當中的非線性部位進行定位的方法，目前的實驗研究只是對于一維鏈狀周期結構，對比較復雜的系統(tǒng)當中的非線性部件進行定位還比較困難，這也是將來的研究方向之一。本文當中并沒有對Volterra級數(shù)的收斂性問題進行研究，只是假定本文當中表示非線性系統(tǒng)的Volterra級數(shù)都是收斂的，所以希望今后能夠對Volterra級數(shù)的收斂性問題進行研究。本文當中的Volterra級數(shù)理論均是對于平穩(wěn)系統(tǒng)進行的研究，將來可以進一步研究