2023年廣東省深圳市福田區(qū)中考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（3月份）（學(xué)生版+解析版）

2023年廣東省深圳市福田區(qū)中考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（3月份）

一、選擇題：（每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每小題3分，共計(jì)30分）

1.（3分）下列四個(gè)選項(xiàng)中，為負(fù)整數(shù)的是（）

A.0B.-2C.-√2D.?

2

2.（3分）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

3.(3分)2022年深圳全市地區(qū)生產(chǎn)總值3.24萬(wàn)億元.3.24萬(wàn)億用科學(xué)記數(shù)法表示為(

)

A.0.324XlO13B.3.24×IO13C.3.24×IO12D.32.4XlO12

4.(3分)下列運(yùn)算正確的是()

A.3x+3y=6xyB.2cr÷a=2a

22222

C.(<7+?)=cr+hD.(-3W)=-6pq

5.（3分）如圖，一個(gè)含有30。角的直角三角尺的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上.如果Nl=20。,

那么42的度數(shù)是（）

A.40oB.35oC.30oD.25°

6.(3分)一件商品售價(jià)X元，利潤(rùn)率為4%(α>0),則這種商品每件的成本是()元.

A.(l+α%)xB.(l-a%)xC.—D.-?-

l+α%l-a%

7.（3分）如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓頂A處看乙樓樓頂3處仰

角為30。，則甲樓高度為（）

A.15米B.（36-10√3）XC.156米D.（36-15√J）米

8?（3分）下列說(shuō)法正確的是（）

A.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

B.對(duì)應(yīng)邊成比例的四邊形是相似四邊形

C.二次函數(shù)y=f+?r-13為常數(shù)）的圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)

D.若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X…T

9.（3分）我們定義一種新函數(shù)：形如y=Iaxt+bx+c?（a≠0,b2-4ac>0）的函數(shù)叫做"鵲橋"

函數(shù).數(shù)學(xué)興趣小組畫出一個(gè)“鵲橋”函數(shù)y=∣χ2+?x+c∣的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正

B.c=3

C.當(dāng)直線y=x+〃?與該圖像恰有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則〃?=1

D.關(guān)于X的方程∣χ2+bx+c∣=3的所有實(shí)數(shù)根的和為4

10.（3分）如圖，四邊形ABeD和四邊形AEFG均為正方形,點(diǎn)。為EF的中點(diǎn)，若AB=2石,

連接BF,則肝的長(zhǎng)為（）

F

A.4√5B.2√L5C.5√3D.2√Γ7

二、填空題：（每小題3分，共計(jì)15分）

11.（3分）分解因式：4a2b-b=.

12.（3分）寶雞“我要上全運(yùn)”馬拉松賽事設(shè)有A“全程馬拉松”，B“半程馬拉松”,

C：“嘉年華馬拉松”三個(gè)項(xiàng)目，小智和小慧參加了該賽事的志愿者服務(wù)工作，組委會(huì)將志

愿者隨機(jī)分配到三個(gè)項(xiàng)目組.小智和小慧被分到同一個(gè)項(xiàng)目組進(jìn)行志愿服務(wù)的概率—.

13.（3分）如圖所示，在RtΔABC中，NC=90。，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以

小于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC、AB于點(diǎn)M,N；②分別以點(diǎn)M,N為圓心，以

大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)O；③作射線Q4,交BC于點(diǎn)E,若CE=6,

2

BE=10.則AB的長(zhǎng)為

14.（3分）如圖，反比例函數(shù)y=L的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,將線段OA沿X軸向右平移至Ow,

X

反比例函數(shù)y=K（A>0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A'?若線段04掃過(guò)的面積為2,則Z的值為—

15.（3分）如圖，在AABC中，N?4C=60。，點(diǎn)。在邊AC上，AD=BD,將ΔDBC沿如

折疊，BC的對(duì)應(yīng)邊BC'交AC于點(diǎn)尸，連接AC'.若ΛP=4,AC=9,則AC'的長(zhǎng)為.

A

C

三、解答題：（本題共7小題，其中第16題6分，第17題7分，第18題8分，第19題8

分，第2（）題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）

16.（6分）計(jì)算：（3.l4-Λ-）0-√3tan60o+∣√2-l∣+φ^l.

17.（6分）先化簡(jiǎn)：（且——J）.工Zl,并在一2,0,1,2中選一個(gè)合適的數(shù)求值.

x-2x+2X

18.（8分）為了解學(xué)生的睡眠情況，某校隨機(jī)抽取部分學(xué)生對(duì)他們最近兩周的睡眠情況進(jìn)

行調(diào)查,得到他們每日平均睡眠時(shí)長(zhǎng)X（單位：/?）的一組數(shù)據(jù),將所得數(shù)據(jù)分為四組（A:x<8；

（1）本次一共抽樣調(diào)查了一名學(xué)生.

（2）求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中。組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù).

（3）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.

（4）若該校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)最近兩周有多少名學(xué)生的每日平均睡眠時(shí)長(zhǎng)大于或等

于9/7.

19.（8分）某企業(yè)計(jì)劃購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的機(jī)器人來(lái)搬運(yùn)貨物，已知每臺(tái)A型機(jī)器人比

每臺(tái)8型機(jī)器人每天少搬運(yùn)10噸，且4型機(jī)器人每天搬運(yùn)540噸貨物與B型機(jī)器人每天搬

運(yùn)600噸貨物所需臺(tái)數(shù)相同.

（1）求每臺(tái)A型機(jī)器人和每臺(tái)B型機(jī)器人每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？

（2）每臺(tái)A型機(jī)器人售價(jià)1.2萬(wàn)元，每臺(tái)3型機(jī)器人售價(jià)2萬(wàn)元，該公司計(jì)劃采購(gòu)A、B兩

種型號(hào)的機(jī)器人共30臺(tái)，必須滿足每天搬運(yùn)的貨物不低于2830噸，購(gòu)買金額不超過(guò)48萬(wàn)

元.請(qǐng)你求出最節(jié)省的采購(gòu)方案，購(gòu)買總金額最低是多少萬(wàn)元？

20.（8分）如圖，Λβ為.：O的直徑，點(diǎn)C在直徑ΛS上（點(diǎn)C與A,8兩點(diǎn)不重合），OC=3,

點(diǎn)。在〈。上且滿足AC=A￡）,連接DC并延長(zhǎng)到E點(diǎn)，使BE=BD.

（1）求證：BE■是OO的切線；

（2）若BE=6,試求COSNCn4的值.

E

21.（9分）【綜合實(shí)踐】

某公園在人工湖里安裝一個(gè)噴泉,在湖心處豎直安裝一根水管,在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，

噴出的水柱形狀可以看作是拋物線的一部分.若記水柱上某一位置與水管的水平距離為X米,

與湖面的垂直高度為y米.下面的表中記錄了X與y的五組數(shù)據(jù)：

X（米）

y（米）

（1）在下面網(wǎng)格（圖1）中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示y與X

函數(shù)關(guān)系的圖象；

圖1圖2

(2)若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為用米，則機(jī)=,并求y與X函數(shù)表達(dá)式；

(3)現(xiàn)公園想通過(guò)噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過(guò)只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游

船能從拋物線形水柱下方通過(guò)，如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從拋物線形

水柱下方中間通過(guò)時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米，已知游船頂棚寬

度為3米,頂棚到湖面的高度為2米,那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度(噴水頭忽略不計(jì))

至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由(結(jié)果保留一位小數(shù)).

22.(10分)【問(wèn)題初探】

(1)如圖1,等腰RlAABC中，AB=AC,點(diǎn)。為4?邊一點(diǎn)，以BD為腰向下作等腰RlABDE,

ZDBE=90°.連接8,CE,點(diǎn)F為8的中點(diǎn)，連接AR.猜想并證明線段AF與CE的

數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

圖1圖2圖3

【深入探究】

(2)在(1)的條件下，如圖2,將等腰RtABDE繞點(diǎn)5旋轉(zhuǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立？若

成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【拓展遷移】

(3)如圖3,等腰ΔA8C中，AB=AC,ZBAC=120°.在RtABDE中，NDBE=90。，

ZBDE=-ZBAC.連接CO,CE,點(diǎn)尸為C。的中點(diǎn)，連接AF.RlΔBDE繞點(diǎn)5旋轉(zhuǎn)過(guò)

2

程中,

①線段AF與CE的數(shù)量關(guān)系為：;

②若BC=4√B,BD=25當(dāng)點(diǎn)F在等腰AABC內(nèi)部且ZBCF的度數(shù)最大時(shí)，線段AF的

長(zhǎng)度為

2023年廣東省深圳市福田區(qū)中考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（3月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題：（每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每小題3分，共計(jì)30分）

1.（3分）下列四個(gè)選項(xiàng)中，為負(fù)整數(shù)的是（）

A.0B.-2C.-√2D.-

2

【解答】解：A、0既不是正整數(shù)，也不是負(fù)整數(shù)，故不符合題意；

B、-2是負(fù)整數(shù)，故符合題意；

C、-√∑不是負(fù)整數(shù)，故不符合題意；

D、1不是負(fù)整數(shù)，故不符合題意.

2

故選：B.

2.（3分）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

【解答】解：A是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

8不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

C不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

￡）不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

故選：A.

3.（3分）2022年深圳全市地區(qū)生產(chǎn)總值3.24萬(wàn)億元.3.24萬(wàn)億用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）

A.0.324XlO'3B.3.24×IO'3C.3.24×IO12D.32.4×IO12

【解答】解：3.24萬(wàn)億=3240000000000=3.24x10".

故選：C.

4.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.3x+3y=6xyB.2?2÷a=2a

C.(a+b)2=a2+b2D.{-irpq)2=-6p2q2

【解答】解：Λ.3x和3y不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)不合題意;

B.2a2÷a=2a,故本選項(xiàng)符合題意;

C.（?+b）2=a2+2ab÷b2,故本選項(xiàng)不合題意;

D.（一3pq￥=9p2q1,故本選項(xiàng)符合題意.

故選：B.

5.（3分）如圖，一個(gè)含有30。角的直角三角尺的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上.如果/1=20。,

那么N2的度數(shù)是（）

C.30°D.25°

【解答】解：如下圖所示,

FB!/AE,

.?.N3=∕1(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等),

■.Zl=20°,

.?.Z3=200,

ZCβ4=90o-30o=60o,

.?.Z2=ZCβA-∠3=60o-Z3=40o,

故選：A.

6.（3分）一件商品售價(jià)元元，利潤(rùn)率為α%（α>0）,則這種商品每件的成本是（）元.

X

A.(1+ao∕o)xB.(1-ao∕o)xC.—D.

?+a%1—Clo∕o

【解答】解：售價(jià)=（1+利潤(rùn)率）X成本，商品售價(jià)X元，利潤(rùn)率為4%（α>0）,

成本=

l+a%

故選：C.

7.（3分）如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓頂A處看乙樓樓頂8處仰

角為30。，則甲樓高度為（）

甲乙

A.15米B.(36-1OG)米C.156米D.(36-156)米

【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AEJLE）,交BD于點(diǎn)、E,

BE=30×tan30o=10√3(米)，

.-.AC=ED=BD-BE=（36-10√3）（米）.

???甲樓高為（36-10G）米.

故選：B.

8.（3分）下列說(shuō)法正確的是（）

A.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

B.對(duì)應(yīng)邊成比例的四邊形是相似四邊形

C.二次函數(shù)y=χ2+?r-13為常數(shù)）的圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)

D.若代數(shù)式TJ=在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X…-1

√x+l

【解答】解：A.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

B.對(duì)應(yīng)邊成比例且對(duì)應(yīng)角相等的四邊形是相似四邊形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

C.對(duì)于二次函數(shù)y=χ2+?r-l（6為常數(shù)），Δ=62+4>0,所以圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn),

故該選項(xiàng)正確，符合題意;

D.若代數(shù)式J=在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x>T,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

√x+l

故選：C.

9.(3分)我們定義一種新函數(shù):形如y=|ax2+bx+c?(a≠0,?2-4ac>0)的函數(shù)叫做“鵲橋”

函數(shù).數(shù)學(xué)興趣小組畫出一個(gè)‘'鵲橋”函數(shù)yWV+fov+cl的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正

B.c=3

C.當(dāng)直線y=x+〃?與該圖像恰有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則機(jī)=1

D.關(guān)于X的方程If+fev+cI=3的所有實(shí)數(shù)根的和為4

【解答】解：(—1,0)(3,0)是函數(shù)圖象和X軸的交點(diǎn)，

∫l-?+c=O

[9+3?+c=0'

解得：F=;,

[c=-3

√.be=(-2)×(-3)=6>0,

故A、B錯(cuò)誤；

如下圖，當(dāng)直線y=x+m與該圖象恰有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該有2條直線,

故C錯(cuò)誤；

關(guān)于X的方程IJ+?x+cI=3,即W一2工一3=3或W-2x-3=-3,

2

當(dāng)x-2x-3=3時(shí)，xi+x2=--p=2,

當(dāng)d-2x-3=-3時(shí)，X3+X4=-^=2,

???關(guān)于X的方程∣f+6x+c∣=3的所有實(shí)數(shù)根的和為2+2=4,

故。正確，

故選：D.

10.（3分）如圖，四邊形ABC。和四邊形AEFG均為正方形,點(diǎn)。為防的中點(diǎn),若AB=2石,

連接3尸，則斯的長(zhǎng)為（）

F

A.4√5B.2√L5C.5&D.2√Γ7

［解答］解:將AADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得MBF',使得4）與AB重合,連接AF,BF',

四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，點(diǎn)。為所的中點(diǎn),

:.ZAED=90°,AE=EF=2DE,AD=AB=2加,ZEΛFZAFE45°,

:.DE2+AE2=AD2即DE2+4D￡2=20,

：.DE=DF=2,AE=EF=2DE=4,

將ΔADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得MBF,使得AO與ΛB重合，

.?.ZFAF'=90°,AF=AF',ZAF'B=ZAFE=A5o,BF'=DF=2,

.-.ZEAF'=AFAF'-ZE4F=90o-45o=45o=AEAF,

AE=AE,

.?.?EAF'=AEAF(SAS),

:.ZAEF'=ZAEF=90°,EF=EF'=4,ZAFE=ZAΛE=45°,

.?.NFEF'=ZAEF'+ZAEF=180o,,

.?.點(diǎn)F、E、F'三點(diǎn)共線,

ZAF'E=45°,ZAF'3=45°,

.?.ZBFT=ZAF'E+ZAF'B=90o,

BF'=2,FF'=EF+EF'=8,

:.BF=?BF￥+IFF')?=2√∏,

故選：D.

二、填空題：(每小題3分，共計(jì)15分)

11.(3分)分解因式：4a2b-b=_b(2a+l)(2α-1)

【解答】解：原式=b(4q2-l)=仇2α+l)(2α-l),

故答案為：伙2a+l)(24-l)

12.(3分)寶雞“我要上全運(yùn)”馬拉松賽事設(shè)有A“全程馬拉松”，B“半程馬拉松”,

C：“嘉年華馬拉松”三個(gè)項(xiàng)目，小智和小慧參加了該賽事的志愿者服務(wù)工作，組委會(huì)將志

愿者隨機(jī)分配到三個(gè)項(xiàng)目組.小智和小慧被分到同一個(gè)項(xiàng)目組進(jìn)行志愿服務(wù)的概率--

-3一

【解答】解：畫樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

/Tc√T?

由圖可知共有9種等可能性的情況,其中小智和小慧被分到同一個(gè)項(xiàng)目組進(jìn)行志愿服務(wù)的情

況有3種，

.?.小智和小慧被分到同一個(gè)項(xiàng)目組進(jìn)行志愿服務(wù)的概率為3=1，

93

故答案為：

3

13.(3分)如圖所示，在RtAABC中，ZC=90o,按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以

小于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC、AB于點(diǎn)M,N；②分別以點(diǎn)M,N為圓心，以

大于LMN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)O；③作射線。4,交BC于點(diǎn)E,若CE=6,

2

BE=IO.則AB的長(zhǎng)為20

【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)

ZC=ZΛDE=90o,

:.CE=DE=6,

BE=IO,

..BD=^BE1-DE2=8,

AE=AE,CE=DE,

..RtΔACE=RtAADE(HL),

.?.AC=AD,

設(shè)AC=AD=X,

在RtΔABC中，由勾股定理得AC2+3C2=Aβ2,

.?.X2÷162=(X+8)2,

解得：x=12,BPAC=AD=Uf

/.AB=20,

故答案為：20.

14.(3分)如圖，反比例函數(shù)y=1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,將線段OA沿X軸向右平移至OW,

X

反比例函數(shù)y=K(A>o)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4.若線段OA掃過(guò)的面積為2,則上的值為3

X

【解答】解：過(guò)點(diǎn)A、A'分別作AN_Lx軸，A'M±x軸于點(diǎn)N、M,延長(zhǎng)A4'交y軸，則

四邊形024"、四邊形M?4'A和四邊形Q?4'"都是矩形，

將線段OA沿X軸向右平移至OW,

.?.OA=OA',OA//OA',

.-.ZAON=ZAffM,

I軸，AwJ_x軸，

.?.ZANO=ZA'MO1=90°,

在AAVO與△4M。中，

ZAON=ZA'0'M

<AANO=ZA'MO',

OA=O'A'

.-.ΔΛNOΛA1MO1(AAS),

??SlMK)=S/MO'，

線段掃過(guò)的面積為2,

四邊形OO'A'A的面積為2,

S矩形NMRA=S四邊形M>'A'A+SA?Mθ'二S四邊形NO,.F+SMNO=SIHl邊形<χyAr=2

反比例函數(shù)y=>!■的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

X

?,S矩形ONAH=?,

?>?S矩形=1+2=3，

反比例函數(shù)y=2(A>O)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

X

.?.左=3,

故答案為：3.

15.(3分)如圖，在ΔΛBC中，N84C=60。，點(diǎn)。在邊AC上，AD=BD,將ΔT>3C沿BO

折疊，5C的對(duì)應(yīng)邊BC交AC于點(diǎn)P,連接AC.若AP=4,AC=9,則AC的長(zhǎng)為

3√3-.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作4V/_L射線DC于點(diǎn)M,

將ΔD8C沿3。折疊，BC的對(duì)應(yīng)邊BC交AC于點(diǎn)尸,

.?ZPBD=ZDBC,ABDC=ABDC,,

ZBAC=60°,AD=BD,

ΔAB。是等邊三角形，

.?ZABD=ZADB=G)0,

ZADB=NDBC+NC,

.?.ZABP+ZPBD=ZC+ZDBC，

"C=ZABP,

ZPAB=ZBAC,

:.MPBSMBC，

APAB

..----=-----,

ABAC

??.AB?=APAC=4x9=36,

.?.AB=AD=6，

.?.PD=2,CD=CD=AC-AD=3,

r

ZBDC=ZBDC9NAz)B=60。，ZBDC+ZADB=180°f

o

,?ZBDC=UOf

.?.ZADCr=60o,

AM_L射線DC',

.?.cosZADC=cos60。=1=-，

2AD

.-.DM=3,

C'D=3,

.?.點(diǎn)C'與點(diǎn)M重合，

.?.AC'?y∣AD2-DC2?3√3.

故答案為：3√3.

三、解答題：(本題共7小題，其中第16題6分，第17題7分，第18題8分，第19題8

分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分)

16.(6分)計(jì)算：(3.14-Λ?)°-√5tan6O°+∣0-l∣+(g)T.

【解答】解：原式=l-gχJ5+√5-l+3

=y/2.

17.（6分）先化簡(jiǎn)：（且——J）.三二1,并在一2,0,1,2中選一個(gè)合適的數(shù)求值.

x-2x+2X

【解答】解：原式=[3X(X+2)X(X-2)I(X-2)(X+2)

-------------------J--------------------

(x+2)(x-2)(x-2)(x+2)X

3r+6κ—f+2x(X-2)(X+2)

(x-2)(x+2)X

2x2+8x(x-2)(X+2)

(x-2)(x÷2)X

2x(X+4)(x+2)(X-2)

(x-2)(X+2)X

=2(x÷4)

=2x+8;

又分母不能為0,

.?.x不能取-2,0,2,

當(dāng)x=l時(shí)，原式=2x1+8=10.

18.（8分）為了解學(xué)生的睡眠情況，某校隨機(jī)抽取部分學(xué)生對(duì)他們最近兩周的睡眠情況進(jìn)

行調(diào)查,得到他們每日平均睡眠時(shí)長(zhǎng)X（單位：/7）的一組數(shù)據(jù),將所得數(shù)據(jù)分為四組（A:x<8；

B:8,,x<9；C9,,XCI0；。:x..lθ）,并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

（1）本次一共抽樣調(diào)查了50名學(xué)生.

（2）求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中。組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù).

（3）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.

（4）若該校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)最近兩周有多少名學(xué)生的每日平均睡眠時(shí)長(zhǎng)大于或等

于9ft.

【解答】解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為16÷32%=50（名），

故答案為：50；

（2）表示。組的扇形圓心角的度數(shù)為360。、已=14.4。；

50

（3）A組人數(shù)為50-（16+28+2）=4（名）,

補(bǔ)全圖形如下：

50

答：估計(jì)該校最近兩周有720名學(xué)生的每日平均睡眠時(shí)長(zhǎng)大于或等于9/?.

19.(8分)某企業(yè)計(jì)劃購(gòu)買A、8兩種型號(hào)的機(jī)器人來(lái)搬運(yùn)貨物，已知每臺(tái)A型機(jī)器人比

每臺(tái)B型機(jī)器人每天少搬運(yùn)10噸，且A型機(jī)器人每天搬運(yùn)540噸貨物與B型機(jī)器人每天搬

運(yùn)600噸貨物所需臺(tái)數(shù)相同.

(I)求每臺(tái)A型機(jī)器人和每臺(tái)B型機(jī)器人每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？

(2)每臺(tái)A型機(jī)器人售價(jià)1.2萬(wàn)元，每臺(tái)3型機(jī)器人售價(jià)2萬(wàn)元，該公司計(jì)劃采購(gòu)A、B兩

種型號(hào)的機(jī)器人共30臺(tái)，必須滿足每天搬運(yùn)的貨物不低于2830噸，購(gòu)買金額不超過(guò)48萬(wàn)

元.請(qǐng)你求出最節(jié)省的采購(gòu)方案，購(gòu)買總金額最低是多少萬(wàn)元?

【解答】解：(1)設(shè)每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物X噸，則每臺(tái)5型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物

(X+10)噸,

由題意得：—??

Xx+10

解得：X=90,

當(dāng)x=90時(shí)，x(x+10)≠0,

.?.x=90是分式方程的根,

.?.x+10=90+10=100>

答：每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物90噸，則每臺(tái)B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物100噸;

(2)設(shè)購(gòu)買A型機(jī)器人”臺(tái)，購(gòu)買總金額為W萬(wàn)元，

90∕w+100(302830

由題意得:

1.2機(jī)+2(30-%),,48

解得：15釉I17,

w=1.2m+2(30—m)=-0.8m+60；

-0.8<0,

??.卬隨機(jī)的增大而減小,

.?.當(dāng)m=17時(shí)，W最小，止匕時(shí)卬=T).8X17+60=46.4,

.??購(gòu)買A型機(jī)器人17臺(tái)，8型機(jī)器人13臺(tái)時(shí)，購(gòu)買總金額最低是46.4萬(wàn)元.

20.(8分)如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)C在直徑AB上(點(diǎn)。與A,8兩點(diǎn)不重合)，OC=3,

點(diǎn)。在［。上且滿足AC=A。，連接DC并延長(zhǎng)到七點(diǎn)，使BE=BD?

(1)求證：BE是。的切線；

(2)若BE=6,試求COSNaM的值.

【解答】(1)證明：AB為，O的直徑,

/.ZADB=90°，

ΛZBDE÷ZΛDC=90O,

AC=AD,

.?.ZACD=ZADC,

.?ZACD=ZECB,

:.ZECB=ZADC,

EB=DB,

IZE=ZBDE,

/.ZE÷ZBCE=90o,

.?.ZEBC=180o-(ZE+ZECB)=90°,

OB是。的半徑，

.?.BE是。的切線；

(2)解：設(shè)_O的半徑為，

OC=3,

:.AC=AD=AO+OC=3+r,

BE=6,

:.BD=BE=6，

在RtΔABD中，Bb1+ADr=AB2,

:.36+(r+3)2=(2r)2,

彳=5,2=—3(舍去)，

：.BC=OB—OC=5-3=2,

在RtΔEBC中，EC=√EB2+BC2=√62÷22=2√10,

…。SNECB=里=：=叵,

EC2√1010

cosZ.CDA=cosNECB=，

10

.?.COSNCZM的值為典.

10

21.（9分）【綜合實(shí)踐】

某公園在人工湖里安裝一個(gè)噴泉,在湖心處豎直安裝一根水管,在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，

噴出的水柱形狀可以看作是拋物線的一部分.若記水柱上某一位置與水管的水平距離為X米,

與湖面的垂直高度為y米.下面的表中記錄了X與y的五組數(shù)據(jù)：

X（米）01234

y（米）0.51.251.51.250.5

（1）在下面網(wǎng)格（圖1）中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示y與X

函數(shù)關(guān)系的圖象；

圖1圖2

(2)若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為m米，則。=1.5,并求y與X函數(shù)表達(dá)式；

(3)現(xiàn)公園想通過(guò)噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過(guò)只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游

船能從拋物線形水柱下方通過(guò)，如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從拋物線形

水柱下方中間通過(guò)時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米，已知游船頂棚寬

度為3米,頂棚到湖面的高度為2米,那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度(噴水頭忽略不計(jì))

至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由(結(jié)果保留一位小數(shù)).

【解答】解：(1)以噴泉與湖面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，

如圖1所示:

(2)由圖I可得函數(shù)頂點(diǎn)為(2,1.5),

二水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為1.5米,

/.m=1.5

根據(jù)圖象可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=Q(X-2)2+1.5,

將(0,0.5)代入y=a(x-2)2+1.5,

解得4=-1,

4

.?.拋物線的解析式為：y=-—X2÷JC+0.5;

4

(3)設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：y=--x1+x+0.5+n,

4

Q7

由題意可知，當(dāng)橫坐標(biāo)為2+士=,時(shí)，縱坐標(biāo)的值不小于2+0.5=2.5,

22

—×(―)^H-----F0.5+n..2.5>

解得〃…竺，

16

水管高度至少向上調(diào)節(jié)”米，

16

25

0.5+—≈2.l(米)，

16

公園應(yīng)將水管露出湖面的高度(噴水頭忽略不計(jì))至少調(diào)節(jié)到約2.1米才能符合要求.

22.(10分)【問(wèn)題初探】

(1)如圖1,等腰RtAABC中，AB=AC,點(diǎn)。為邊一點(diǎn)，以班)為腰向下作等腰RtABDE,

ZDBE=90。.連接CD,CE,點(diǎn)F為Co的中點(diǎn)，連接AF.猜想并證明線段AF與CE的

數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

圖1圖2圖3

【深入探究】

(2)在(I)的條件下，如圖2,將等腰RtABDE繞點(diǎn)5旋轉(zhuǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立？若

成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【拓展遷移】

(3)如圖3,等腰ΔABC中，AB=AC,ZBAC=I20。.在RtΔBDE中，ZDBE=90°,

NBDE=LNBAC.連接8,CE,點(diǎn)f為C￡>的中點(diǎn)，連接AF.RtΔBDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)

2

程中，

①線段ΛF與CE的數(shù)量關(guān)系為：_CE=2也AF

②若BC=4√13,BO=2√5,當(dāng)點(diǎn)尸在等腰ΔABC內(nèi)部且ZBCF的度數(shù)最大時(shí)，線段AF的

長(zhǎng)度為.

【解答】解：（1）理由：AF=-CE,AFrCE9理由如下:

2

如圖，延長(zhǎng)AF交C￡：于點(diǎn)P,

ΔABC為等腰直角三角形，AB=AC9

/.ZABC=45°，

ΔSDE為等腰直角三角形，ZDBE=90o,

：.DB=EB,ZDBC=ZEBC=45°,

又BC=BC,

.?^DBC=AEBC(SAS),

:.CD=CE,

在RtΔADC中，

點(diǎn)尸為斜邊C。的中點(diǎn)，

.?.AF=-CD

2f

.?.AF=LCE,

2

設(shè)NDC8=α,則ZAB=45。一α,

/^DBC=AEBC,

,?ZFCP=2ZDCB=2a,

在RtAADC中，點(diǎn)尸為斜邊CD的中點(diǎn)，

.?.AF=FC9

ZACF=ZFAC=45o-a,

.?ZPFC=ZACF+ZFA