數(shù)學-九省聯(lián)考試題（含每道試題解讀與知識銜接）帶來的備考啟示

加強教考銜接，實現(xiàn)平穩(wěn)過渡--2024年1月“九省聯(lián)考”數(shù)學試題帶來的備考啟示求創(chuàng)新，打破固化形式，有利于充分發(fā)揮服務人才選拔的功能。本次考試的突出變化3.考題的順序安排也打破常規(guī)，有所變化。2024年測試卷的試卷結(jié)構特其他題型在個數(shù)和分數(shù)上均有所調(diào)整，將原來的4個多選題（20分）、4個填空題（20套路模式，對促使學生全面掌握主干知識、提升基本5.客觀選擇題考查內(nèi)容比較一項是符合題目要求的.【命題考向趨勢】樣本數(shù)據(jù)涉及到的概念【備考復習建議】樣本數(shù)2.A【解析】由題意得e==，解得a=，【知識鏈接】橢圓離心率專題公式3:已知橢圓方程為+=1(a>b>0),兩焦點分別為Fsin(c+β)sinc+sinβk2F2sin(c+β)sinc+sinβk2=β,csin(c+β),F2及橢圓上任一點P(除長軸兩端點外)為F2|PF||PF||FF|||PF||PF||FF||FF|sinβsincsinθsin(c+β)常|F|sin(c+β) |PF|sin 2sin.cosccos2sin.coscβ;..a=e=coscβ公式5:點F是橢圓的焦點，過F的弦AB與橢圓焦點所在軸的夾角為θ,θe0,,k為直線λ1λ+1λ1λ+1------yλ1λ+1λ1λ+1------y注:λ=或者λ=而不是或【命題考向趨勢】等差數(shù)列通項公式及前n項和【備考復習建議】對等差數(shù)列通項公式及前n項5【知識鏈接】公式一Sn=3n-211n2n-13n11nnn-,則;Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).上的一群孤立的點.n是關于n的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù);它的圖像是在拋物線y=Ax2②當d<0時,Sn有最大值.4．設a,β是兩個平面，m,l是兩條直線，則下列命題為真命題的是()A．若a」β,m∥a,l∥β,則m」lB．若m仁a,l仁β,m∥l，則a∥βC．若anβ=m,l∥a,l∥β,則m∥lD．若m」a,l」β,m∥l，則a」β4.C【解析】對于A，m,l可能平行，相交或異面，故A錯誤，對于B，a,β可能相交或平行，故B錯誤，對于D，a,β可能相交或平行，故D錯誤，【考查目標】排列組合【解題思路】先排乙丙，再排甲【命題考向趨勢】排列組合應用【備考復習建議】排列組合靈活應用5.B【解析】因為乙和丙之間恰有2人，所以乙丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位，①當乙丙及中間2人占據(jù)首四位，此時還剩末位，故甲在乙丙中間，排乙丙有A種方法，排甲有A種方法，剩余兩個位置兩人全排列有A種排法，所以有AAA=8種方法；②當乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，此時還剩首位，故甲在乙丙中間，排乙丙有A種方法，排甲有A種方法，剩余兩個位置兩人全排列有A種排法，所以有AAA=8種方法；【知識鏈接】類方案中m2種不同方法…在第n類方案中mn種不同方法，那么完成這個件事共有N=m1+m2+…+mn種方法.做第n步有mn種方法，那么，完成這個件事共有N=m1×m2x…xmn種方法.方法就可完成這件事.件事.各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的.不能重復也不能遺漏.取出m個元素的排列數(shù)，用符號A表示.不同元素中取出m個元素的一個組合，所有不同組合的個數(shù)，叫作從n個不元素的組合數(shù)，用符號c表示.（1）c=c-m（n、mEN*且m≤n）；）；【變式】在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復)表示一個信息，相同的信息個數(shù)為()A.10B.11C.12【答案】B位置上的數(shù)字只有2個相同時，只需從四個位置中選出兩個位置使相應的數(shù)字相同，有C種方法，剩下的兩個位置上的數(shù)字對應不相同，只有1種可能，故此時共有C個不同的信息.根6．已知Q為直線l:x+2y+1=0上的動點，點P滿足=(1,-3)，記P的軌跡為E，則A．E是一個半徑為的圓B．E是一條與l相交的直線C．E上的點到l的距離均為D．E是兩條平行直線【考查目標】平面向量的坐標運算、平行線間由Q在直線l:x+2y+1=0上，故x-1+2(y+3)+1=0，E上的點到l的距離d=6-12+22測了考生的知識體系和認知結(jié)構，有良好導向簡7.A【解析】由題θe,π,tan2θ=-4tan(|(θ+，2=2tanθ,則(2tanθ+1)(tanθ+2)=0牽tanθ=-2或tanθ=-，因為θe,π,tanθe(-1,0)，所以tanθ=-，1+sin2θsin2θ+cos2θ+2sinθcosθtan2θ+1+2tanθ 2cos2θ+sin2θ2cos2θ+2sinθcos 44【知識鏈接】cos(c+β)=cosccosβ一sincsinβ變形cosccosβ一sincsinβ=cos(c+β)cos(cβ)=cosccosβ+sincsinβ變形cosccosβ+sincsinβ=cos(cβ)2.兩角和與差的正弦sin(c+β)=sinccosβ+coscsinβ變形sinccosβ+coscsinβ=sin(c+β)sin(cβ)=sinccosβcoscsinβ變形sinccosβcoscsinβ=sin(cβ)3.兩角和與差的正切tanc+tanβ=tan(c+β)(1一tanctanβ)；tanc+tanβ+tanctanβtan(c+β)=tan(c+β)；tanctanβ=1一ta.[答案]CC------交于A,B兩點，F(xiàn)1B=2F1A,F2A.F2B=4a2，則C的離心率為()------F1BB=F2A------22FA.FB22---FFA.---FFB22 12 12πFB1FB2+FFB2一FFFF222FB2FB.FB(4a)22(2c)214c22【知識鏈接】雙曲線的離心率專題22xy a2b2,FPFF一F=β,22xy _a2b2、F2及雙曲線上任意一點P(除實軸|PF|sinβsinCsinθsin(C+β)即cosβCasinβC=sinβCccosβCXo<C+β<π,cosCβ牛0,常e==公式5:點F是雙曲線焦點，過F弦$AB$與雙曲線焦點所在軸夾角為θ,θE0,π,k為直線2AB斜率，=λ(λ>0),則e=注:λ=或者λ=而不是或合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.A．函數(shù)f(|（x_為偶函數(shù)B．曲線y=f(x)的對稱軸為x=kπ,kEZC．f(x)在區(qū)間,單調(diào)遞增D．f(x)的最小值為-2【考查目標】三角函數(shù)化簡、三角函數(shù)圖像性質(zhì)【解題思路】三角函數(shù)化簡再結(jié)合圖象分析【命題考向趨勢】三角函數(shù)的圖象性質(zhì)【備考復習建議】三角函數(shù)圖象性質(zhì)靈活運用=sin2xcos+sincos2x+cos2xcos-sin2xsin=-sin2x+cos2x-cos2x-sin2x=-sin2x，即f(x)=-sin2x，f(x)=-sin2x單調(diào)遞增，故C正確；對于D，f(x)=-sin2x，則sin2x=[-1,1]，所以f(x)=-,，故D錯誤；10．已知復數(shù)z,w均不為0，則()【備考復習建議】靈活掌握復數(shù)的四則運算、復數(shù)的模zwc2c2a22()+2abcd+b2d2+a2d2一22acc2+d22222c22((ac+bd)2(ad一bc)22+d2)2+d2)|() a2c2+b2d2+a2d2+b2c2, z wc22 2c2+dc222222【知識鏈接】形如a+bi(a,beR)的數(shù)叫復數(shù)，其中a叫復數(shù)的實部，b叫復數(shù)的虛部，i為虛數(shù)單位且規(guī)定i2=一1.要點詮釋1）因為實數(shù)a可寫成a+0xi，所以實數(shù)一定是復數(shù)；（2）復數(shù)構成的集合叫復數(shù)集，記為C2.虛數(shù)單位i的周期性i23=-i,繼續(xù)計算可知i具有周期性,且最小正周期為4,故有如下性質(zhì)：4n;4n4n+14n+24n+3.3.復數(shù)核心運算1.運算律：(1)zm.zn=zm+n;(2)(zm)n=zmn;(3)(z1.z2)m=z.z(m,n=N).2.模的性質(zhì):(1)z1z2=z1z2;(2)=;(3)zn=|z|n;(4)z.z=|z|2.3.重要結(jié)論：2 )11．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f產(chǎn)0，若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy，則()f=-2【解題思路】特殊值帶入尋找解題路徑【命題考向趨勢】抽 111.ABD【解析】令x=2y=0，則有f+f根f(0)=f1+f(0)=0，又f干0，故1+f(0)=0，即f(0)=-1，的表達式，最后得到f(x)的表達式。有關抽象函數(shù)的試題很多都是在奇偶性、周期性的基礎上【知識鏈接】1.定義:設f(x)的定義城為D,若對vxeD,存在一個非零常數(shù)T,有f(x+T)=f(x),則稱函數(shù)f(x)是一個周期函數(shù),稱T為f(x)的一個周期.2.若f(x)是一個周期函數(shù),則f(x+T)=f(x),那么f(x+2T)=f(x+T)=f(x),即2T也是f(x)的一個周期,進而可得kT(keZ,k子0)也是f(x)的一個周期.3.最小正周期:若T為f(x)的一個周期,kT(keZ,k子0)也是f(x)的一個周期,則在某些周期函數(shù)中,往往存在周期中最小的正數(shù),稱為最小正周期.然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期,比如常值函數(shù)f(x)=C就沒有最小正周期.些結(jié)論性的函數(shù)式滿足關系(xeR)f(x+T)=f(x)Tf(x+T)=一f(x)2Tf(x+T)=;f(x+T)=一2Tf(x+T)=f(x一T)2Tf(x+a)=f(x+b)或f(x一a)=f(x一b)abf(x+T)=一f(x一T)4T(f(a+x)=f(a一x)〈lf(x)為偶函數(shù)2a〈lf(b+x)=f(b一x)〈lf(b+x)=f(b一x)〈lf(x)為奇函數(shù)2a〈lf(b+x)=f(b〈lf(b+x)=f(bx)(f(a+x)=f(a一x)〈lf(x)為奇函數(shù)4a〈lf(x)為偶函數(shù)4a〈lf(b+x)=f(bx〈lf(b+x)=f(bx)【解題思路】集合交集運算、不等式【命題考向趨勢】集【知識鏈接】A(⑦=⑦A不B二A對于一個給定的集合,它的任意兩個元素是不能相同的.凡是出現(xiàn)含對于兩個集合A與B,如果A堅B,且B堅A,那么集合A與B相等,記作A=B.真子集有(2n-1)個,非空真子集有(2n-2)個.CI(A（B)=(CIA)不(CIB)(交的補等于補的并)CI(A不B)=(CIA)（(CIB)（并的補等于補的交）用card(A)表示集合A中的元素個數(shù)(有資料中用A或其他符號)，則通過維恩圖可理解其具備的二維運算性質(zhì)card(A不B)=card(A)+card(B)-card(A（B).13．已知軸截面為正三角形的圓錐MM,的高與球O的直徑相等，則圓錐MM,的體積O的體積的比值是，圓錐MM,的衣而積與球O的表面積的比值是【考查目標】圓錐軸截面概念、圓錐表面積、體積公式、球體表面積【命題考向趨勢】圓錐軸截面概念、表面積、體積公式，球體體積、【解析】設圓錐的底面半徑為r，球的半徑為R， 2)3，V333πr2()2球的表面積S2=4πR2=4π根|2，【知識鏈接】側(cè)面積S側(cè)全面積S全體積V棱柱直截面周長xlS側(cè)+2S底S底xh或S直截面xl底S.h底棱錐S側(cè)+S底S底.hch/S側(cè)棱臺S側(cè)+S上底+S下底h(S上底+S下底+S上底.S下底)(c+c/)h/要點詮釋：表中S表示面積，c',c分別表示上、下底面周長，h表示高，h'表示斜高，l表示側(cè)2.旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積公式側(cè)面積S側(cè)全面積S全體積V2πr(l+r)πr2h（即πr2l）πrlπr(l+r)πr2hπ(r1+r2)l球4πR2 πR πR3表示球的半徑.(2)錐體的體積公式：V錐=Sh(4)球的體積：V球=πR36.表面積和體積最值問題2.求表面積一定的空間幾何體的體積最大值和求體積一定的空間幾何體值.(2)利用基本不等式或建立關于表面積和體積的函數(shù)關系式解決.【考查目標】不等式(b=1-n-pla=1-m-n-p【解析】令b-a=m,c-b=(b=1-n-pla=1-m-n-p令M=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p}， 1,4M=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p}，(M>m55綜上可知max{b-a,c-b,1-c}的最小值為，四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或1513分）已知函數(shù)f(x)=lnx直.（1）求a；（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.【考查目標】函數(shù)與導數(shù)【解題思路】導數(shù)、切線、直線斜率垂直條件、利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、極值【命題考向趨勢】函數(shù)與導數(shù)，求單調(diào)性、極值【備考復習建議】利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、極值【知識鏈接】一般地，設函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，則在這個區(qū)間上，（1）若f'（x）>0，則f（x）在這個區(qū)間上為增函數(shù)；（2）若f'（x）<0，則f（x）在這個區(qū)間上為減函數(shù)；（3）若恒有f'（x）=0，則f（x）在這一區(qū)間上為常函數(shù).若f（x）在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有f'（x）≤0恒成立（但不恒等于0）.（1）因為導數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，故當在某區(qū)間上f,(x)>0，即切線斜率為正時，函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上為增函數(shù)；當在某區(qū)間上f,(x)<0，即切線斜率為負時，函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上為減函數(shù)；即導函數(shù)的正負決定了原函數(shù)的增減.（2）若在某區(qū)間上有有限個點使f,(x)=0，在其余點恒有f,(x)>0，則f(x)仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似），即在某區(qū)間上，f,(x)>0牽f(x)在這個區(qū)間上為增函數(shù)：f,(x)<0牽f(x)在這個區(qū)間上為減函數(shù)，但反之不成立.（3）f(x)在某區(qū)間上為增函數(shù)牽在該區(qū)間f,(x)…0；f(x)在某區(qū)間上為減函數(shù)牽在該區(qū)間f,(x)”0.在區(qū)間(a,b)內(nèi)，f,(x)>0（或f,(x)<0是f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充分不必要條件.（4）只有在某區(qū)間內(nèi)恒有f,(x)=0，這個函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù).一般地，設函數(shù)f(x)在點x=x0及其附近有定義.（1）若對x0附近的所有點，都有f(x)<f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在x0處取極大值，記作y極大=f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個極大值點.（2）若對x0附近的所有點，都有f(x)>f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在x0處取極小值，記作y極小=f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個極小值點.在函數(shù)的極值定義中，一定要明確函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義，否則無從比較.數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小.極大值與極小值之間無確定的大小關系.一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，極小值不一定是整個定義區(qū)間上的最小值.最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點.若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值.4.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法第一步:確定函數(shù)f(x)的定義域；第二步:求f,(x)，令f,(x)=0，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實根；第三步:把函數(shù)f(x)在間斷點(即f(x)的無定義點）的橫坐標和上面的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；第四步:確定f,(x)在各個小區(qū)間的符號，根據(jù)f,(x)的符號判斷函數(shù)f(x)在每個相應小區(qū)間故f(x)有極大值f=ln+2_3根+2=_ln2，（2）記取出的3個小球上的最小數(shù)字為X，求X的分布列及數(shù)學期望E(X)．【解題思路】利用組合數(shù)求概率、再求數(shù)學期望【命題考向趨勢】隨機變16.（1）記“取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件M，先確定3個不同數(shù)字的小球，有C種方法，然后每種小球各取1個，有CxCxC種取法，所以P(M)==.當X=1時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為1的小球、有兩個數(shù)字為1的小球，當X=2時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為2的小球、有兩個數(shù)字為2的小球，所以P(X=2)==；當X=3時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為3的所以P(X=3)==，所以X的分布列為：X123P 27 【點評】情境設置較為新穎，相比常見概率試（1）證明：C1O」平面ABCD；17.解1）連接BC1,DC1，因為底面ABCD是邊長為2的正方形，所以BC=DC，CD，所以BC1=DC1，點O為線段BD中點，所以C1O」BD，在ΔC1CO中，又OCnBD=O，OC一平面ABCD，（2）由題知正方形ABCD中AC」BD，C1O」平面ABCD，所以建系如圖所示，則B,D,A，22設二面角BAA1D大小為θ,--(3)代入公式cos.--(3)代入公式cos. - 則-m.n2θ=，則-m.n ..3【知識鏈接】用向量法求空間角1.求異面直線所成的角(1)選好基底或建立空間直角坐標系;(2)求出兩直線的方向向量，；---1v1-2v2θeθe(|（0,,兩向量的夾角的范圍是[0,π],夾角為銳角或直角時,就是該異面直線的夾角;當異面直線的方向向量的夾角為直角時,其補角才是異面直線的夾角.2.求線面角(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）;(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角.(1)分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小.(2)分別在二面角的兩個平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.1817分）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F的直線l交C于A,B兩點，過F與l垂直的直線交C于D,E兩點，其中B,D在x軸上方，M,N分別為AB,DE的中點.（1）證明：直線MN過定點；（2）設G為直線AE與直線BD的交點，求‘GMN面積的最小值.18.解1）由C:y2=4x，故F(1,0)，由直線AB與直線CD垂直，故兩只直線斜率都存在且不為0，A(x1,y1)、B(x2,y2)、E(x3,y3)、D(x4,y4)，聯(lián)立C:y2=4x與直線AB，即有則x1y1y2y12lMN:y=2m2-(x-2m-1)+2m1，即 x2m+1-2m1m2-2mx1-2m1m2,m+mm+mm+mm此時MN過定點，且該定點為(3,0)，故直線MN過定點，且該定點為(3,0)；（2）由A(x1,y1)、B(x2,y2)、E(x3,y3)、D(x4,y4)，則lAE:y=x-x1)+y1，由y=4x1、y44y2y4(y3+y1)-y1y3(y4+y2)有x=4(y4+y2-y3-y1)，由y1y2=-4，同理y3y4=-4，22y3y42--3-yy1y2y3 -4(y2+y4-y1-y3) +y2-y3-y1)=,過點G作GQ//x軸，交直線MN于點Q，則‘GMN2MNQGS=1y-y根x-‘GMN2MNQG當m1>1時，有m2=-e(-1,0)，則點G