2023-2024學(xué)年陜西省西安市鄠邑區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學(xué)（文）試題（含答案）

2023-2024學(xué)年陜西省西安市都邑區(qū)高二上冊期末數(shù)學(xué)(文)

試題

一、單選題

1.已知實數(shù)。、b,那么I。+切=Ial-出I是仍<()的()條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【正確答案】D

【分析】等式兩邊平方結(jié)合反例即可判斷.

【詳解】因為Iα+b∣=∣αI—Ib∣=>a。+2ab+b2=a2-?2ab?+b2=>∣ab∣=-ab=>ab<0,

所以必要性不成立；

當(dāng)α=l,λ>=-2時，滿足出><(),但∣α+6罔α∣-∣6∣,所以必要性不成立；

所以Iα+6=匕I-1切是必<0的既不充分也不必要條件.

故選:D.

,fx—y≥0

2.若實數(shù)x,V滿足約束條件“八，則z=x-2y的最小值為()

[x+y-2≤0

A.-1B.1C.-2D.2

【正確答案】A

【分析】畫出可行域，平移基準(zhǔn)直線x-2y=0到可行域邊界位置，由此來求得Z的最小值.

fx-y=0,、

【詳解】C八，解得χ=y=ι,設(shè)A1,1,

[x+y-2=0

平移基準(zhǔn)直線x-2y=0到可行域邊界A(Ll)處時,

Z=X-2y取得最小值i-2xl=T.

故選：A

3.已知數(shù)列｛6,｝與也｝均為等差數(shù)列，且4+4=4,%+4=8,則&+J=()

A.5B.6C.7D.8

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為4+仇=4,%+%=8,

所以4+4+%+4=12,

即a3+a5+b5+bg=12,

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知ai+a5+b5+b9=2a4+2?7=12,

所以4+3=6.

故選:B.

4.已知，"=α+｝+l(a>O),"=3'(x<l),則用，〃之間的大小關(guān)系是()

A.m>nB.∣n<nC.m=nD.m<n

【正確答案】A

【分析】利用基本不等式及其指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】,?,α>O,Λm=a+-+l≥2Ja--+I=3,當(dāng)且僅當(dāng)a=l時，等號成立,即m≥3,

aVa

又,IX<1,?*?n=3Λ<3l=3,即〃V3,

則，〃〉〃，

故選.A

5.在..ABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊為。，b,c,若〃=42=4百,4=30。，貝IJB=()

A.30oB.30?；?50。C.60oD.60?；?20。

【正確答案】D

【分析】根據(jù)α=4，,=46,A=30。，利用正弦定理求解.

o

【詳解】解：在AβC中，a=4,Z?=4>∕3,A=309

由正弦定理得一j=占，

sinAsinB

所以SinB="皿I=邁包亞=近，

a42

所以B=60?；?20。,

故選：D

6.若曲線y=χ2+0v+6在點(0,6)處的切線方程為x-y+l=0,貝必+6=()

A.2B.0C.-1D.-2

【正確答案】A

【分析】求出導(dǎo)數(shù)，將X=O代入后，可得“=1,將(。力)代入χ-y+l=O后可得6=1,進(jìn)而

得至∣JQ+h.

【詳解】由y=Y+ar+b得y'=2x+α,

又曲線y=f+0χ+匕在點(0,。)處的切線方程為尤―y+l=0,

故當(dāng)X=O時，y,=a=1

又點(0⑼在x-y+l=0上,則6=1,故α+6=2.

故選：A.

7.拋物線f=2Py(P>0)上一點M的坐標(biāo)為(-2,1),則點M到焦點的距離為()

C17

A.3B.2C.1D.—

16

【正確答案】B

【分析】將點M坐標(biāo)代入拋物線可得P,則所求距離為1+5.

【詳解】”(-2,1)在拋物線上，，4=2〃，解得：p=2,.?.點M到焦點的距離為1+5=2.

故選：B.

8.函數(shù)y=∕(x)的圖象如圖所示，/'(X)是函數(shù)/S)的導(dǎo)函數(shù)，令“=∕'(2),b=∕,(4),

C='(4)]⑵,則下列數(shù)值排序正確的是()

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.c<h<a

【正確答案】C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷.

【詳解】由函數(shù)圖象知：r⑵<"4)--2)<

4-2

所以αvcvb,

故選：C

9.已知桶圓/+21=1(,">0)的焦點在),軸上，長軸長是短軸長的2倍，則，〃=()

m

A.2B.1C.-D.4

4

【正確答案】D

【分析】根據(jù)橢圓的方程，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，列式求解.

【詳解】由條件可知，a1=m3Ir=?,J?2>∕w=2×2,解得.，〃=4

故選：D

②f'(X)在X=-1處取得極小值

③73在區(qū)間(-2,3)上單調(diào)遞減

④/(x)的圖像在X=O處的切線斜率小于O

正確的序號是()

A.①④B.②③④C.②③D.①②④

【正確答案】B

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)廣(x)的圖像，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點，分析判斷

①②③，對于④：由于/(χ)的圖像在X=O處的切線斜率為r(o),從而可由導(dǎo)函數(shù)的圖像

判斷.

【詳解】根據(jù)尸(X)的圖像可得，在(-2,3)上，Γ(x)≤0,所以/(x)在(-2,3)上單調(diào)遞減,

所以f(x)在區(qū)間(-2,3)上沒有極值點，故①錯誤，③正確；

由尸(x)的圖像可知，尸(可在(-2,T)單調(diào)遞減，在(-1/)單調(diào)遞增，故②正確；

根據(jù)r(x)的圖像可得/'(0)<0,即/(x)的圖像在x=0處的切線斜率小于0,故④正確.

故選：B.

【正確答案】B

【分析】分析函數(shù)〃力的奇偶性及其在［0,可上的單調(diào)性，結(jié)合排除法可得出合適的選項.

【詳解】對任意的了目―兀,兀］,Z(-X)=?^=-?=-∕(Λ),

elIe-1

所以，函數(shù)/(X)=學(xué)在［-”,句上的圖象關(guān)于原點對稱，排除AC選項，

WCr?/?sinx..Λ∕2sinx--

當(dāng)0≤x≤兀r時t，/(x)=?^~，則rl,鼠)_cos九-SmX________I4),

eJ[x)==

因為q≤>j≤*,由r(x)<o可得0<尤一[≤號，則q<χ≤π,

444v444

由/<x)>0可得_彳5*_：<0,則0≤x<5

所以，函數(shù)/(x)在0,：)上單調(diào)遞增，在(：，兀上單調(diào)遞減，排除D選項.

故選：B.

12.已知定義在R上的函數(shù)”數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為為為),若r(x)<e',fi∕(2)=e2+2,則不

等式/(lnr)>x+2的解集是()

A.(θ,e2)B.(0,2)C.(→o,e2)D.(-∞,2)

【正確答案】A

【分析】設(shè)g(x)=∕(x)-e'+2,求導(dǎo)可得g(x)在R上單調(diào)遞減，再根據(jù)/(hu)>x+2轉(zhuǎn)化

為g(lnr)>4,再結(jié)合g(x)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】設(shè)g(x)=〃x)—e*+2,則g'(x)=r(x)-e*.

因為r(x)<e',所以/'(X)—e'<0,即g'(x)<0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞減.

不等式/(∣?)>x+2等價于不等式/(InX)—x+2>4,即g(lnr)>4.

因為/(2)=e2+2,所以g(2)=∕(2)-e?+2=4,所以g(lnx)>g(2).

因為g(x)在R上單調(diào)遞減，所以IIu'<2,解得Ocxve?

故選：A

二、填空題

13.若命題“3xeR,2-/>M'是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是.

【正確答案】(-8,2)

【分析】求得y=2-d的最大值，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.

【詳解】y=2-r的最大值為2,根據(jù)題意，2>m,即加的取值范圍是(-∞,2).

故答案為?(-∞,2)

14.已知直線4：≡+2y+l=0(w>0),與雙曲線C：?-丁=1的一條漸近線垂直，貝IJ

m=.

【正確答案】4

【分析】求得雙曲線C的漸近線方程，根據(jù)直線垂直列出等量關(guān)系，即可求得結(jié)果.

Y21

【詳解】對雙曲線C：--y=?,其漸近線方程為y=±：x,

42

對直線4：,nx+2y+l=0(∕n>0),且斜率為一￡<0,

根據(jù)題意可得-(/7x7=I=-l,解得機=4.

22

故答案為?4

,,11

15.設(shè)｛可｝是公差不為0的等差數(shù)列，4=1且的必，4成等比數(shù)列，則一++——=—

a?a2ci9%0

9

【正確答案】

【詳解】分析：由題意先求出｛α,,｝的通項公式，再利用裂項相消法求和即可.

詳解：；數(shù)列｛a1,｝是公差不為0的等差數(shù)列，a∣=l,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,

Λ(l÷3d)2=(l+d)(l+7d),

解得d=l,或d=0(舍)，

；?an=1+(n-1)×l=n.

11111111111119

a｝a21×22×39×102239101010

9

故答案為歷

點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這

一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：

(1)/1.?~τf~-----(2)I——?~~7==γ(?∕n+k-?[n]?(3)

n[n+k)k?nn+kJ√n+Λ+√∕?k''

1Jjl______!_11=1Γ___1__________1_____^∣

：

(2M-1)(2Π+1)~2^2n-?~2n+?)⑷n(n+l)(n+2)^2n(∏+1)^(n+l)(rt+2):此

外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.

16.已知鈍角三角形的三邊a=hb=k+2,c=k+4,則后的取值范圍是.

【正確答案】2<Z<6

【分析】先解不等式CoSC<0,再結(jié)合兩邊之和大于第三邊求解.

【詳解】解：?.?c>b>4,且“A3C為鈍角三角形，

.?.∕c為鈍角，

2222

.a+b-C+(?+2)-(?+4)^]i--4^-12

.?COSC=--------------=------i——-l-r---------=------7-------<0,

2ab2?(t?+2)2?(?+2)r

“2-4I2<O,解得-2<Z<6,

由兩邊之和大于第三邊得2+左+2>左+4,.?.G>2.

.'.2<k<6.

故2<%<6

三、解答題

17.設(shè)p:α<x<3α,q:x?-1lx+18≤0.

(1)若α=l,"p且q''為真，求實數(shù)X的取值范圍；

(2)若P是4的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(l){x∣2≤x<3}

(2){α∣α≤0或2≤α≤3}

【分析】(1)先分別求得P為真命題和q為真命題的實數(shù)X的取值范圍，再根據(jù)P且q為真

命題，利用集合的交集運算求解；

(2)記C=Wa<x<3α},根據(jù)P是q的充分不必要條件，由C是3的真子集求解.

【詳解】(1)解：當(dāng)α=l時，P為真命題，實數(shù)X的取值范圍為A={m<x<3},

χ2-llχ+18≤0=(x-2)(x-9)≤0=2≤x≤9,

4為真命題，實數(shù)X的取值范圍為B={x∣2≤x≤9},

Yp且q為真命題

所以實數(shù)X的取值范圍為AcB={x∣2≤x<3};

(2)記C={x∣4<x<34}

P是q的充分不必要條件

所以C是8的真子集，

當(dāng)4≤0時，C=0,滿足題意：

fa≥2

當(dāng)a>0時，。解得2≤α≤3;

[3α≤9

綜上所述：實數(shù)”的取值范圍為{α∣4≤0或2≤α≤3}

18.已知函數(shù)f(x)=W+2∣x-9|.

⑴解不等式F(X)<15；

(2)若關(guān)于X的不等式f(x)<α有解，求實數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】⑴{中<x<ll};

(2)α>9.

3X-18,Λ≥9

【分析】(1)根據(jù)零點分段法可得/(X)=?18-X,0≤X<9,然后分段解不等式，即得;

18-3x,X<0

(2)由題可得">∕(x),nta,然后求函數(shù)的最小值即得.

【詳解】(1)因為函數(shù)/(x)=W+2∣x-*,

3x-18,x≥9

所以/(x)=18—x,0”<9,

18-3%,x<0

V∕(x)<15,

?x≥9[0≤x<9(x<0

所以"IO或有?；?。Oi

[3x-18<15[18—%<15[18—3x<15

解得3vxvll,

所以原不等式的解集為{x∣3<x<ll};

3x-18,x≥9

(2)由/(x)=?18-x,0≤x<9,可得

18-3x,x<0

函數(shù)/(x)在(F,9)上單調(diào)遞減，在(9,W)上單調(diào)遞增,

當(dāng)x=9時，函數(shù)/(x)有最小值為9,

'.a>9.

19.如圖，已知平面四邊形ABCr>,ZA=45。，ZABC=75。，ZBDC=30°,BD=2,CD=B

(1)求/CM

(2)求Ag的值.

【正確答案】(1)60°；(2)√6.

【分析】(1)由余弦定理求BCh根據(jù)勾股逆定理知Nf)CB=90。，即可求/C8D

(2)由(1)得NADB=120。，應(yīng)用正弦定理即可求AB的值.

【詳解】(1)在^BCO中，由余弦定理，有3C2=302+Cf>2_23Z>CZ)cos3Oo=l,

.?.BC2+CD2=BD2,即ZDCB=90°,

,?.ZCBD=6()°.

(1)在四邊形ABa)中，NABr>=75。-60。=15。,

二ZADB=I20°,

BD,3。SinI20。r

在工.中，由正弦定理而前-----,貝π∣JιA4Bn==√62.

sin45o-----------------sin45°

20.已知函數(shù)/(x)=(丁一4)(X-α),αeR且/'(-1)=0.

⑴求“的值；

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(3)求函數(shù)F(X)在［-2,2］上的最大值和最小值.

【正確答案】(Da

2

(2)調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1),(*+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(Tg

(3)最大值為9最小值為-背50

【分析】⑴求導(dǎo)得外幻=3/-2奴-4,代入/(-1)=0,得可得答案；

⑵由題意可得f'(x)=(3x-4)(x+l),分別解∕v(x)>0,∕,(x)<0,即可得函數(shù)的單調(diào)遞增、

減區(qū)間；

(3)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷函數(shù)在［-2,2］上的單調(diào)性，即可得答案.

【詳解】(1)解:因為函數(shù)/(幼=(一—4)(x-*α∈R,

/.fix')=2x(x-a)+(x2-4j=3X2-2ax-4,

由尸(-1)=0,得3+24-4=(),

解得。=；;

(2)解：由(1)可知((x)=3χ2-χ-4=(3x-4)(x+l),

4

解不等式r(x)>o,得或x<τ,

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(f0,-D,(g,m),

解不等式/口)<。，得—lev：,

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-i,g)；

(3)解：當(dāng)-2≤x≤2時，函數(shù)/O)與/⑶的變化如下表所示：

4

令((X)=0,解得X=;或X=-I,

4

X[-2,T)X=-IX——2

卜用3?]

/'(X)+O-O+

“X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

因為AT)=]9，/(2)=();

Q

所以當(dāng)戶-1時，函數(shù)/(χ)取得極大值F(T)=］；

又因為/(-2)=0,=

所以當(dāng)XW時，函數(shù)/*)取得極小值FGJ=-為，

950

???函數(shù)/S)的最大值為最小值為-

,2

21.已知橢圓U*→S=l(a>6>0)的一個頂點為A(0,-l),橢圓上任一點到兩個焦點的距

離之和2退.

⑴求橢圓C的方程；

(2)是否存在實數(shù)相，使直線Ly=X+機與橢圓有兩個不同的交點M、N,并使IAMI=I4N∣,

若存在，求出機的值；若不存在，請說明理由.

【正確答案】⑴三+丁=1

3

(2)不存在，理由見解析

【分析】(1)結(jié)合橢圓的定義，結(jié)合頂點坐標(biāo)，即可求橢圓方程；

(2)首先求線段MN的中垂線方程，根據(jù)點A在中垂線上，求〃?，并判斷是否滿足A>0.

【詳解】(1)橢圓匚［+￡=1(“>人>0)的一個頂點為A(OD得匕=1

ab^

橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和2月得2α=2百即α=6

所以橢圓的方程為三+丁=1

3

(2)設(shè)直線/與橢圓。兩個不同的交點M(Ax),N(Λ2,%)

?/?AM?=?AN\

所以，點A在線段MN的中垂線廠，下面求/'的方程

,［y=x+m.,

聯(lián)立方程｛'?々去H可得4/+6znv+3M-3=0

U+3y~=3*

由A=（6m）2—4X4X（3，/—3）=T2M2+