新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章計(jì)數(shù)原理微專題1分組與分配問題的破解之術(shù)教師用書新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

微專題1分組與分配問題的破解之術(shù)解決分組與分配問題的關(guān)鍵是區(qū)分是否與順序有關(guān)，一般按先分組后分配的原則計(jì)算．1．分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：(1)完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等；(2)部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻分組，最后必須除以n！；(3)完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．2．分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配．類型1定向分配問題【例1】6本不同的書，分給甲、乙、丙3人，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)甲2本，乙2本，丙2本；(2)甲1本，乙2本，丙3本；(3)甲4本，乙、丙每人1本．[解](1)第一步，從6本不同的書中選2本書分配給甲，有C6第二步，從剩下的4本不同的書中選2本分配給乙，有C4第三步，剩下的2本不同的書全給丙，有C2根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有C62×C4(2)第一步，從6本不同的書中選1本書分配給甲，有C6第二步，從剩下的5本不同的書中選2本書分配給乙，有C5第三步，剩下的3本不同的書全給丙，有C3根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有C61×C5(3)第一步，從6本不同的書中選4本書分配給甲，有C6第二步，從剩下的2本不同的書中選1本書分配給乙，有C2第三步，剩下的1本書給丙，有C1根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有C64×C2解決定向分配問題的方法有“邊分組邊分配”或“先分組后分配”．類型2不定向分配問題【例2】6本不同的書，分給甲、乙、丙3人，在下列條件下各有多少種不同的分組方法？(1)每人2本；(2)一人1本，一人2本，一人3本；(3)一人4本，其余2人每人1本．[解](1)法一：本題為平均分組，并且有分配對(duì)象，先分組(與順序無關(guān))，有C6再分配給3個(gè)人(與順序有關(guān))，有A3共有C62C42C2法二：先從6本書中選2本給甲，有C6再從其余的4本書中選2本給乙，有C4最后從余下的2本書中選2本給丙，有C2所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，每人2本，共有C62C42(2)先分組，再分配，與順序有關(guān)，需排序．6本書分成三組共有C61C故一人1本，一人2本，一人3本的分法有C61C52(3)法一：從6本不同的書中選出4本，有C6將選出的4本書看成一個(gè)元素集團(tuán)，與其余2本書(兩個(gè)元素)分配給甲、乙、丙三人有A3由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有C64A33＝15×6法二：先分組，再分配，與順序有關(guān)．先分成三份，為部分平均分組問題，共有C64C21C11A不定向分配問題，解題原則是“先分組后分配”．屬于“排列”問題，要按排列問題求解．類型3不同元素的分組問題【例3】6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每組2本(平均分組)；(2)一組1本，一組2本，一組3本(不平均分組)；(3)一組4本，另外兩組各1本(局部平均分組)．[解](1)每組2本，均分為3組的分組種數(shù)為C62C42(2)一組1本，一組2本，一組3本的分組種數(shù)為C63C32C1(3)一組4本，另外兩組各1本的分組種數(shù)為C64C21(1)分清是分組問題還是分配問題很必要，而判斷是分組問題還是分配問題的關(guān)鍵是看是否有分配對(duì)象．若沒有分配對(duì)象，則為分組問題；若有分配對(duì)象，則為分配問題；若有確定的分配對(duì)象，即為定向分配問題．反之，則為不定向分配問題．(2)分組問題屬于“組合”問題，常見的三種分組問題如下：①完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等．②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n?。弁耆蔷鶆蚍纸M，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．類型4相同元素的分配問題【例4】將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子，求下列方法的種數(shù)．(1)每個(gè)盒子都不空；(2)恰有一個(gè)空盒子；(3)恰有兩個(gè)空盒子．[解](1)先把6個(gè)相同的小球排成一行，然后在小球之間5個(gè)空隙中任選3個(gè)空隙各插一塊隔板，故共有C53＝10(種(2)法一：恰有一個(gè)空盒子，第一步先選出一個(gè)盒子，有C4第二步在小球之間5個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有C41·C5法二：恰有一個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行．先在首尾兩球外側(cè)各放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有C52然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000||00|，有C4故共有C52·C4(3)法一：分兩步完成，第一步任取2個(gè)盒子不放小球(取兩個(gè)空盒子)有C4第二步在6個(gè)小球之間5個(gè)空隙中任選一個(gè)空檔插一塊隔板，有C5由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有C42·C5法二：恰有兩個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行．先在首尾兩球外側(cè)各放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選1個(gè)空隙插一塊隔板，有C51種插法，如然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒．①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個(gè)盒子，如||00||0000|，有C3②將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|||0000|，有C3故共有C51·C3(1)“隔板法”能快速解決相同元素的分配問題，由于元素和“隔板”都是相同的，需按組合問題求解；使用“隔板法”的關(guān)鍵是要根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為“每組至少1個(gè)”或“每組至少0個(gè)”的問題，才能合理使用“隔板法”解決問題．(2)“將n個(gè)相同元素分成m組(每組的任務(wù)不同)”的具體情況如下：①當(dāng)每組至少含有一個(gè)元素時(shí)，其不同的分組方法有Cn-1m-1種，即在n個(gè)元素中間形成的(n－1)個(gè)空中插入(m－②任意分組，可出現(xiàn)某些組所含元素個(gè)數(shù)為0的情況，不符合隔板法的適用條件，但可人為增加m個(gè)元素，使每組至少含有一個(gè)元素，此時(shí)問題就轉(zhuǎn)化為將(n＋m)個(gè)相同元素分成m組，且每組至少含有一個(gè)元素，則不同的分組方法有Cn+m微專題強(qiáng)化練(一)分組與分配問題的破解之術(shù)一、選擇題1．(2023·北京昌平期末)第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，于2022年2月4日(星期五)開幕，2月20日(星期日)閉幕．北京冬季奧運(yùn)會(huì)設(shè)有7個(gè)大項(xiàng)，15個(gè)分項(xiàng)，109個(gè)小項(xiàng)，其中7個(gè)大項(xiàng)分別為滑雪、滑冰、雪車、雪橇、冰球、冰壺、冬季兩項(xiàng)(越野滑雪和射擊比賽)，現(xiàn)組委會(huì)將7個(gè)大項(xiàng)的門票各一張分給甲、乙、丙三所學(xué)校，如果要求一所學(xué)校4張，一所學(xué)校2張，一所學(xué)校1張，則不同的分法種數(shù)為()A．A74A32A11D[先將7張票分成3組，張數(shù)分別為4、2、1，有C7再把3組票分給3所學(xué)校，有A33種分法，故不同的分法種數(shù)為C742．第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)期間，某校安排了甲、乙、丙、丁、戊共5名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個(gè)項(xiàng)目的志愿者，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人，每人只能安排到1個(gè)項(xiàng)目，則所有排法的總數(shù)為()A．60B．120C．150D．240C[當(dāng)分組為1人，1人，3人時(shí)，有C53·A33＝10×當(dāng)分組為1人，2人，2人時(shí)，有C51·C4所以共有60＋90＝150(種)排法．]3．在6張獎(jiǎng)券中，有一、二等獎(jiǎng)各1張，其余4張無獎(jiǎng)，將這6張獎(jiǎng)券分配給3個(gè)人，每人2張，則不同的獲獎(jiǎng)情況有()A．24種 B．18種C．12種 D．9種D[4張無獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券看成4個(gè)相同的元素，2張有獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券看成2個(gè)不同的元素，若一、二等獎(jiǎng)發(fā)給同1個(gè)人，則有3種情況，若一、二等獎(jiǎng)發(fā)給2個(gè)不同的人，則有C32A22所以不同的獲獎(jiǎng)情況共有3＋6＝9(種)．故選D．]4．“碳中和”是指企業(yè)、團(tuán)體或個(gè)人等測(cè)算在一定時(shí)間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心計(jì)劃派5名專家分別到A，B，C三地指導(dǎo)“碳中和”工作，每名專家只去一個(gè)地方，且每地至少派駐1名專家，則不同的分派方法的種數(shù)為()A．90 B．150C．180 D．300B[根據(jù)題意有兩種分派方式：第一種方式，有一個(gè)地方分派3名專家，剩下的兩個(gè)地方各分派一名專家，共有C51·C4第二種方式，有一個(gè)地方分派1名專家，另兩個(gè)地方各分派2名專家，共有C51·C4所以不同的分派方法的種數(shù)為60＋90＝150．故選B．]5．(多選)某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說法錯(cuò)誤的是()A．若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為54B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的安排方法種數(shù)為AC．每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是CD．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為CABD[根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，安排5人參加4項(xiàng)工作，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則有45種安排方法，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有C52A對(duì)于C，根據(jù)題意，分2種情況討論：①從丙、丁、戊中選出1人開車，②從丙、丁、戊中選出2人開車，則有C31C對(duì)于D，分2步分析：需要先將5人分為3組，有C53C21A22二、填空題6．甲、乙、丙3家公司承包了6項(xiàng)工程，每家公司承包2項(xiàng)，則不同的承包方案有________種．90[甲、乙、丙3家公司承包了6項(xiàng)工程，每家公司承包2項(xiàng)，則不同的承包方案種數(shù)為C62C42C7．有5個(gè)大學(xué)保送名額，計(jì)劃分到3個(gè)班級(jí)，有________種不同的分法．21[(隔板法)有5個(gè)大學(xué)保送名額，計(jì)劃分到3個(gè)班級(jí)，可以轉(zhuǎn)化為8個(gè)名額分到3個(gè)班，每個(gè)班至少1個(gè)(分完后每班再去掉1個(gè))，相當(dāng)于8個(gè)相同的球排成一排，然后插2塊隔板把球分成3份，每一份的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)1個(gè)班的名額，即中間7個(gè)空位中選2個(gè)插板，分成三份，有C72＝21(種)8．某單位4男3女參加鄉(xiāng)村振興工作，這7人將被派駐到A，B，C3個(gè)鄉(xiāng)村進(jìn)行鄉(xiāng)村振興工作(每個(gè)鄉(xiāng)村至少派駐1人)．若只考慮3個(gè)鄉(xiāng)村的名額分配，則有________種不同的名額分配方式；若每個(gè)鄉(xiāng)村至少派駐1男1女兩位工作人員，且男性甲必須派駐到A鄉(xiāng)村，則有________種不同的派駐方式．(用數(shù)字填寫答案)1572[7個(gè)人被派駐到A，B，C3個(gè)鄉(xiāng)村進(jìn)行鄉(xiāng)村振興工作，等價(jià)于將7個(gè)名額分成3組，每組至少一個(gè)名額，用“隔板法”，有C62＝15(種對(duì)于第二個(gè)空，分2步進(jìn)行分析：①將3位女工作人員安排到三個(gè)鄉(xiāng)村，有A33＝6(種②將4位男工作人員分為3組，先把其中2人“捆”在一起當(dāng)成一組有C42＝將甲所在的組分到A鄉(xiāng)村，剩余2組分到其余2個(gè)地區(qū)，有A22＝所以共有6×6×2＝72(種)不同的派駐方式．]三、解答題9．8張不同的郵票，按下列要求各有多少種不同的分法？(用式子表示)(1)平均分成四份；(2)平均分給甲、乙、丙、丁四人；(3)分成三份，一份4張，一份2張，一份2張；(4)分給甲、乙、丙三人，甲4張，乙2張，丙2張；(5)分給三人，一人4張，一人2張，一人2張；(6)分成三份，一份1張，一份2張，一份5張；(7)分給甲、乙、丙三人，甲得1張，乙得2張，丙得5張；(8)分給甲、乙、丙三人，一人1張，一人2張，一人5張．[解](1)本題屬平均分組問題，是組合問題，與順序無關(guān)，有C8(2)法一：本題為平均分組，并且有分配對(duì)象，先分組，與順序無關(guān)，有C82C62C4法二：①甲從8張郵票中取2張有C82種取法；②乙從余下