2023年遼寧省葫蘆島市普通高校對(duì)口單招數(shù)學(xué)自考模擬考試(含答案)

2023年遼寧省葫蘆島市普通高校對(duì)口單招

數(shù)學(xué)自考模擬考試(含答案)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(10題)

12

設(shè)/(x)=-7J=,則/(Q=

√3x-l3

1.

A.2B.1C.1/2

2.過點(diǎn)A(2,1),B(3,2)直線方程為()

A.x+y-l=0B.x-y-l=OC.x+y+l=OD.x-y+l=0

3.以點(diǎn)P(2,0),Q(0,4)為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y-2)2=5

B.(x-l)2+y2=5

C.(x+l)2+y2=25

D.(x+l)2+y=5

4.已知sin2α<0,且COSa>0,則α的終邊在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，

用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從高

中生中抽取70人，則n為O

A.100B.150C.200D.250

6.不等式-2χ22+x+3<0的解集是()

A.{x∣x<-1}B.{x∣x>3∕2}C.{x∣-1<x<3∕2}D.{x∣x<-1或x>3∕2}

7."對(duì)任意X∈R,都有χ2≥(Γ的否定為()

A.存在x°∈R,使得x02<0

B.對(duì)任意x∈R,都有χ2<0

C.存在x°∈R,使得x02K)

D.不存在x∈R,使得χ2<0

8.己知H2}行《1,2,3,4},則這樣的集合P有()個(gè)數(shù)

A.3B.2C.4D.5

直線y=x+5的傾斜角為

9.

π

A.

π

T

B.

π

二N

10.若f(x)=logax(a>0且a≠l)的圖像與g(x)=IOgbX(b>0,

b≠l)的關(guān)于X軸對(duì)稱，則下列正確的是O

A.a>bB.a=bC.a<bD.AB=1

二、填空題(10題)

??已知〈Nx)的第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).則“為

12.已知i為虛數(shù)單位，則∣3+2i∣=.

13.雙曲線χ2∕4-y2∕3=l的離心率為—.

14.若事件A與事件A互為對(duì)立事件，則P(A)+P(λ)=.

15.某機(jī)電班共有50名學(xué)生，任選一人是男生的概率為0.4,則這個(gè)班的

男生共有名。

16.圓心在直線2x-y-7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0,-4),B(0,

2),則圓C的方程為.

]7等差數(shù)列中，己知公差為3,且4-"，+%則s.

/T-.5π5π

√3sm------cos—

18.1212的值是。

iω(3a-2b)的展開式的倒數(shù)第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是

若方程(l-a)x+y=a-4表示焦點(diǎn)在X軸上

2θ的雙曲線，則參數(shù)a的取值范圍____________

三、計(jì)算題(5題)

21.已知函數(shù)y=抬COS2x+3sin2x,XWR求:

(1)函數(shù)的值域;

(2)函數(shù)的最小正周期。

1

f(x)+3f(-)=X.

22.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x∣x≠O},且滿足X

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并簡(jiǎn)單說明理由.

己知函f(x)=Ioga---，(a>0且a≠)

23.l+x

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由。

24.甲、乙兩人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，己知甲投球命中的概率是1/2,乙投球

命中的概率是3/5,且兩人投球命中與否相互之間沒有影響.

(1)若兩人各投球1次，求恰有1人命中的概率；

(2)若兩人各投球2次，求這4次投球中至少有1次命中的概率.

25.己知｛aj為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若a3=6,S3=12,求公差d.

四、簡(jiǎn)答題(10題)

26.等比數(shù)列｛a11｝的前n項(xiàng)和Sn,已知S】，S3,S2成等差數(shù)列

(1)求數(shù)列｛aj的公比q

(2)當(dāng)ai—a3=3時(shí)，求Sn

27.化簡(jiǎn)a2sin(-13500)+b2tan4050-(a-b)2cot7650-2abcos(-10800)

∏-stnaI-COSa

28.已知a是第二象限內(nèi)的角，簡(jiǎn)化V】+sma+8m"l+coSa

29.已知雙曲線C：χ?廠y廬=1(—的右焦點(diǎn)為瑪(2Q),且點(diǎn)明到C

的一條漸近線的距離為人.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)P為雙曲線C上一點(diǎn)，若IPFII=,求點(diǎn)P到C的左焦點(diǎn)4的距

離.

30.求過點(diǎn)P(2,3)且被兩條直線,】：3x+4y-7=0,A：3x+4y+8=0所截

得的線段長(zhǎng)為3、歷的直線方程。

f(x)=」在(-.0)

31.證明X上是增函數(shù)

32.三個(gè)數(shù)a,b,C成等差數(shù)列，公差為3,又a,b+l,c+6成等比數(shù)

列，求a,b,Co

力T+.

tan(-÷α^)=2矛Sm2a-2cos2a,,

33.已知4的值

34.在拋物線y2=12x上有一弦(兩端點(diǎn)在拋物線上的線段)被點(diǎn)M

(1,2)平分.

(1)求這條弦所在的直線方程；

(2)求這條弦的長(zhǎng)度.

35.已知集合尸=Q=K產(chǎn)"；若尸=0求X,y的值

五、解答題(10題)

36.

已知函數(shù)f(X)=Cix-Inx,g(X)=e"+3x,其中Λ∈R.

(I)求/O)的極值；

(∏］若存在區(qū)間M,使/(A和g(A在區(qū)間用上具有相同的單調(diào)性，求。的取

值X圍.

37.

已知二次函數(shù)f(x)=ax??x??的圖象過兩點(diǎn)A(-1，0)和B(5.0).且其頂點(diǎn)的縱坐

標(biāo)為-9，求

①a、b`c的值

②若f(x)不小于7，求對(duì)應(yīng)X的取值范圍。

38.如圖，在正方體ABCD-AIBlCIDl中，E,F分別為DDi,CG的中點(diǎn).

求證：

(l)AC±BDι;

(2)AE〃平面BFD∣.

39.某學(xué)校高二年級(jí)一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，決定對(duì)某“著

名品牌”A系列進(jìn)行市場(chǎng)銷售量調(diào)研，通過對(duì)該品牌的A系列一個(gè)階段

的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)A系列每日的銷售量f(x)(單位：千克)與銷售價(jià)格

x(元/千克)近似滿足關(guān)系式f(x)=a∕x-4+10(l-7)2其中4VχV7,a為?！?/p>

數(shù).已知銷售價(jià)格為6元/千克時(shí)，每日可售出A系列15千克.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若A系列的成本為4元/千克，試確定銷售價(jià)格X的值，使該商場(chǎng)每

日銷售A系列所獲得的利潤(rùn)最大.

40.

已知，是等差數(shù)列｛q,;的前〃項(xiàng)和，且4=」.SS=I5.

(1)求4；(2)令以=2il?("=l2,3,L)，計(jì)算々也和4,由此推則數(shù)列秒“｝

是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，證明你的結(jié)論.

41.

已知函數(shù)?(?)=sin.Ja∞s.v的一個(gè)零點(diǎn)是?.

4

(I)XX數(shù)。的值；

(H)設(shè)8(工)=/(、)./(_1)+2/5訪.1<05工，求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

42.已知數(shù)列｛a∏｝是等差數(shù)列，且a2=3,a4÷as+a6=27

(1)求通項(xiàng)公式an

(2)若bn=a2n,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.

43.

一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示,

在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M,G”的中點(diǎn)為N。

(I)請(qǐng)將字母標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由)

(II)證明：直線MN//平面BEW

(III)求二面角A-EG-M余弦值

44.

*。匐，在體A8CZ)-A8∣C]R中，￡是技

CC的中點(diǎn).

(IJM陰：ACln卒而BDEr∏J注陰：ACy1BD.

45.已知等差數(shù)列｛an｝的前72項(xiàng)和為Sn,a5=8,S3=6.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛aj的前k項(xiàng)和Sk=72,求k的值.

六、單選題(0題)

46.5人排成一排，甲必須在乙之后的排法是()

A.120B.60C.24D.12

參考答案

1.B

2.B

直線的兩點(diǎn)式方程.點(diǎn)代入驗(yàn)證方程.

3.A

圓的方程.圓心為((2+0)/2,(0+4)/2)即(1,2),

2

r=-LPQ=I.√(2-0)-+(0-4)=√5,IMI方

程為(Z-DZ+(》-2)?=5.

4.D

三角函數(shù)值的符號(hào)?.?sin2α=2sinα.cosα<0,又COSa>0,.,.sina<O,

a的終邊在第四象限，

5.A

分層抽樣方法.樣本抽取比70/3500=1/50例為該?？?cè)藬?shù)為

1500+3500=5000,P?∣J=n∕5000=l∕50,Λn=100.

6.D

不等式的計(jì)算?-2χ2+x+3<0,2χ2-x-3>0即(2x-3)(x+l)>0,x>3∕2或X

<-1.

7.A

命題的定義.根據(jù)否定命題的定義可知命題的否定為：存在xo∈R使得

Xo2<0,

8.C

由題意，尸為口，2}、{1,2,3},{1}2

,4},{1}2,3,4),

故答案為：4.

9.A

10.D

因?yàn)樗鼈冴P(guān)于X軸對(duì)稱，所以Q或6其中一個(gè)大

于。小于1,另一個(gè)大于I,并且它們的乘積為

1,即它們互為倒數(shù)，這樣它們的圖像才會(huì)關(guān)

于X軸對(duì)稱。

11.7

12.

?：?復(fù)數(shù)模的計(jì)算?∣3+2i∣=?-'1；L

α1=4,6i=3,.,.c2=a*+6,=7,Λc=√7,e=-

√7a°

13.e=2雙曲線的定義.因?yàn)镕

14.1

有對(duì)立事件的性質(zhì)可知，p(m=1一P("),P(力)+p(m=1

15.20

男生人數(shù)為0.4x50=20人

16.(x-2)2+(y+3)2=5圓的方程.圓心在AB中垂線y=-3上又在2x-y-7=0

上,所以C(2,-3),CA=航,所以圓C的方程為(x-2l+(y+3)2=5

17.33

18.

BS-cos患=2s譏(普一^)=2sιn?=∕2

n綜上所述，答案：也

19.56

20.1<a<4

21.

:解：?=?/?cos2x+3sin2x

=2百(；COS2x+理sin2x)

=2>∕3(sin—cos2x+cos-sin2x)

66

=2>∕3sin(2x÷-^)

(1)函數(shù)的值域?yàn)閇一2百,20].

(2)函數(shù)的最小正周期為T=—=7r.

2

22.

(1)依題意有

/(x)+3/(1)=x

X

∕d)+3∕(x)J

XX

解方程組可得：

3-x2

∕ω=

8x

(2)函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

?.?函數(shù)/(X)的定義域?yàn)椋鸛IXH0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

3-(r)23-x2

=-/(χ)

8(rSx

???函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

23.

1—X

解：⑴由題意可知：——>0,解得：-1<Λ-<1,

1+x

：.函數(shù)/(X)的定義域?yàn)閄e(T,1)

(2)函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，理由如下:

f,、I-(T)l+χI-X

/S)=I1og7--=1Iog--=-I1og--=/(X)，

al+(-x)0I-Xfl1+x

函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

24.

解I記甲投球命中為事件A.甲投球未命中為事件N：乙投球命中為事件B,乙投球未命中為事件6?則:

1—13—2

P(G=Q；P(/1)=Q；P(B)=FP(S)=W

(1)記兩人各投球I次,恰有I人命中為事件

—_12131

P(C)=PG4)?P(5)+P(4)?P(B)=QXg+QXg=Q

(2)記兩人各投球2次4次投球中至少有1次命中為貨件D，則.兩人各投球2次，4次投球中全未命中為事

件萬

-----.1122.124

P(D)=I-P(D)=I-P(Zl).P(∕l)?P(β).P(B)=l--x-×-×-=l--=-

25.

解:因?yàn)閍3=6S=12,所以S3=12=3(4+小)=3(〉+6)

22

解得aι=2,d3=6=aι+2d=2+2d,解得d=2

26.

(1)由已知得

2

αl+(al+aq)=2(a1+aκq+αl?)

.β.aq2+?=Og=_Lg=0()

2

(2)al-ɑ,(-?)=3.?.al=4

叩-中81

SLKr"V

27.原式=α，儂-4X3600+90fl)+6atan(360o+45'0-(α-?)acot(2×36?！?450)

-2abcos(-3x3600+45°)-2abcos(-3×360σ)

=αasin90。+/tan450-(α-b)acot45。-2abCoSO

=α1+b-(α-bp-2ab=0

28.

(I-SilIaY(1-CoSa)

解:原式=cos?---------------------------0I

\(1÷Sina)(I-Sina))(1+cos[)(1-CoS?)

=COSa?LV吧÷sinα?—。是第二象限角

IcosaIISinal

29.(1);雙曲線C的右焦點(diǎn)為Fl(2,0),Λc=2

2

II.J2

又點(diǎn)Fl到Cl的一條漸近線的距離為應(yīng),,"+了,即以

0=√2

C

解得b=,萬

^=σa-ba=激雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二=1

22

(2)由雙曲線的定義得IPFI卜仔磯=2夜

..∣PFj∣-√2∣=2^,解得照|=%反

故點(diǎn)闋C的左焦點(diǎn)Fm距離為3企

30.x-7y+19=0或7x+y-17=0

31.證明：任取且X1<X2

/(?)=-^√(?)-∕(?)=-^+-!-=^ΞΔ>O

.,.XA?再再Xa

即/。2)>/(砧

e(-∞,0)J√(x)=-^

.?.X在是增函數(shù)

α≡6-3

<c=6÷3

32.由已知得：［s+D2=α(c+6)

。二4

<?=7

由上可解得L=1°

33.

,?、1÷tana?

tan(—f-a)=---------=2

4l-tanα

1.1

tana≡-,s?na=-CoSa

.?.33

`3c4

sm2a=-,cos2a=-

.?.55

則Sm2a-2cos2a=-↑

34.V(1)這條弦與拋物線兩交點(diǎn)4孫H)B(%M).?.H=12x1*=12々

???(必-必)(必+%)=12(覆-七)???弦的中點(diǎn)為Md,2)

V.-V,12126CN.、

?β?—一"—=-----==一=y-2=2(x-1)

XI-X2Ji+yi2凡2

.?.弦所在的直線方程為3χ-y-l=0

(2)=⑵得Gx-D2-IZx=OΛ9xz-18x+l=0

3x-j-1=O

；?弦長(zhǎng)/=√l+9^4-4×^=√lδX??=??

35.

解；,?"=Q

1=χ2fl=xy

Λ(1)√或⑵<2

J=盯Iy=X

∕?Λ=-1>>,=O

36.

〔I〕解：/(X)的定義域?yàn)?O,+8),

_1ClX-1

且/'(K)="——=-------.

XX

①當(dāng)α≤()時(shí),∕,(.v)<O,故/(x)在(0,+oc)上單調(diào)遞減.

從而/(x)沒有極大值，也沒有極小值.

②當(dāng)”>0時(shí)，令/")=0,得X=L.

a

/(X)和/'(X)的情況如下：

"T

(L+)

X(0,-)aa

a

7υ0

+

云

Z

故/(X)的單調(diào)減區(qū)間為(0」)；單調(diào)增區(qū)間為J,+8).

〔口〕解：g(x)的定義域?yàn)镽，且g'(x)="e"+3.

③當(dāng)α>°時(shí),顯然g(D>O,從而g(-D在R上單調(diào)遞增.

由〔I〕得，此時(shí)/W在J,+8)上單調(diào)遞增，符合題意.

a

④當(dāng)α=0時(shí)，g(x)在R上單調(diào)遞增，/(X)在(0.+8)上單調(diào)遞減，不合題意.

分

⑤當(dāng)“<0時(shí)f令g，(X)=O,得/=Ln(A).

aa

g(R和g'(κ)的情況如下表：

(—00t-V)%(X,+。

X0(I

6"

+

Z

當(dāng)一3"<0時(shí)，x*0,此時(shí)g(x)在(.％,+oo)上單調(diào)遞增，由于/")在

(0.+8)上單調(diào)遞減，不合題意.

當(dāng)。<一3時(shí)，一%>0,此時(shí)gS)在(-co,%)上單調(diào)遞減，由于/O)在(O?+oc)

上單調(diào)遞減，符合題意.

綜上，”的取值X圍是(re，-3)[J(°，”).

37.

①依題意，圖象的頂點(diǎn)為(2,-9)

設(shè)這二次函數(shù)的解析式為f(x)=a(χ-2)-9?

由于其圖像過點(diǎn)A(-1.0)

a(-l-2)-9=0

解得李1

二這二次函數(shù)為f(x)=(x-2)-9

即f(x)=x-4x-5

?,?arl,b=_4,c=-5,'

②依題意，f(x)≥7

即X-4χ-5≥7

X-4χ-12≥0

(x-6)(x+2)≥0

???x=≤-2或x36■

38.(1)連接BD,由DID_L平面ABCDTDID_LAC又BD_LAC,

BD∩DιD=D,BD∣,BD平面BDDLAC_L平面BDDi,又因?yàn)锽DI包含

于平面BDD∣→AC±BD∣.

(2)連接EF,因?yàn)镋,F分別為DDι,CG的中點(diǎn)，所以EF//DC,且

EF=DC,又DC//AB,且EF=AB所以四邊形EFBA是平行四邊形，所

以AE//BF,又因?yàn)锳E不包含平面BFD∣,BF包含于平面BFD],所以

AE〃平面BFDi

39.(1)由題意可知,當(dāng)x=6時(shí),f(x)=15,即a∕2+10=15,解得a=10,所

以f(x)=10f(x-4)++10(x-7)2.

(2)設(shè)該商場(chǎng)每日銷售A系列所獲得的利潤(rùn)為h(x),h(x)=(x-4)[10∕x-

4+10(x-7)2]=lOx3-180x2+1050x-l950(4<x<7),h(x)=30x2-360x+1050,令

h(x)=30χ2-360x+1050=0,得x=5或x=7(舍去)，所以當(dāng)4<χV5時(shí)，

h(x)>O,h(x)在(4,5]為增函數(shù);當(dāng)5<*<7,h(x)<O,11。)在[5,7)為減函

數(shù)，故當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間(4,7)內(nèi)有極大值點(diǎn)，也是最大值

點(diǎn)，即x=5時(shí)函數(shù)h(x)取得最大值50.所以當(dāng)銷售價(jià)格為5元/千克時(shí),

A系列每日所獲得的利潤(rùn)最大.

40.

(D設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為d，那么5a+：?5?4d=15.

把a(bǔ)>l代久上式，得d=2.

因此'a=-l+2(n-l)=2n-3.

(2)根據(jù)/>==2"，，得b=w，b.=2?b=8.

由此推測(cè)｛b｝是等比數(shù)列.

證明如下：

由(1)得，a-a=2.斫以室=2%"f=2二=4(常數(shù)),

bn

因此數(shù)列｛b｝是等比數(shù)列.

41.

〔I〕依題意，得/￠)=0,

4

.ππ√2√2i∕

gπ∏πsin-----∏cos—=---------------=0

4422'

解得。=1.

(∏]由〔I〕得/(x)=Sinx-COSX.

g(X)=/(-V)?/(-V)+2√3sinXCOS.v

=(sin.v-cos.v)(-sin?-cos.v)+sin2.v

=(cos2.v_sin`?)+6Sin2.v

=cos2.r+0sin2.v

=2sin(2x+-).

6

由2a∕≤2x+V≤2E+5,

彳導(dǎo)*幾一：≤XWAJI+:,k∈Z.

36

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為達(dá)兀-馬,a+N],k∈z.

36

42.

設(shè)數(shù)列｛a.｝的公差為d?依鹿意得

,

(l)."al+βj+α*=27*.*.2αs÷α4=27.即3a^

β27*?*?β$=9,又*?ut≡≡3?

a=αI+44-9

i解得故α.

a1=αI÷d"=3d=2

n(n-IW=≡1+(”-1)×2=2n—］即4.=2?—1.

(2)ill(I)知打.=uι.—4M—1.*.T.=b?+6：÷

...4-6.-4×1-1+4X2-1+4×3-1÷4×

Λ-1≡4(1÷24-???+Λ)-π=≡2Λ(l+n)-n

=2n'÷n故Λb.?的前n項(xiàng)和T.=2,J÷n.

43.

(I)如圖

(II)連接BI),取8。的中點(diǎn)0,連接MQ

因?yàn)镸`。為線段4C、8。中點(diǎn)，所以MQHCDHGll且MQ=:?Gll

又因N為GH中點(diǎn)，所以NH=-GH

?

得到NH=MQ且NHuMQ

所以四邊形QMN〃為￡7

得到JQH/IMN

又因?yàn)?。〃U平面8/)，

所以MNU平面BDH(得證)

(Ill)連接AC,EC；,過點(diǎn)M作MK_LΛC,垂足在ΛC±,