探索規(guī)律問題

圖靈教育學科講義校長/組長簽字：簽字日期：年級：課時數(shù)：姓名：科目：數(shù)學教師：課題探索規(guī)律問題時間2016年月日A/B/C/D/E教學目的掌握數(shù)字猜測型，數(shù)式規(guī)律型，圖形規(guī)律型，數(shù)形結(jié)合猜測型和動態(tài)規(guī)律型問題的求解方法；重難點教學內(nèi)容 一、要點梳理知識點名師點晴規(guī)律類型1．數(shù)字猜測型在分析比擬的根底上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊涵的數(shù)量關(guān)系，先猜測，然后通過適當?shù)挠嬎愦饛?fù)以下問題.2．數(shù)式規(guī)律型通過觀察、分析、歸納、驗證，然后得出一般性的結(jié)論，以列代數(shù)式即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容.3．圖形規(guī)律型圖形規(guī)律問題主要是觀察圖形的組成、分拆等過程中的特點，分析其聯(lián)系和區(qū)別，用相應(yīng)的算式描述其中的規(guī)律，注意對應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合.4．數(shù)形結(jié)合猜測型首先要觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)圖形的變化方式，再將圖形的變化以數(shù)或式的形式反映出來，從而得出圖形與數(shù)或式的對應(yīng)關(guān)系．5．動態(tài)規(guī)律型要將圖形每一次的變化與前一次變化進行比擬，明確哪些結(jié)果發(fā)生了變化，哪些結(jié)果沒有發(fā)生變化，從而逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律．二、考點歸納歸納1：數(shù)字猜測型根底知識歸納：數(shù)字規(guī)律問題主要是在分析比擬的根底上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊涵的數(shù)量關(guān)系，先猜測，然后通過適當?shù)挠嬎愦饛?fù)以下問題．注意問題歸納：要認真分析比擬，從而發(fā)現(xiàn)題中蘊涵的數(shù)量關(guān)系，通過猜測，再通過計算解決問題．【例1】一列數(shù)：0，-1，3，-6，10，-15，21，……，按此規(guī)律第n個數(shù)為歸納2：數(shù)式規(guī)律型根底知識歸納：數(shù)式規(guī)律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗證，然后得出一般性的結(jié)論，以列代數(shù)式即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容．注意問題歸納：要注意觀察、分析、歸納、并驗證得出結(jié)論．【例2】有一個計算程序，每次運算都是把一個數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，屢次重復(fù)進行這種運算的過程如下：那么第n次運算的結(jié)果yn=〔用含字母x和n的代數(shù)式表示〕．歸納3：圖形規(guī)律型根底知識歸納：圖形規(guī)律問題主要是觀察圖形的組成、分拆等過程中的特點，分析其聯(lián)系和區(qū)別，用相應(yīng)的算式描述其中的規(guī)律，要注意對應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合．注意問題歸納：要注意分析圖形的組成與分拆過程中的特點，要注意數(shù)形結(jié)合．【例3】如圖，是由一些點組成的圖形，按此規(guī)律，在第n個圖形中，點的個數(shù)為．歸納4：數(shù)形結(jié)合猜測型根底知識歸納：數(shù)形結(jié)合猜測型問題首先要觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)圖形的變化方式，再將圖形的變化以數(shù)或式的形式反映出來，從而得出圖形與數(shù)或式的對應(yīng)關(guān)系，數(shù)形結(jié)合總結(jié)出圖形的變化規(guī)律，進而解決相關(guān)問題．注意問題歸納：要注意觀察圖形，發(fā)現(xiàn)圖形的變化方式，用好數(shù)形結(jié)合思想解決問題．【例4】如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC邊在直線a上，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到位置①可得到點P1，此時AP1=；將位置①的三角形繞點P1順時針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點P2，此時AP2=1+；將位置②的三角形繞點P2順時針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點P3，此時AP3=2+；……，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至得到點P2014為止．那么AP2014=．歸納5：動態(tài)規(guī)律型根底知識歸納：動態(tài)規(guī)律問題是探求圖形在運動變換過程中的變化規(guī)律，解答此類問題時，要將圖形每一次的變化與前一次變化進行比擬，明確哪些結(jié)果發(fā)生了變化，哪些結(jié)果沒有發(fā)生變化，從而逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律．注意問題歸納：要注意探求圖形的變化規(guī)律，明確發(fā)生變化的與沒有發(fā)生變化的量，從而逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律．【例5】如圖，在x軸的正半軸上依次間隔相等的距離取點A1，A2，A3，A4，……，An分別過這些點做x軸的垂線與反比例函數(shù)y=的圖象相交于點P1，P2，P3，P4，……Pn作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，……，PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1，垂足分別為B1，B2，B3，B4，……，Bn﹣1，連接P1P2，P2P3，P3P4，……，Pn﹣1Pn，得到一組Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，……，Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn，那么Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面積為．【答案】．三、能力提升1．〔2015綿陽〕將一些相同的“○”按如下圖的規(guī)律依次擺放，觀察每個“龜圖”中的“○”的個數(shù)，假設(shè)第n個“龜圖”中有245個“○”，那么n=〔〕A．14B．15C．16D．172．〔2015十堰〕如圖，分別用火柴棍連續(xù)搭建正三角形和正六邊形，公共邊只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六邊形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的個數(shù)比正六邊形的個數(shù)多6個，那么能連續(xù)搭建正三角形的個數(shù)是〔〕A．222B．280C．286D．2923．〔2015荊州〕把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：〔1〕，〔3，5，7〕，〔9，11，13，15，17〕，〔19，21，23，25，27，29，31〕，…，現(xiàn)有等式Am=〔i，j〕表示正奇數(shù)m是第i組第j個數(shù)〔從左往右數(shù)〕，如A7=〔2，3〕，那么A2015=〔〕A．〔31，50〕B．〔32，47〕C．〔33，46〕D．〔34，42〕4．〔2015包頭〕觀察以下各數(shù)：1，，，，…，按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算這列數(shù)的第6個數(shù)為〔〕A．B．C．D．5．〔2015重慶市〕以下圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律組成的，其中第①個圖形中一共有6個小圓圈，第②個圖形中一共有9個小圓圈，第③個圖形中一共有12個小圓圈，…，按此規(guī)律排列，那么第⑦個圖形中小圓圈的個數(shù)為〔〕A．21B．24C．27D．306．〔2015泰安〕下面每個表格中的四個數(shù)都是按相同規(guī)律填寫的：根據(jù)此規(guī)律確定x的值為〔〕A．135B．170C．209D．2527．〔2015重慶市〕以下圖形都是由幾個黑色和白色的正方形按一定規(guī)律組成，圖①中有2個黑色正方形，圖②中有5個黑色正方形，圖③中有8個黑色正方形，圖④中有11個黑色正方形，…，依次規(guī)律，圖⑩中黑色正方形的個數(shù)是〔〕A．32B．29C．28D．268．〔2015崇左〕以下圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，那么第4個圖形中所有正三角形的個數(shù)有〔〕A．160B．161C．162D．1639．〔2015賀州〕觀察以下等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，解答下面問題：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位數(shù)字是〔〕A．0B．3C．4D．810．〔2015宜賓〕如圖，以點O為圓心的20個同心圓，它們的半徑從小到大依次是1、2、3、4、…、20，陰影局部是由第1個圓和第2個圓，第3個圓和第4個圓，…，第19個圓和第20個圓形成的所有圓環(huán)，那么陰影局部的面積為〔〕A．231πB．210πC．190πD．171π11．〔2015鄂州〕在平面直角坐標系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如下圖的方式放置，其中點B1在y軸上，點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x軸上，正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…那么正方形A2015B2015C2015D2015的邊長是〔〕A．B．C．D．12．〔2015慶陽〕在如下圖的平面直角坐標系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點B2成中心對稱，如此作下去，那么△B2nA2n+1B2n+1〔n是正整數(shù)〕的頂點A2n+1的坐標是〔〕A．〔4n﹣1，〕B．〔2n﹣1，〕C．〔4n+1，〕D．〔2n+1，〕13．〔2015寧德〕如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3…都在x軸上，點B1，B2，B3…都在直線上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，那么點B2015的坐標是〔〕A．〔，〕B．〔，〕C．〔，〕D．〔，〕14．〔2015河南省〕如下圖，在平面直角坐標系中，半徑均為1個單位長度的半圓O1、O2、O3，…組成一條平滑的曲線，點P從原點O出發(fā)，沿這條曲線向右運動，速度為每秒個單位長度，那么第2015秒時，點P的坐標是〔〕A．〔2014，0〕B．〔2015，﹣1〕C．〔2015，1〕D．〔2016，0〕15．〔2015張家界〕任意大于1的正整數(shù)m的三次冪均可“分裂”成m個連續(xù)奇數(shù)的和，如：，，，…按此規(guī)律，假設(shè)分裂后其中有一個奇數(shù)是2015，那么m的值是〔〕A．46B．45C．44D．4316．〔2015邵陽〕如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，矩形在直線l上繞其右下角的頂點B向右旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，再繞右下角的頂點繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置，…，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2015次后，頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是〔〕A．2015πB．3019.5πC．3018πD．3024π17．〔2015威海〕如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為2，正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切，…按這樣的規(guī)律進行下去，A10B10C10D10E10F10的邊長為〔〕A．B．C．D．18．〔2015日照〕觀察以下各式及其展開式：；；；；…請你猜測的展開式第三項的系數(shù)是〔〕A．36B．45C．55D．6619．〔2015寧波〕如圖，將△ABC沿著過AB中點D的直線折疊，使點A落在BC邊上的A2處，稱為第1次操作，折痕DE到BC的距離記為h1；復(fù)原紙片后，再將△ADE沿著過AD中點D1的直線折疊，使點A落在DE邊上的A2處，稱為第2次操作，折痕D1E1到BC的距離記為h2；按上述方法不斷操作下去…，經(jīng)過第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距離記為h2015，到BC的距離記為h2015．假設(shè)h1=1，那么h2015的值為〔〕A．B．C．D．20．〔2015常州〕數(shù)學家歌德巴赫通過研究下面一系列等式，作出了一個著名的猜測．4=2+2；12=5+7；6=3+3；14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+518=5+13=7+11；…通過這組等式，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是〔請用文字語言表達〕．21．〔2015淮安〕將連續(xù)正整數(shù)按如下規(guī)律排列：假設(shè)正整數(shù)565位于第a行，第b列，那么a+b=．22．〔2015雅安〕假設(shè)，，…，是從0，1，2這三個數(shù)中取值的一列數(shù)，假設(shè)=1525，，那么，，…，中為2的個數(shù)是．23．〔2015桂林〕如圖是一個點陣，從上往下有無數(shù)多行，其中第一行有2個點，第二行有5個點，第三行有11個點，第四行有23個點，…，按此規(guī)律，第n行有個點．24．〔2015梧州〕如圖是由等圓組成的一組圖，第①個圖由1個圓組成，第②個圖由5個圓組成，第③個圖由12個圓組成…按此規(guī)律排列下去，那么第⑥個圖由個圓組成．25．〔2015百色〕觀察以下砌鋼管的橫截面圖：那么第n個圖的鋼管數(shù)是〔用含n的式子表示〕26．〔2015北海〕如圖，直線與兩坐標軸分別交于A、B兩點，將線段OA分成n等份，分點分別為P1，P2，P3，…，Pn﹣1，過每個分點作x軸的垂線分別交直線AB于點T1，T2，T3，…，Tn﹣1，用S1，S2，S3，…，Sn﹣1分別表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△Tn﹣1Pn﹣2Pn﹣1的面積，那么當n=2015時，S1+S2+S3+…+Sn﹣1=．27．〔2015南寧〕如圖，在數(shù)軸上，點A表示1，現(xiàn)將點A沿x軸做如下移動，第一次點A向左移動3個單位長度到達點A1，第二次將點A1向右移動6個單位長度到達點A2，第三次將點A2向左移動9個單位長度到達點，按照這種移動規(guī)律移動下去，第n次移動到點An，如果點An與原點的距離不小于20，那么n的最小值是．28．〔2015常德〕取一個自然數(shù)，假設(shè)它是奇數(shù)，那么乘以3加上1，假設(shè)它是偶數(shù)，那么除以2，按此規(guī)那么經(jīng)過假設(shè)干步的計算最終可得到1．這個結(jié)論在數(shù)學上還沒有得到證明．但舉例驗證都是正確的．例如：取自然數(shù)5．最少經(jīng)過下面5步運算可得1，即：，如果自然數(shù)m最少經(jīng)過7步運算可得到1，那么所有符合條件的m的值為．29．〔2015株洲〕“皮克定理”是用來計算頂點在整點的多邊形面積的公式，公式表達式為，孔明只記得公式中的S表示多邊形的面積，a和b中有一個表示多邊形邊上〔含頂點〕的整點個數(shù)，另一個表示多邊形內(nèi)部的整點個數(shù)，但不記得究竟是a還是b表示多邊形內(nèi)部的整點個數(shù)，請你選擇一些特殊的多邊形〔如圖1〕進行驗證，得到公式中表示多邊形內(nèi)部的整點個數(shù)的字母是，并運用這個公式求得圖2中多邊形的面積是．30．〔2015內(nèi)江〕填空：=；=；=．〔2〕猜測：=〔其中n為正整數(shù)，且〕．〔3〕利用〔2〕猜測的結(jié)論計算：．31．〔2015南平〕定義：底與腰的比是的