2023-2024學(xué)年蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊第7章《銳角三角函數(shù)》檢測卷（含答案解析）

2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊檢測卷第7章《銳角三角函數(shù)》考試時間：120分鐘，試卷滿分：100分姓名：_________班級：_________學(xué)號：_________一、選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?鳳城市模擬）如圖，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于點D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，則tan∠CBD的值為（）A．5 B． C．3 D．2．（2分）（2022秋?泉州期末）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，O都在小正方形的頂點上，則∠AOB的正弦值是（）A． B． C． D．3．（2分）（2023?鄖陽區(qū)模擬）如圖，某商場準備將自動扶梯改造成斜坡式．已知商場的層高AB為6m，∠ACB為45°，改造后扶梯AD的坡比是1：2，則改造后扶梯AD相比改造前AC增加的長度是（）A．6m B．m C．m D．m4．（2分）（2023?攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，則cos∠A的值為（）A． B． C． D．5．（2分）（2023?南關(guān)區(qū)校級四模）如圖，小明在點C處測得樹的頂端A仰角為62°，測得BC＝10米，則樹的高AB（單位：米）為（）A． B． C．10tan62° D．10sin62°6．（2分）（2023?二道區(qū)校級模擬）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，則下列式子成立的是（）A．sinA＝sinB B．sinA＝cosB C．tanA＝tanB D．cosA＝tanB7．（2分）（2023?綠園區(qū)校級模擬）如圖，電線桿CD的高度為3米，兩根拉線AC與BC相互垂直，A、D、B在同一條線上，∠CAB＝α，則拉線BC的長度為（）A． B． C．3cosα D．8．（2分）（2023?二道區(qū)校級模擬）人字折疊梯完全打開后如圖1所示，B，C是折疊梯的兩個著地點，D是折疊梯最高級踏板的固定點．圖2是它的示意圖，AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，則點D離地面的高度DE為（）A．140sin20°cmB．140cos20°cm C．140sin40°cmD．140cos40°cm9．（2分）（2023?二道區(qū)校級模擬）如圖所示，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為α，看這棟樓底部C處的俯角為β，熱氣球A處與樓的水平距離為120m，則這棟樓的高度為（）A．120（tanα+tanβ）m B．120（tanα﹣tanβ）m C．120（sinα+sinβ）m D．120（sinα+tanβ）m10．（2分）（2023?深圳模擬）如圖分別是2個高壓電塔的位置．已知電塔A，B兩點水平之間的距離為80米（AC＝80m），∠BAC＝α，則從電視塔A到B海拔上升的高度（BC的長）為（）A．80tanα B． C．80sinα D．二、填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?坪山區(qū)一模）如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長為．12．（2分）（2023?五華縣一模）如圖，△ABC的頂點都是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格的格點，則∠BAC的正切值為．13．（2分）（2023?龍崗區(qū)校級一模）攔水壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是，壩高BC＝8m，則坡面AB的長度是m．14．（2分）（2023?東港區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，AB＝2，AC＝3．以BC為直角邊作Rt△BCD，且，連接AD，則AD的最大值是．15．（2分）（2023?巴中一模）如圖，圖中提供了一種求的方法．作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝30°，再延長CB到點D，使BD＝BA，聯(lián)結(jié)AD，即可得∠D＝15°．如果設(shè)AC＝t，則CD＝（2+）t，則．仿照以上方法，求＝．16．（2分）（2023?新洲區(qū)模擬）圖1是一種折疊式晾衣架．晾衣時，該晾衣架水平放置并且左右晾衣臂張開后示意圖如圖2所示，兩支腳OC＝OD＝10分米，展開角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝10分米，晾衣臂（OA）撐開時與支腳（OC）的夾角∠AOC＝105°，則點A離地面的距離AM為分米．（結(jié)果保留根號）17．（2分）（2023?香坊區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一點，連接BD和DC，，則線段BC的長為．18．（2分）（2023?梁溪區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分線分別交AB于點D，交AC于點E，交BC的延長線于點F，且sin∠CEF＝．若四邊形BCED的面積為58.5，則它的周長為．19．（2分）（2023?濱城區(qū)二模）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則sin∠BAC的值為．20．（2分）（2023?武侯區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝8，過點A作AC的垂線，并在AC右上方部分取一點D，使得，則△BCD的面積的最大值．三、解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?甘孜州）“科技改變生活”，小王是一名攝影愛好者，新入手一臺無人機用于航拍．在一次航拍時，數(shù)據(jù)顯示，從無人機A看建筑物頂部B的仰角為45°，看底部C的俯角為60°，無人機A到該建筑物BC的水平距離AD為10米，求該建筑物BC的高度．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：，）22．（6分）（2023春?龍華區(qū)校級月考）某地為慶祝2023年元旦來臨，在銀杏廣場舉行無人機表演，點D、E處各有一架無人機，它們在同一水平線上，與地面AB的距離為60m．此時，點E到點A處的俯角為60°，點E到點C處的俯角為30°，點D到點C處的俯角為45°，點A到點C處的仰角為30°．（1）填空：∠ACB＝度，∠EAC＝度；（2）求AE的長（結(jié)果保留根號）；（3）求兩架無人機之間的距離DE的長．（結(jié)果保留根號）23．（8分）（2023?襄陽）在襄陽市諸感亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜合實踐活動，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點C處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離CE為32m，從熱氣球C看銅像頂部A的俯角為45°，看銅像底部B的俯角為63.4°．已知底座BD的高度為4m，求銅像AB的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41）．24．（8分）（2023?吉林二模）如圖，沿AC方向開山修路，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工．從AC上的一點B取∠ABD＝140°，BD＝520m，∠D＝50°．另一邊開挖點E在直線AC上，求BE的長（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）25．（8分）（2023?海南）如圖，一艘輪船在A處測得燈塔M位于A的北偏東30°方向上，輪船沿著正北方向航行20海里到達B處，測得燈塔M位于B的北偏東60°方向上，測得港口C位于B的北偏東45°方向上．已知港口C在燈塔M的正北方向上．（1）填空：∠AMB＝度，∠BCM＝度；（2）求燈塔M到輪船航線AB的距離（結(jié)果保留根號）；（3）求港口C與燈塔M的距離（結(jié)果保留根號）．26．（8分）（2022秋?益陽期末）筒車是我國古代利用水力驅(qū)動的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道：“水能利物，輪乃曲成”．如圖，半徑為3m的筒車⊙O按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)圈，筒車與水面分別交于點A、B，筒車的軸心O距離水面的高度OC長為2.2m，筒車上均勻分布著若干個盛水筒．若以某個盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間．（1）經(jīng)過多長時間，盛水筒P首次到達最高點？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距離水面多高？（3）若接水槽MN所在直線是⊙O的切線，且與直線AB交于點M，MO＝8m．求盛水筒P從最高點開始，至少經(jīng)過多長時間恰好在直線MN上．（參考數(shù)據(jù)：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈）27．（8分）（2023?平房區(qū)二模）如圖，在10×6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，線段AB、線段EF的端點均在小正方形的頂點上．（1）在圖中以AB為邊畫Rt△ABC，點C在小正方形的格點上，使∠BAC＝90°，且tan∠ACB＝；（2）在（1）的條件下，在圖中畫以EF為邊且面積為3的△DEF，點D在小正方形的格點上，使∠CBD＝45°，連接CD，直接寫出線段CD的長．參考答案一、選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．B【思路點撥】延長BD交AC于點E，先證明△DCE≌△DCB，從而求出BE的長，再利用等腰三角形的判定求出AE，利用線段的和差關(guān)系求出CE，利用勾股定理求出CD，最后求出∠CBD的正切．【規(guī)范解答】解：如圖，延長BD交AC于點E．∵DC平分∠ACB，BD⊥CD于點D，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，∠DCE＝∠DCB．在△DCE和△DCB中，，∴△DCE≌△DCB（ASA）．∴BD＝ED＝1．∵∠ABD＝∠A，∴AE＝BE＝2．∵AC＝7，∴CE＝AC﹣AE＝5．∴CD＝＝＝2．∴tan∠CBD＝＝＝2．故選：B．【考點剖析】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2．B【思路點撥】過點B作BC⊥OA于點C．先利用勾股定理求出BO、AO的長，再利用△AOB的面積求出BC的長，最后在直角△BCO中求出∠AOB的正弦值．【規(guī)范解答】解：過點B作BC⊥OA于點C．BO＝＝2，AO＝＝2．∵S△AOB＝×2×2＝2，∴AO?BC＝2．∴BC＝＝．∴sin∠AOB＝＝＝．故選：B．【考點剖析】本題考查了解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，利用△的面積求出OA邊上的高是解決本題的關(guān)鍵．3．D【思路點撥】在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)可得AC＝m，再根據(jù)坡比的定義以及勾股定理可求得AD＝m，進而可得出答案．【規(guī)范解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝6m，sin45°＝，解得AC＝m，∵改造后扶梯AD的坡比是1：2，∴，解得BD＝12m，∴AD＝＝m，∴AD﹣AC＝（﹣6）m．故選：D．【考點剖析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟練掌握坡比的定義是解答本題的關(guān)鍵．4．C【思路點撥】先利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，再利用三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：在△ABC中，∵a＝6，b＝8，c＝10，a2+b2＝62+82＝36+64＝100，c2＝100．∴a2+b2＝c2．∴△ABC是直角三角形．∴cosA＝＝＝．故選：C．【考點剖析】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、勾股定理及逆定理是解決本題的關(guān)鍵．5．C【思路點撥】根據(jù)題意可得：∠ABC＝90°，∠ACB＝62°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：由題意得：∠ABC＝90°，∠ACB＝62°，在Rt△ABC中，BC＝10米，∴AB＝BC?tan62°＝10tan62°（米），故選：C．【考點剖析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．B【思路點撥】本題利用銳角三角函數(shù)的定義求解．【規(guī)范解答】解：A、sinA＝，sinB＝，sinA≠sinB，故不符合題意；B、sinA＝，cosB＝，sinA＝cosB，故B符合題意；C、tanA＝，tanB＝，tanA≠tanB，故不符合題意；D、cosA＝，tanB＝，則cosA≠tanB，故不符合題意；故選：B．【考點剖析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解題時熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵，此題比較簡單，易于掌握．7．D【思路點撥】證明出∠BCD＝∠CAD＝α，在Rt△BCD中，求出BC即可．【規(guī)范解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵AC⊥BC，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAD＝α，在Rt△BCD中，cos∠BCD＝，∵CD＝3，∴BC＝．故選：D．【考點剖析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，余角性質(zhì)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．8．B【思路點撥】根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)得∠ACB的度數(shù)，進而得∠BDE的度數(shù)，再解直角三角形得結(jié)果．【規(guī)范解答】解：∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∴∠BDE＝90°﹣70°＝20°，∴DE＝BD?cos20°＝140cos20°（米），故選：B．【考點剖析】本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求得∠BDE的度數(shù)．9．A【思路點撥】過點A作AD⊥BC，垂足為D，根據(jù)題意可得：AD＝120m，然后分別在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD和CD的長，從而利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答．【規(guī)范解答】解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，由題意得：AD＝120m，在Rt△ABD中，∠BAD＝α，∴BD＝AD?tanα＝120tanα（m），在Rt△ADC中，∠DAC＝β，∴CD＝AD?tanβ＝120tanβ（m），∴BC＝BD+CD＝（120tanα+120tanβ）＝120（tanα+tanβ）m，∴這棟樓的高度為120（tanα+tanβ）m，故選：A．【考點剖析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10．A【思路點撥】在Rt△ABC中根據(jù)∠BAC的正切值即可求解．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意可知，Rt△ABC，∠BAC＝α，AC＝80m，∴，∴BC＝ACtanα＝80tanα，故選：A．【考點剖析】本題主要考查直角三角形中正切的計算，理解正切的計算方法是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．6m【思路點撥】根據(jù)斜面坡度為1：2，斜坡AB的水平寬度為12米，可得AC＝12m，BC＝6m，然后利用勾股定理求出AB的長度．【規(guī)范解答】解：∵斜面坡度為1：2，AC＝12m，∴BC＝6m，則AB＝＝＝（m）．故答案為：6m．【考點剖析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)坡角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解．12．【思路點撥】根據(jù)題意可知△ABD是直角三角形，利用正切的定義解答即可．【規(guī)范解答】解：如圖，在Rt△ABD中，tan∠BAC＝＝．故答案為：．【考點剖析】本題考查了解直角三角形，熟記各個銳角三角函數(shù)的定義并靈活運用是解題的關(guān)鍵．13．16【思路點撥】利用坡比的定義得出AC的長，進而利用勾股定理求出AB的長．【規(guī)范解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：，壩高BC＝8m，∴＝＝，解得AC＝8，則AB＝＝16（m）．故答案為：16．【考點剖析】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確利用坡比的定義求出AC的長是解題關(guān)鍵．14．【思路點撥】作AE⊥BE，且使BE＝1，連接AE，DE，首先根據(jù)題證明出△ABC∽△EBD，然后得到，利用勾股定理得到，然后根據(jù)AD≤AE+DE得到當點A，E，D三點共線時，即AD＝AE+DE時，AD取得最大值，即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖所示，作AE⊥BE，且使BE＝1，連接AE，DE，∵以BC為直角邊作Rt△BCD，且，∴，∵BE＝1，AB＝2，∴，∴，∵∠ABE＝∠CBD＝90°，∴∠ABE﹣∠CBE＝∠CBD﹣∠CBE，∴∠ABC＝∠EBD，∴△ABC∽△EBD，∴，即，∴解得，∵AB＝2，BE＝1，∠ABE＝90°，∴，∵AD≤AE+DE，∴當點A，E，D三點共線時，即AD＝AE+DE時，AD取得最大值，∵，∴AD的最大值為．故答案為：．【考點剖析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．15．+1【思路點撥】如圖所示，作Rt△ABC，使∠C＝90°∠ABC＝45°，再延長CB到點D，使BD＝BA，連接AD，可證∠D＝22.5°，設(shè)AC＝BC＝t，則，再由進行求解即可．【規(guī)范解答】解：如圖所示，作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，再延長CB到點D，使BD＝BA，連接AD，∵BD＝BA，∴∠D＝∠BAD，∵∠D+∠BAD＝∠ABC，∴∠D＝22.5°，設(shè)AC＝BC＝t，∴t，∴t，在Rt△ADC中，，，即＝＝，故答案為：．【考點剖析】本題主要考查了解直角三角形，三角形外角的性質(zhì)，等邊對等角，正確理解題意構(gòu)造22.5°的角是解題的關(guān)鍵．16．（5+5）【思路點撥】過點O作OQ⊥AM，垂足為M，過點O作OP⊥CD，垂足為P，根據(jù)題意可得QM＝OP，∠QOP＝90°，先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠COP＝30°，再在Rt△COP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OP的長，然后在Rt△AOQ中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AQ的長，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：過點O作OQ⊥AM，垂足為M，過點O作OP⊥CD，垂足為P，則QM＝OP，∠QOP＝90°，∵OC＝OD，∠COD＝60°，∴∠COP＝∠COD＝30°，在Rt△COP中，OC＝10分米，∴OP＝OC?cos30°＝10×＝5（分米），∴QM＝OP＝5分米，∵∠AOC＝105°，∴∠AOQ＝∠AOC+∠COP﹣∠QOP＝45°，在Rt△AOQ中，AO＝10分米，∴AQ＝AO?sin45°＝10×＝5（分米），∴AM＝AQ+QM＝（5+5）分米，∴點A離地面的距離AM為（5+5）分米，故答案為：（5+5）．【考點剖析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．17．2．【思路點撥】過A點作AF⊥BC于，延長FA至G，使AG＝CD＝1，連接BG，證明△BCD≌△BGA（SAS），得BC＝BG，再設(shè)BF＝x，在Rt△BGF中，用勾股定理列出x的方程，求得x便可求得BD．【規(guī)范解答】解：過A點作AF⊥BC于，延長FA至G，使AG＝CD＝1，連接BG，∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC，BF＝CF，∵∠BDC+∠BAC＝180°，∠BAG+∠BAF＝180°，∴∠BDC＝∠BAG，在△BCD和△BGA中，∴△BCD≌△BGA（SAS），∴BC＝BG，在Rt△ABF中，tan∠ABC＝，∴設(shè)BF＝x，則AF＝2x，BG＝BC＝2x，在Rt△BFG中，BG2＝BF2+FG2，∴（2x）2＝（x）2+（2x+1）2，解得，x＝1，或x＝﹣0.2（舍去），∴BC＝2，故答案為：2．【考點剖析】本題是解直角三角形的應(yīng)用題，主要考查了解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形和應(yīng)用勾股定理建立方程．難度較大．18．33．【思路點撥】證明∠DEB＝∠CEF，設(shè)出三角形BDE的三邊，利用相似表示出BC和CE，再根據(jù)四邊形BCED的面積求出邊長，即可解答．【規(guī)范解答】解：如圖，連接BE，∵DF垂直平分AB，∴∠BED＝∠AED，∵∠AED＝∠CEF，∴∠DEB＝∠CEF，∴sin∠DEB＝．設(shè)DB＝AD＝4x，∴BE＝5x，DE＝3x，∵AC⊥BF，∠DAF＝∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∴BC：AB＝DE：AE，即BC：8x＝3：5，∴BC＝，∴CE＝＝，∴S四邊形BCED＝S△BCE+S△BDE即×4x?3x+×?＝58.5，∴x＝2.5，∴C四邊形BCED＝3x+4x++＝33．故答案為：33．【考點剖析】本題考查了三角形的相關(guān)性質(zhì)應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用及三角形相似的性質(zhì)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．19．．【思路點撥】連接BD，CD，由tan∠ACK＝tan∠DCM＝，得到∠ACK＝∠DCM，由∠DCM+∠DCK＝180°，得到∠ACK+∠DCK＝180°，推出A、C、D共線，由勾股定理的逆定理推出∠BDC＝90°，由勾股定理求出BD＝，AB＝＝5，即可求出sin∠BAC＝＝．【規(guī)范解答】解：連接BD，CD，∵tan∠ACK＝tan∠DCM＝，∴∠ACK＝∠DCM，∵∠DCM+∠DCK＝180°，∴∠ACK+∠DCK＝180°，∴A、C、D共線，∵CD2＝BD2＝22+12，BC2＝32+12，∴BC2＝BD2+CD2，∴∠BDC＝90°，∵BD＝，AB＝＝5，∴sin∠BAC＝＝．故答案為：．【考點剖析】本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用銳角的正弦定義求解．20．．【思路點撥】作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，過點O作OE⊥BC于點E，通過證明△OBC是等邊三角形，可求得OE＝，作OO'⊥OC，截取OO'＝OC，連接O'C，O'D，過O'H⊥BC于H'，過點D作DH⊥BC于點H，過O點作OG⊥O'H'于點G，可求得O'H'＝2+，再通過證明△AOC∽△DO'C，列比例式可求解O'D的值，根據(jù)S△BCD＝BC?DH≤BC?（O'D+O'H'）可求解△BCD面積的最大值．【規(guī)范解答】解：如圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，過點O作OE⊥BC于點E．∴∠BOC＝2∠COE，∵∠BAC＝30°∴∠BOC＝60°，∠COE＝30°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝8，OE＝，∴GH'＝OE＝，作OO'⊥OC，截取OO'＝OC，連接O'C，O'D，過O'H⊥BC于H'，過點D作DH⊥BC于點H，過O點作OG⊥O'H'于點G，則四邊形OEH'G是矩形，∴tan∠OCO'＝，GH'＝OE，∠O'OG＝30°，∴O'G＝OO'＝OC＝2，∴O'H'＝2+，∵AD⊥AC，，∴∠CAD＝∠COO'，．∴，∴△ACD∽△OCO'，∴，∠ACD＝∠OCO'，∴，∠ACO＝∠DCO'，∴△AOC∽△DO'C，∴＝，令A(yù)D＝x，則AC＝2x，CD＝x．∴＝，解得：O'C＝O'D＝4，∴S△BCD＝BC?DH≤BC?（O'D+O'H'）＝＝．故答案為：．【考點剖析】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，解題關(guān)鍵是通過添加輔助線證明三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．三、解答題（共8小題，滿分60分）21．【思路點撥】先說明三角形ABD是等腰直角三角形，用等腰三角形的性質(zhì)求出BD，再在Rt△ACD中用直角三角形的邊角間關(guān)系求出CD，最后利用線段的和差關(guān)系求出建筑物的高度．【規(guī)范解答】解：由題意知，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC．∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°．∴∠BAD＝∠ABD＝45°．∴BD＝AD＝10（米）．在Rt△ACD中，CD＝AD?tan∠CAD＝AD?tan60°＝10（米）．∴（米）．答：該建筑物BC的高度約為27.3米．【考點剖析】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．22．【思路點撥】（1）由題意可知，點A到點C處的仰角為30°，得到∠CAB＝30°，即可求出∠ACB的度數(shù)；根據(jù)點E到點A處的俯角為60°，可以得出∠EAB＝60°，結(jié)合點A到點C處的仰角為30°，得到∠CAB＝30°，根據(jù)∠EAC＝∠EAB﹣∠CAB，即可求得∠EAC的度數(shù)；（2）過點E作EH⊥AB，得到∠EHA＝90°，由題意可知，∠EAB＝60°，EH＝60，利用，即可求得AE的長；（3）延長BC交ED于點G，根據(jù)平角的定義得到∠AEC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，設(shè)BC＝x，CG＝（60﹣x），解直角三角形即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：（1）由題意可知，點A到點C處的仰角為30°，∴∠CAB＝30°，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°；∵點E到點A處的俯角為60°，∴∠EAB＝60°，∵∠CAB＝30°，∴∠EAC＝∠EAB﹣∠CAB＝60°﹣30°＝30°，故答案為：60；30；（2）如圖所示：過點E作EH⊥AB，∴∠EHA＝90°，由（1）可知：∠EAB＝60°，由題意可知：EH＝60，在Rt△AEH中，∵EH＝60，∠EAB＝60°，∴，∴，∴，∴AE的長為；（3）延長BC交ED于點G，∵點E到點A處的俯角為60°，點E到點C處的俯角為30°，∴∠AEC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，設(shè)BC＝x，則CG＝（60﹣x），∵∠GEC＝∠CAB＝30°，∠EGC＝∠ABC＝90°，∴AC＝2x，CE＝2CG＝2（60﹣x），∵∠EAC＝30°，∴，∴，∴x＝40，∴BC＝40，CG＝20，∵∠GDC＝45°，∠GEC＝30°，∴DG＝CG＝20，，∴，∴兩架無人機之間的距離DE的長為．【考點剖析】本題考查了解直角三角形—仰角俯角問題，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．23．【思路點撥】根據(jù)題意，找準直角三角形及三角函數(shù)即可．【規(guī)范解答】解：∵矩形BDEF中有EF＝BD＝4m，CE＝32m，∴CF＝32﹣4＝28m，∵tan∠CBF＝tan63.4°＝，∴2＝，即BF＝14m，∴CG＝BF＝14m，∵∠GCA＝45°，∴AG＝GC＝14m，∴AB＝BG﹣AG＝CF﹣AG＝28﹣14＝14m．答：銅像AB的高度為14m．【考點剖析】本題主要考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是找準三角函數(shù)．24．【思路點撥】先利用三角形的外角性質(zhì)可得∠E＝90°，然后在Rt△BED中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算，即可解答．【規(guī)范解答】解：∵∠ABD是△BED的一個外角，∴∠ABD＝∠E+∠D，∵∠ABD＝140°，∠D＝50°，∴∠E＝∠ABD﹣∠D＝90°，在Rt△BED中，BD＝520米，∴BE＝BD?sin50°≈520×0.77≈400（米），∴BE的長約為400米．【考點剖析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．25．【思路點撥】（1）先說明AB∥CM，再利用外角與內(nèi)角的關(guān)系、平行線的性質(zhì)得結(jié)論；（2）先利用等腰三角形的性質(zhì)先說明BM與AB的關(guān)系，再在Rt△EBM中利用直角三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論；（3）先說明四邊形DEMC是矩形，再利用等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：分別過點C、M，作CD⊥AB，ME⊥AB，垂足分別為D、E．（1）∵∠DBM＝∠A+∠AMB＝60°，∠A＝30°，∴∠AMB＝30°．∵AB、CM都是正北方向，∴AB∥CM．∵∠DBC＝45°，∴∠BCM＝45°．故答案為：30，45．（2）由（1）知∠A＝∠AMB，∴AB＝BM＝20海里．在Rt△EBM中，sin∠EBM＝，∴EM＝sin∠EBM?BM＝sin60°×20＝×20＝10（海里）．答：燈塔M到輪船航線AB的距離為10海里．（3）∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB、CM都是正北方向，∴四邊形DEMC是矩形．∴CD＝EM＝10海里，DE＝CM．在Rt△CDB中，∵∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠DCB．∴DB＝DC＝10海里．在Rt△EMB中，cos∠DBM＝，∴EB＝cos∠DBM?BM＝cos60°×20＝×20＝10（海里）．∴CM＝DE＝DB﹣EB＝10﹣10＝10（﹣1）海里．答：港口C與燈塔M的距離為10（﹣1）海里．【考點剖析】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．26．【思路點撥】（1）連接OA，根據(jù)cos∠AOC＝，得∠AOC＝43°，可得答案；（2）根據(jù)題意知，∠AOP＝3.4×5°＝17°，得∠POC＝∠AOC+∠AOP＝43+17°＝60°，過點P作PD⊥OC于D，利用三角函數(shù)求出OD的長；（3）由題意知OP⊥MN，利用cos∠POM＝，得∠POM＝68°，在Rt△COM中，根據(jù)cos，得∠COM＝