2023年北京市仿真模擬數(shù)學(xué)試卷A（解析版）

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?仿真模擬卷A（北京卷）

數(shù)學(xué)

第一部分（選擇題共40分）

一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.己知全集。=11,A={x|x<0},B={x\x>2],則集合B）等于（）

A.|x|x>0^U<21B.|x|x<2}

C.{x|0<x<2）D.{x[0<x<2）

K答案》c

K解析》AuB={x|x<0,^r>2},則4，（A=B）={x[0<x<2}.故選C.

2.己知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（石-i）=i,則|z|=（）

A.2B.1C.73D.-

2

K答案》D

K解析W法一：因為z（6-i）=i,

而N_i-"Ai）_T+4

所以z—-f=~；--j-p~~\/r-A，

v3-i4

所以IW=Q+』=L

11V16162

法二：因為z（W-i）=i,

所以|z||6-i|=|i|,

所以|z|=g.故選：D.

3.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在區(qū)間（0,+e）上是增函數(shù)的是（）

A.y=lnxB.y=tanxC.y=x|x|D,y=e*+e

K答案Dc

K解析》對于A,根據(jù)奇函數(shù)定義可知y=lnx不是奇函數(shù)，所以A錯誤；

對于B,易知y=tanx圖象關(guān)于原點對稱，是奇函數(shù)，但其在區(qū)間（0,+8）上不是增函數(shù)，

即B錯誤；

對于C,函數(shù)y=x|x|是奇函數(shù)，且xe（O,4w）時，y==V是增函數(shù)，所以C正

確；

對于D,易知y=e，+e-，為偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：C

4.在（尤-4）〃的展開式中，若二項式系數(shù)的和為32,則上的系數(shù)為（）

xx

A.-80B.80C.-40D.40

K答案XA

R解析U二項式系數(shù)的和為2〃=32,所以〃=5,展開式的通項為

（+i=C）5，（——>=（-2）「C"52,令5—2〃=T,則r=3,

X

所以1的系數(shù)為（-2）（；=-80.

X

故選：A

5.已知雙曲線C經(jīng)過點（&,3）,其漸近線方程為y=±&,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）.

2222

A.---y2=]B.x2-^-=\C.y2--=}D.--x2=1

3333

K答案DD

K解析D-雙曲線的漸近線方程為丫=±A，

設(shè)雙曲線的方程為：%2--^-=2（2*0）,

雙曲線C經(jīng)過點（技3）,."―3=/ln/l=—1,

二雙曲線的方程為：二-/=1,故選：D.

3

6.《九章算術(shù)?商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉腌，

不易之率也我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵.再

沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為陽馬，這

個三棱錐稱為鱉嚅.現(xiàn)已知某個鱉席的體積是1,則原長方體的體積是（）

A.8B.6C.4D.3

R答案XB

R解析》如圖所示，原長方體ABCO-ABCA，

設(shè)矩形BCC1用的面積為s,CiDl=h,

鱉脯R-BCG的體積為1,

即gx（]5）x〃=l,所以S/?=6,

即原長方體的體積是6.故選：B.

7.在標(biāo)準(zhǔn)溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度（單位mol/L,記作

[H+]）和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度（單位mol/L,記作[OH]）的乘積等于常數(shù)

10,4.已知pH的定義為pH=-lg[H+],健康人體血液的pH保持在7.35~7.45之間,

H+1

那么健康人體血液中的演彳可以為（

)(參考數(shù)據(jù)：Ig2=0.30,lg3?0.48)

A.JB.-C.-D.—

2361()

K答案》c

R解析2由題設(shè)有3n=[:]=10再[“*了，又10"*<[//*]<10-7*

.所以

[昕]

10-0",<10'4[/7+]2<10^7,所以-0.9Gg{l（y4[/r]2卜-0.7.又

lg!=-0.3,1g：=-0.48,1g9=-0.78,1g1=7,只有l(wèi)g』在范圍之中，故選C.

236106

1點石成金人利用之間的關(guān)系把標(biāo)3轉(zhuǎn)化為再利用指對數(shù)的

關(guān)系求出10"*4]?卜10々*從而得到他工目的范圍,依次檢驗各值是否在這個范

OH

圍中即可.

8.已知函數(shù)/0)=2$山(5+。)(。＞0,|。|＜兀)的部分圖象如圖所示，貝lj()

q7，11cC1

K解析》由題圖，—=—一一-=3n,則7=」=4兀，可得。=!，

433CD2

-r-j.127r\.7t..If兀兀C,1rv

又sin(z—x—+(p)=sin(—+^)=1,故一+0=—+2攵兀，keZ,

23332

兀7T

所以e=—H2&兀，keZ,又I。K兀，則夕=—.

66

心r1兀

綜上，＜y=—,(p——.

26

故選：A.

則“巾(-())<0"是““X)與f(F(x))”都

9.設(shè)函數(shù)/(%)=女2+hx+c(a也ccR,”>0),

恰有兩個零點的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

K答案Uc

K解析D顯然/(-2)是/(x)的最小值，若f(x)有兩個零點，

設(shè)士,三，且為＜當(dāng)，由y(/(x))=o得/(力=%或/(力=々，

由題意f(/(x))=o只有兩個零點，因此/(力=%無解，/(x)=z有兩個不等實根,

即王＜/(一(卜々，二/卜卜白)卜0,必要性得證,

若/＜0,由于a＞0,因此〃x)有兩個零點,

設(shè)為西,巧，不妨設(shè)玉＜/，()＜%，由/(/(x))=0得/(x)=X|或

顯然〃x）=x,無解，〃x）=w有兩個不等實根，

即f（/.（x））有兩個零點，充分性得證，

故題中是充分必要條件，故選C.

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A和5是圓C:（x-l）2+y2=]上的兩點，且AB=6，點

P（2,l）,貝蚱9-閔的取值范圍是（）

A.—>/2,-\/5+>/2^B.[君-1,6'+1]

C.[6-2石,6+2石]D.[7-2710,7+2710]

K答案UA

R解析2AB=g，取A8中點為"，CM=—,且G"±AB,

2

延長至。，使得MQ=3MA=半，

所以2PA-PB=PA+PA-PB=PM+MA+BA=PM+3MA=PM+MQ=PQ,

因為QC=JMC2+MQ。=x/5，

所以。的軌跡是以C為圓心，行為半徑的圓，

因為PC=7（2-i）2+（i-o）2=e，

所以卜Q|e[石-正，石+0].

故選：A.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.已知點A（-l,l）,點8（2,y）,向量）=（1,2）,若AB”a，則實數(shù)y的值為.

K答案』7

K解析』由題意，AB=(3,y—1),a=(l,2),

因為AB//a，所以3x2-lx(y—l)=0,解得y=7.故R答案》為：7.

12.各項都為正數(shù)的等差數(shù)列｛七｝中，2%-%2+2%=0,則%+4=.

R答案U8.

K解析『??｛七｝為各項都為正數(shù)的等差數(shù)列，又2%-%2+2卬=0

4a7—a??=0,即4］=4,

%+〃9=2%=8.

故R答案》為：8.

13.拋物線C:y2=4x上一點P到點A(3,4五)與到準(zhǔn)線的距離和最小，則點尸的坐標(biāo)為

R答案》(2,272)

K解析X由題知尸(1,0),如圖，連接尸E,由拋物線的定義得點尸到準(zhǔn)線的距離等于

\PF\,即仍尸|=忸月,

所以|PP|+|M=|PF|+|MN|"|,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,f三點共線時,等號成立，此時點尸在

［點的位置.

此時直線AF的方程為y=，即丫=2叵x-2版,

所以聯(lián)立方程［,2=2夜”-2&得2Y-5X+2=0,解得X=2或X=：,

y=4x2

根據(jù)題意得勺＞1，所以x=2,y=2^2,

所以點尸的坐標(biāo)為(2,2⑹.

故K答案》為：(2,2逝).

finx,x>1,

14.已知函數(shù).“X)=,、2,其中aeR.若。=0,則函數(shù)〃x)的值域是

(x+a),X<1,

若函數(shù)>=/(力-1有且僅有2個零點，則。的取值范圍是.

R答案》[0,+oo)(-2,0J

/、finx,x>\

R解析2(1)a=0時，〃x)=12,，

[X,x<\

當(dāng)時，/(x)=lnx>lnl=0,

當(dāng)x<l時，f(x)=x2>0,

綜上：/(x)20,即函數(shù)/(x)的值域是[0,+O.

flnx-1,x>1

(2)y=f[x)-\^\2,

(x+a)-1,x<\

當(dāng)時，令lnx—l=0,得％=0,

故在[1,+8)上，函數(shù)y=/(x)T有一個零點x=e,

當(dāng)x<l時，設(shè)g(x)=(x+a)2-l,

由題意可知：g(x)=(x+a)2-l在(—-I)上有且僅有一個零點，

[-a<1

所以小c或g⑴<°，解得。=0或-2<”0,

[g(i)=o

所以”的取值范圍是(-2,0].

故K答案》為：苔,+8)；(-2,0].

15.已知函數(shù)/(x)滿足f(x+y)=f(x)+/(y),(x,yeR),則下列各式恒成立的是

①〃0)=0；②/(3)=3/(1)；③/出=/⑴；?/(-x)/(x)<0.

1答案H①②③

K解析』①/(0)=/(0+0)=/(0)+/(0)=2/(0),/./(0)=0,故①正確;

②/(3)=/(2)+/(1)=/(1)+/(1)+/(1)=3/(1),故②正確；

③-1)=嗎+介嗎)+也［=2嗎)，故③正確；

@/(x-x)=/(x+(-x))=/(x)+/(-x)=/(O)=O,/(x)=-/(-x),

/(x)/(-x)=-(/(x))2<0,故④錯誤；

故R答案H為：①②③.

三、解答題：共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

16.設(shè)函數(shù)/(x)=Asin6yxeos0x+cos%x(4>0,(y>0),從條件①、條件②、條件③這三

個條件中選擇兩個作為已知，使得/(可存在.

(1)求函數(shù)/("的K解析』式;

(2)求)(力在區(qū)間0個上的最大值和最小值.

條件①：f(x)^(-x)；

a

條件②：/(x)的最大值為于

條件③：/(X)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計

分.

解：(1)若選擇條件①，

A

因為/(x)=ysin26>X+COS2COX,所以

/(-x)=9，出(-2s)+cos2[-a)x)=-^sin2s+cos?cox,

由了“)寸(一可可得4$吊25=。對工￡1<恒成立，與A>O,G>。矛盾,

所以選擇條件②③,

由題意可得/(-x)=Asin(-69%)cos(-69X)+cos2[-cox)=-As\n2cox+cos2a)x,

設(shè)苦,

由題意可得〃力=4n2s+-=里sin(2/x+e)+；.

2222

A1

其中cosp=/,sm夕=?,

VA2+1VA2+1

因為的最大值為I所以@尹+；=｝解得4=6,

iTT

所以sin9=7,(p=z

26

由/（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為可得（=5,

兀

所以T=?2=兀解得。=1,

2（o

所以〃x）=sin（2x+：）+g.

（2）由正弦函數(shù)的圖象可得當(dāng)x』0，』時，2X+9

L2J6

所以/（力在區(qū)間］。身上的最大值為,，最小值為0?

17.如圖，在三棱柱ABC-A用G中，底面為等腰直角三角形，側(cè)面A4CC，底面

A8C,。為AC中點，AB=BC=RAA,=5

(1)求證：BDLA{D.

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角A-CG-8的余弦值.

條件①：AC,IBtC.條件②：AA,=BlC.

（I）證明：因為AB=BC,。為4c中點，

所以8D_LAC,

又因為面AAGC，面ABC,面MGCi面A8C=4C,8Du面A8C,

所以平面A4CC，

又AOu平面/L4〈C，所以BDJ.A1。；

(2)解：選①，取AG的中點E,連接用E,CE,

則AE//OC且AE=OC,

所以四邊形4QCE為平行四邊形，所以4Q//CE,

因為4片=8°,E為AG的中點,

所以AGJ?qE,

又AG1B0,BCCBIE=BI，BC用EU平面CB,E,

所以AG，平面C8IE,

又AC〃AG，所以AC,平面C4E,

又CEu平面C81E,所以“'l四，

因為AQ//CE,所以

如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系,

由AB=8C=x/5,A4,=石，得AC=2，A￡>=2,

則。（0,0,0）,3（0,1,0）,C（—l,0,0）,￡（-2,0,2）,

則8=（1,i,o）,cG=（T，O,2）,

因為801平面MGC，

所以03=(0,1,0)即為平面44,CC的一條法向量,

設(shè)平面8CG的法向量為〃=(x,y,z),

n-CB=x+y=0/、

則有《.,可取〃=（2,-2,1）,

wCq=-x+2z=0

DB\-"DB_-2_2

則COS/網(wǎng)1x33,

由圖可知，二面角A-CG-B為銳二面角,

所以二面角A-C￡-8的余弦值為|.

y/

選②，取AG的中點E,連接用E,CE,OE,

則AE//OC且A|E=OC,

所以四邊形AQCE為平行四邊形，所以AQ//CE且4Q=CE,

因為GE//OC且GE=OC,

所以四邊形AQCE為平行四邊形，所以且8。=8建,

又因為8。，為。，所以CEl5E,

又偌=4。=K，BD=B[E=1,

所以C￡=2,則AD=CE=2,

在△ADA中，因為心+A-2=442,

所以AO_L4Q，

如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，

下同選①的R答案』.

18.為了慶祝神舟十四號成功返航，學(xué)校開展了“航天知識”講座，為了解講座效果，從高

一甲乙兩班的學(xué)生中各隨機(jī)抽取5名學(xué)生的測試成績，這10名學(xué)生的測試成績(百分制)

的莖葉圖如圖所示.

甲乙

8779

63868

6902

(1)若焉，心分別為甲、乙兩班抽取的成績的平均分，41s之分別為甲、乙兩班抽取

的成績的方差，貝底甲顯，4S鼠(填“>”或"V”)

(2)若成績在85分(含85分)以上為優(yōu)秀，

(i)從甲班所抽取的5名學(xué)生中任取2名學(xué)生，則恰有1人成績優(yōu)秀的概率;

(ii)從甲、乙兩班所抽取的成績優(yōu)秀學(xué)生中各取1人，則甲班選取的學(xué)生成績不低于乙

班選取的學(xué)生成績的概率.

-77+78+83+86+96-79+86+88+90+92g

解：(1)由莖葉圖知,耕=-----------------=84,/乙=------------------=87,

所以元甲＜x乙;

*=1[(77-84)2+(78-84)2+(83-84)2+(86-84)2+(96-84『]=46.8,

22222

5^=1((79-87)+(86-87)+(88-87)+(90-87)+(92-87)]=20,

所以其

(2)(i)抽取的兩名學(xué)生成績分別為x，y,把他們記為(x,y),

從甲班所抽取的5名學(xué)生中任取2名學(xué)生，他們的成績組成的不同結(jié)果：

(77,78),(77,83),(77,86),(77,96),(78,83),(78,86),(78,96),(83,86),(83,96),(86,96),共10

個，

恰有1人成績優(yōu)秀的事件A有:(77,86),(77,96),(78,86),(78,96),(83,86),(83,96),共6個,

所以恰有1人成績優(yōu)秀的概率P(A)=V=|.

(ii)依題意，甲班成績優(yōu)秀學(xué)生有2人，成績分別為86,96,乙班成績優(yōu)秀學(xué)生有4

人,成績分別為86,88,90,92,

從甲、乙兩班所抽取的成績優(yōu)秀學(xué)生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后寫在括號

內(nèi)，不同結(jié)果有：

(86,86),(86,88),(86,90),(86,92),(96,86),(96,88),(96,90),(96,92)，共8個，

甲班選取的學(xué)生成績不低于乙班選取的學(xué)生成績的事件3有:

(86,86),(96,86),(96,88),(96,90),(96,92),共5個，

所以甲班選取的學(xué)生成績不低于乙班選取的學(xué)生成績的概率P(8)=]

O

dy2

=l(a>b>0)經(jīng)過4-2,0),兩點，設(shè)過點P(-2,l)的直線橢

19.已知橢圓E:7+F

圓交E于M,N兩點，過“且平行于y軸的直線與線段A8交于點T,點，滿足

MT=TH-

(1)求橢圓E的方程:

(2)證明：直線”N過定點.

(1)解：因為橢圓E的方程為b]+￡=1(〃＞匕＞0)經(jīng)過兩點,

U=i…

則;9，解得〃=4，從=3,

—H-----7=]

〔礦4b-

所以橢圓E的方程為：—+^=1.

43

(2)證明：因為A(-2,0),?-l,|1所以4B:y=|(x+2),

①假設(shè)過點P(-2,l)的直線過原點，則＞代入L+±=l,

243

可得M(-后,母)，N(g,-等)，代入AB方程y=g(x+2),可得

T(-瓜＞+2)),由"T=和得到友+6).求得HN方程：

y=lz|^(x+2),過點(-2,0).

②分析知過點P(-2,l)的直線斜率一定存在，設(shè)區(qū)-y+2Z+l=0,M(再,y),N(x22).

H-y+2左+1=0

聯(lián)立V2，得(4/+3)/+(16&?+8幻X+4(422+4%-3)=0,

--F—=1

[4---3

16r+以

2

-rxal-4k+3

4(4/+以一2)'

M丁+3

所以3+丫2=&(占+%2)+4女+2=；%,

222

yxy2=(Ax,+2%+1)(京2+2^+1)=kx{x2+{lk+&)(芭々)+4%+4&+]=,

一244

且內(nèi)必+工2%=芭(3+2攵+1)+工2(3+22+1)=23%+(2Z+l)(XM2)=^p~~~

因為點H滿足MT=7"，所以T為兇”的中點,

聯(lián)立3/\，可得T區(qū)，+2)),”區(qū),3&+2)-yJ.

>=5(X+2)2

可求得此時HN:y-y2=S'+Gff。々),

X一工2

假設(shè)直線HN過定點(-2,0),

將(-2,0),代入整理得-6(占+々)+2(y+%)+占%+々--12=0,

將(*)代入,得96k2+48k+24&+12-24%-4Sk2-48&+24-48入-36=0,

顯然成立，

綜上，可得直線HN過定點(-2,0).

20.已知函數(shù)/(x)=xe*.

(I)求/(x)在點(1J0))處的切線方程；

(2)求證：當(dāng)x>0時，/(x)>x2.

(3)若x>0時，/(x)-如?2。恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

(1)解：由題意，/⑴=e，又/(x)=e'+xe',

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，k=/《)=e+e=2e,

所以在點(1,7(1))處的切線方程：y-e=2e(x-l),

即y=2cx-e-

(2)證明：當(dāng)x>0時，〃司>*2恒成立，等價于e，>x恒成立，

設(shè)g(x)=e"-x,(x>0),則g'(x)=e*-l,

當(dāng)x>0時，e”>l,所以g'(x)>0,即g(x)在(0,+e)上為增函數(shù)，

所以g(x)>g(0)=1>0,即e，-x>0恒成立，e*>x恒成立,

所以當(dāng)x>0時，疣、>/，問題得證；

⑶解：若x>0時，/(X)-加N0恒成立，

等價于a4—,(x>0)恒成立，

X

令h(x)=上,(x>0),則/?'(x)=，"，D，

Xx~

令/z'(x)=0,得x=l,

當(dāng)X€(0,l)時，h\x)<0；當(dāng)xw(l,+oo)