第1章坐標平面上的直線（知識歸納題型突破）（原卷版）-高二數(shù)學單元速記巧練（2020選擇性）

第1章坐標平面上的直線（知識歸納+題型突破）題型一直線的傾斜角和斜率題型二直線的方程題型三直線的方向向量與法向量題型四兩條直線的位置關(guān)系題型五距離問題題型六直線的對稱問題題型七坐標平面上的直線綜合解答題一、直線的方程1.直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；(2)規(guī)定：當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°；(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α<180°}.2.直線的斜率(1)定義：我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan__α.(2)計算公式①經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點，則向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的方向向量.若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(x，y)，則k＝eq\f(y,x).3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點式過兩點eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線點法向式已知直線過點，一個法向量為，則直線的點法向式方程為：；常用結(jié)論：1.直線的傾斜角α和斜率k之間的對應(yīng)關(guān)系：α00<α<eq\f(π,2)eq\f(π,2)eq\f(π,2)<α<πk0k>0不存在k<02.截距和距離的不同之處“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù).二、兩條直線的位置關(guān)系1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2平行.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.2.直線的交點與直線的方程組成的方程組的解的關(guān)系(1)兩直線的交點點P的坐標既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點P的坐標是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐標.(2)兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行直線與夾角的余弦公式在平面直角坐標系中，已知兩條直線方程為：則與的法向量為：，；若夾角為；所以，；3.距離公式(1)兩點間的距離公式平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特別地，原點O(0，0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點到直線的距離公式平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).4.對稱問題(1)點P(x0，y0)關(guān)于點A(a，b)的對稱點為P′(2a－x0，2b－y0).(2)設(shè)點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對稱點為P′(x′，y′)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.常用結(jié)論：1.“直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要條件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“兩直線垂直”的充要條件是“A1A2＋B1B2”＝0.2.討論兩直線的位置關(guān)系時應(yīng)考慮直線的斜率是否存在.題型一直線的傾斜角和斜率【例題】1.已知直線過點和，則直線的傾斜角為.鞏固訓練：2．經(jīng)過兩點的直線的傾斜角是鈍角，則實數(shù)的范圍是.3．已知某直線的傾斜角，則該直線的斜率的范圍為．4．已知實數(shù)滿足，則的取值范圍為.題型二直線的方程【例題】5．過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程鞏固訓練：6．過點和點的直線的兩點式方程是．7．與直線垂直，且在x軸上的截距為的直線方程是．8．動直線過定點，則的坐標為.題型三直線的方向向量與法向量【例題】9．已知直線的傾斜角為，請寫出直線的一個法向量.鞏固訓練：10．已知經(jīng)過點的直線的一個法向量為，則的點法式方程為.11．若直線的一個方向向量，則的傾斜角等于.12．已知向量垂直于直線的法向量，過、分別作直線的垂線，對應(yīng)垂足為和，若，則實數(shù)的值為．題型四兩條直線的位置關(guān)系【例題】．13．已知直線：，：，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要鞏固訓練：14．若直線與直線平行，則a的值為（

）A． B．C． D．15．直線與的夾角大小為.16．直線與直線的夾角，則a的取值范圍是．題型五距離問題【例題】．17．點到直線的距離是．鞏固訓練：18．兩平行直線之間的距離為.19．設(shè)復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)在復(fù)平面上分別對應(yīng)點和點，則兩點間的距離為．20．已知x，y為實數(shù)，代數(shù)式的最小值是．題型六直線的對稱問題【例題】．21．若直線：關(guān)于直線l：對稱的直線為，則的方程為（

）A． B．C． D．鞏固訓練：22．已知點，點是直線上的動點，則的最大值為.23．已知，，從點處射出的光線經(jīng)x軸反射后，反射光線與平行，且點B到該反射光線的距離為，則實數(shù)．24．在等腰直角三角形ABC中，，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)經(jīng)BC，CA反射后又回到點P，若光線QR經(jīng)過的重心，則的周長等于（

）A． B．C． D．題型七坐標平面上的直線綜合解答題【例題】．25．已知直線過點．(1)若直線過點，求直線的方程；(2)若直線在軸和軸上的截距相等，求直線的方程．鞏固訓練：26．已知常數(shù)，設(shè)直線，直線.(1)若，求的值；(2)若與平行，求與的距離.27．已知的三個頂點、、.(1)求的三個內(nèi)角；(2)求的平分線所在直線的方程.28．已知三條直線，直線，且與的距離是.(1)求a的值；(2)若點P同時滿足下列條件：①P是第一象限的點；②點P到的距離是點P到的距離的；③點P在直線上，求點P的坐標.29．已知兩條直線和.(1)討論直線與的位置關(guān)系；(2)當直線與平行時，求它們之間的距離；當直線與相交時，求它們之間夾角的最大值，并指出相應(yīng)的取值.30．已知點是直線上的一點，將直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，所得直線方程是