高考數(shù)學一輪復習 第二章 基本初等函數(shù)、導數(shù)的應用

第13講導數(shù)的綜合運用

分層演練，直擊高考T以練促學?強技提能H

基礎達標，

L在R上可導的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則關于x的不等式

x?f(x)〈0的解集為.

［解析］由/1(*)的圖象知，當x<-1或x>l時，f'(x)>0；

當一l〈x<l時，f'U)<0,

所以x?/(x)〈0的解集是(一8,-l)U(0,1).

［答案］(-8,-1)U(0,1)

2.若商品的年利潤y(萬元)與年產量x(百萬件)的函數(shù)關系式y(tǒng)=-f+27x+

123(x>0),則獲得最大利潤時的年產量為百萬件.

［解析］依題意得，y'=—3戈+27=—3(x—3)(x+3),當0〈x〈3時，y'>0；當x>3

時，y'<0.

因此，當x=3時，該商品的年利潤最大.

［答案］3

3.若/"(X)=xsinx+cosx,則『(一3),《萬『(2)的大小關系為.

［解析］由/1(—X)=r(x)知函數(shù)F(X)為偶函數(shù)，

因此/?(—3)=F(3).

又f'⑸=sinx+xcosx—sinx=nosx,

當萬］時，(x)>0,當萬￡已，兀)時，f'(x)V0,

所以/'(x)在區(qū)間仔，口)上是減函數(shù)，

所以(三>A3)=f(-3).

［答案］f(—3)<?(2)<傷)

4.若函數(shù)F(x)=系-3x+a有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是.

［解析］由于函數(shù)/V)是連續(xù)的，故只需要兩個極值異號即可./(x)=3f—3,令33

—3=0,得*=±1,只需f(—1),/(I)<0,即(a+2)(a—2)<0,故(—2,2).

［答案］(-2,2)

1riv

5.若/?(x)=U-,0〈a〈次e,則f(a)、f(6)的大小關系為

X

LFtLr,Z、1-Inx

［解析］(x)=----2--,

fx

1—1nv

當(0,e)時，------->0,即/(x)>0,

所以f(x)在(0,e)上為增函數(shù)，

又因為0<水灰e,所以F?"(6).

［答案］f［豕f⑦

6.設直線萬=方與函數(shù)F(x)=Vg(x)=lnx的圖象分別交于點必N,則當|仞V|達到

最小時，方的值為.

［解析］|厥|的最小值，即函數(shù)力(x)=/—5x的最小值，

/、12x—1

h(^)=2x~~=---------,

xx

顯然了=乎是函數(shù)"X)在其定義域內唯一的極小值點，也是最小值點，故力=坐.

［答案］羋

7.己知函數(shù)尸/'(x)=x3+3ax2+36x+c在x=2處有極值，其圖象在x=l處的切線平

行于直線6x+2y+5=0,則『(x)的極大值與極小值之差為.

［解析］因為y'=33+6ax+36,

pX22+6aX2+36=0,ja=~l,

|.3Xl2+6a+3Z7=-3

所以y'=3/—6x,令3f—6x=0,則x=0或x=2.

所以/'(x)極大值一f(x)極小值=f(0)—f(2)=4.

［答案］4

8.(2018?北京海淀區(qū)模擬)若函數(shù)f(x)滿足：“對于區(qū)間(1,2)上的任意實數(shù)a至(荀

WX2),"(就一六荀)|<|.一xj恒成立"，則稱f(x)為完美函數(shù).給出以下四個函數(shù)：

①/"(X)=??；②/1(x)=|x|；③/1(x)=g)；④f(x)=x?.其中是完美函數(shù)的序號是

［解析］由|『(X2)—f(xi)I<Ie一XiI知,

f(X2)-f(xi)

<1,即］

X2—X1

經驗證①③符合題意.

［答案］①③

9.已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0,+8)上有/(王)>0,若/'(—1)=0,那

么關于x的不等式"(x)<0的解集是.

［解析］在(0,+8)上有/(x)〉0,所以/'(x)在(0,+8)上單調遞增.又函數(shù)f(x)

是R上的偶函數(shù)，所以/'(1)=『(-1)=0.當x>0時，f(x)<0,所以0〈水1；當水0時，圖象

關于y軸對稱，f(x)>0,所以K—1.

［答案］(—8,-1)U(0,1)

10.logo.5^~7>logo,5-7---,f/7---「對任意xG［2,4］恒成立，則力的取值范圍

為.

［解析］以0.5為底的對數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，所以得真數(shù)關系為立!〈乙~77-4^—「，

X-\kx—l)\(~X)

所以0>—x3+7x2+x—7,令/'(x)=—f+7x2+x—7,則f(jr)=—3x+14x+1,因為

(2)〉0且f(4)〉0,所以1?'(x)>0在［2,4］上恒成立，即在［2,4］上函數(shù)f(x)為增函數(shù)，

所以f(x)的最大值為F(4)=45,因此切>45.

［答案］(45,+8)

(x一1)2

11.(2018?泰州期中考試)已知函數(shù)f(x)=lnx------.

(1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間；

(2)證明:當x>l時，f{x)<x-1；

(3)確定實數(shù)4的所有可能取值，使得存在劉>1,當xe(l,加時，恒有F(x)>A(x—l).

［解］(1)函數(shù)的定義域為(0,+8),

對函數(shù)求導，得/(x)=—1-葉1=----v—匚I—y二—I—.1

XX

院>0,

由fr(x)>o,得<—y+x+1

---------->0,

x

解得0〈x〈巨聲，

故f(x)的單調遞增區(qū)間為0,

⑵證明:令/(x)=_f(x)—(X—1),(L+°°),

1-7

則有尸/(才)=——，

X

當x￡(l,+8)時，9(x)〈0,所以分(x)在(1,+8)上單調遞減.

故當x>l時，/(x)〈尸(1)=0,即x>l時，/1.

(3)由(2)知，當A=1時，不存在照>1滿足題意；

當4>1時，對于X>1,有/'(x)<才一1<4(才一1),

則/1(x)<A(x—1),從而不存在劉>1滿足題意；

當時，令G(x)=Hx)—4(才-1),x￡(l,+°°),

,,.［(、1—x+(1-k)x+1

則n有G(x)=x+1—k=------------------,

xx

由G，(x)=0得，一￡+(1—A)x+l=0.

l—k+yl(1—A)2+4、、

X2=2>1，

所以當Xd(l,X2)時，G'(x)>0,故G(x)在(1,加內單調遞增，

從而當xG(l,㈤時,G(x)〉G(l)=0,即f(x)>『(x—1),

綜上，《的取值范圍是KL

12.(2018?江蘇省重點中學領航高考沖刺卷(二))如圖，兩

居民小區(qū)A和6相距20km,現(xiàn)計劃在兩居民小區(qū)外以46為直徑產"

的半圓弧么?上選擇一點C建信號發(fā)射塔，其對小區(qū)的影響度與所AI—WR

選地點到小區(qū)的距離有關，對小區(qū)A和小區(qū)6的總影響度為小區(qū)/與小區(qū)方的影響度之和，

記點。到小區(qū)A的距離為xkm,建在。處的信號發(fā)射塔對小區(qū)A和小區(qū)B的總影響度為y,

統(tǒng)計調查表明：信號發(fā)射塔對小區(qū)/的影響度與所選地點到小區(qū)/的距離的平方成反比，比

例系數(shù)為左對小區(qū)B的影響度與所選地點到小區(qū)B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為9.

當信號發(fā)射塔建在半圓弧的中點時，對小區(qū)/和小區(qū)8的總影響度為0.065.

(1)將y表示成x的函數(shù)；

(2)討論(1)中函數(shù)的單調性，并判斷半圓弧山?上是否存在一點，使建在此處的信號發(fā)

射塔對小區(qū)/和小區(qū)8的總影響度最??？若存在，求出該點到小區(qū)/的距離；若不存在，請

說明理由.

［解］(1)由題意知/A8C,初=400—V

k9

—+T77---2(0<X20),

x400—x

其中當x=10\/^時，y=0.065,所以A=4.

49

所以y=~~\~.八八2(0<^<20)?

x400—

49

(2)因為y=—+=一2(0<X20),

x400—x

,89義(一2x)18f—8(400—f)?

所以P=~1~(400-/)2=~/(400-/)2-'

令/=0得18?=8(400—f)2,

所以/=160,即x=4，Ib,

當0〈*4也時，18f<8(400—3)2,即一<0,

49

所以函數(shù)尸F(xiàn)+而一^為單調遞減函數(shù)，

當4/5cx〈20時，18x4>8(400—9丁，即/>0,

49

所以函數(shù)尸F(xiàn)x+標40一0—^才為單調遞增函數(shù).

所以當X=4、/15時，即當點。到小區(qū)/的距離為445km時，

49

函數(shù)尸F(xiàn)+而一^(0〈/20)有最小值，即信號發(fā)射塔對小區(qū)Z和小區(qū)6的總影響度最

x400—jr

小.

能力提升，

1.某商場從生產廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價為0元，銷量0(單

位：件)與零售價0(單位：元)有如下關系：0=8300-170^-/,則該商品零售價定為

元時利潤最大，利潤的最大值為元.

［解析］設商場銷售該商品所獲利潤為y元，則

y=(p—20)Q=(p—20)(8300-170p-/?2)

=-p-150/+ll700p-166000(?20),

則y'=-3/—3000+11700.

令/=0得3+1000—3900=0,

解得0=30或0=—130(舍去).

則P，y,y'變化關系如下表：

p(20,30)30(30,+8)

y'+0—

y極大值

故當°=30時，y取極大值為23000元.

又尸一/一15002+11700^-166000在［20,+8)上只有一個極值，故也是最值.

所以該商品零售價定為每件30元，所獲利潤最大為23000元.

［答案］3023000

2.(2018?南京、鹽城高三模擬)已知函數(shù)/■(x)=lnx+(e—a)x—6,其中e為自然對

b

數(shù)的底數(shù).若不等式/"(X)W0恒成立，則一的最小值為

a

解析：由不等式F(x)W0恒成立可得f(x)maxW0.產(x)=,+e—a,x>0,當e—320,

x

即aWe時，ff(x)>0,f(x)在(0,+8)上單調遞增，且x趨近于+8,廣(才)趨近于+8,

此時F(x)W0不可能恒成立；當e—aVO,即a>e時，由/(x)=0得x=」一，當

a-e

一■~~1)時，f'(x)>0,_f(x)單調遞增，當一，+8)時，f'(x)V0,_f(x)單

調遞減，此時/1(x)max=(._e)=一二(a—e)—1—6W0,則62—ln(a—e)—1,又3>e,

?、b、——In(a——e)-1.廠力、—Int——1./.

所以一三---------------，a>e,令a-e=t>0,則一N----7----，方>0.令g(?=

aaat-]-e

—1nt—1t

----F---，力>0，貝Ig'(5=,山、2,由g'(1)=0得方=e,且當方￡(0,e)時，g'

方十e-------------------(方十e)

(t)<0,g(力)單調遞減,當(e,+8)時,g，(力〉0,g(力單調遞增，所以g(z)min=g(e)

1-Int—1、1,.b,,...1

=一一，即一》——---N一一，故一的最小值為sl一一.

eat-reeae

答案：一'

e

3.(2018?南京、鹽城模擬)已知函數(shù)f(x)滿足：①Hx)=2F(x+2),x￡R；②f(力=

Inx+ax,(0,2)；③廣(x)在(一4,一2)內能取到最大值一4.

(1)求實數(shù)己的值；

(2)設函數(shù)g(x)=^bx—bx,若對任意的(1,2)總存在濟￡(1,2)使得f(xj=g(x》,

求實數(shù)6的取值范圍.

[解]⑴當押￡(-4,—2)時，有x+4￡(0,2),

由條件②得f(x+4)=ln(x+4)+z(x+4),

再由條件①得F(x)=2_f(x+2)=4f(x+4)=41n(x+4)+4a(x+4).

4

故/(x)=Ij+4a,(—4,—2).

x十4

4

由③，f(x)在(一4,—2)內有最大值，方程/(x)=0,即=+4〃=。在(-4,-2)

x十4

內必有解，故aWO,且解為彳=一工一4.

a

又最大值為一4,所以F(x)max=F(—4)=41n(—1)+4a?(—g=-4,即ln(—g=

aaaa

O,所以a=-1.

(2)設/"(x)在(1,2)內的值域為4g(x)在(1,2)內的值域為民

由條件可知AcB.

11—X

由⑴知，當x￡(l,2)時，A^)=lnx—x,f'(x)=-l=------<0,

xx

故Ax)在(1,2)內為減函數(shù)，

所以4=(/1(2),F(l))=(ln2—2,—1).

對g(x)求導得g'(x)=加一b=8(或一1)(x+1).

若伏0,則當x￡(l,2)時，g'(x)<0,g(x)為減函數(shù)，

所以6=(g⑵,g⑴)=(|/?,—|/?)?

由8得|?Wln2—2且一|力》一1,故必有6《|ln2-3.

若b>0,則當x￡(l,2)時，g'(￡)>0,g(x)為增函數(shù)，

所以8=(g⑴，g(2))=(一a.).

由￡6,得一|gn2一2且|心一1,故必有823一手口2.

若仁0,則8={0},此時屬8不成立.

33

綜上可知，6的取值范圍是(一8,-In2-3]U[3—-ln2,+°°).

4.(2018?江蘇省揚州中學月考)設函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=〃(七”)包>0).

X十1

(1)當〃=1時，函數(shù)p=F(x)與y=g(x)在x=l處的切線互相垂直，求力的值；

(2)若函數(shù)y=F(x)—g(x)在定義域內不單調，求m—n的取值范圍；

(3)是否存在實數(shù)a,使得?Me")+(WO對任意正實數(shù)x恒成立？若存在，

求出滿足條件的實數(shù)a；若不存在，請說明理由.

1—n1—/7

［解］(1)當0=1時，g'(x)=一］、2,所以尸g(x)在X=1處的切線斜率為丁,

\XI1)T：

由3=5所以尸f(x)在x=l處的切線斜率為1,所以1—n

?1=-1,所以n

5.

(2)易知函數(shù)p=F(x)—g(x)的定義域為(0,+8),

-(x)-g1(x)=1m(1~77)/+[2—ZZ7(1—77)]x+l

又P(x+1)*2*X(x+1)2

x+2-m(1—/?)+~~