新教材同步備課2024春高中數學第6章計數原理章末綜合提升教師用書新人教A版選擇性必修第三冊

第6章計數原理章末綜合提升類型1兩個計數原理1．分類加法計數原理和分步乘法計數原理是本章內容的學習基礎，在進行計數過程中，常因分類不明導致增(漏)解，因此在解題中既要保證類與類的互斥性，又要關注總數的完備性．2．掌握兩個計數原理，提升邏輯推理和數學運算素養(yǎng)．【例1】(1)有2輛不同的紅色車和2輛不同的黑色車要停放在如圖所示的六個車位中的四個內，要求相同顏色的車不在同一行也不在同一列，則共有________種不同的停放方法．(用數字作答)ABCDEF(2)某公司安排甲、乙、丙等7人完成7天的值班任務，每人負責一天，已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相鄰兩天，則不同的安排方式有________種．(1)72(2)1128[(1)因為要求相同顏色的車不在同一行也不在同一列，所以第一行只能停放一輛紅色車與一輛黑色車，共有2×2×6種停法，再在第二行分類討論停放剩下的車，第二輛紅車如果停在第一輛黑車下方，則第二輛黑車有2種方法，第二輛紅車如果不停在第一輛黑車下方，則第二輛黑車有1種方法，共有3種情況，因此共有3×2×2×6＝72(種)情況．(2)以甲、丙的位置分三類．第一類：甲、丙相鄰且安排在第一、二天，由于甲不安排在第一天，則丙安排在第一天，甲安排在第二天，其余5人有A5第二類：甲、丙相鄰且安排在第二、三天，則有A2第三類：甲、丙相鄰且安排在第三天及以后，則甲、丙相鄰有4A22種排法，乙有4種排法，其余4人有A4根據分類加法計數原理知，滿足條件的安排方式共有A55+A22類型2排列與組合的綜合應用1．排列、組合是兩類特殊的計數求解方式，在計數原理求解中起著舉足輕重的作用，解決排列與組合的綜合問題要樹立先選后排，特殊元素(特殊位置)優(yōu)先的原則．2．明確排列和組合的運算，重點提升數學建模及數學運算素養(yǎng)．【例2】在高二(1)班元旦晚會上，有6個演唱節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目．(1)當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？(2)當要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？(3)若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩朗誦和快板2個節(jié)目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？[解](1)第一步，先將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個節(jié)目，與6個演唱節(jié)目一起排，有A77＝5040(種第二步，再松綁，給4個舞蹈節(jié)目排序，有A44＝24(種由分步乘法計數原理，共有5040×24＝120960(種)排法．(2)第一步，將6個演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”)，一共有A66＝720(種×□×□×□×□×□×□×第二步，再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個演唱節(jié)目中間，有A7由分步乘法計數原理，共有A66A74(3)若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有A12所以節(jié)目演出的順序有A1212A1010＝A類型3二項式定理的應用1．二項式定理是計數原理的重要內容之一，是高考的熱點．一般以選擇、填空的形式考查，試題難度為易，常從以下幾個方面考查：(1)考查二項展開式的通項Tk＋1＝Cnkan－kb(2)考查各項系數和，二項式系數和．(3)考查二項式定理的綜合應用，考查對二項式定理的掌握和靈活運用．2．通過二項式定理的應用，提升數學運算素養(yǎng)．【例3】已知在x-23xn的展開式中，第5項的系數與第3(1)求展開式中的所有有理項；(2)求展開式中系數的絕對值最大的項；(3)求n+9(4)求(1－x)3＋(1－x)4＋…＋(1－x)n的展開式中含x2的項的系數[解](1)由Cn4-24:Cn2解得n＝10(負值舍去),通項為Tk＋1＝C10k(x＝-2當5－5k6為整數時，k可取0，于是有理項為T1＝x5和T7＝13440．(2)設第k＋1項系數的絕對值最大，則C解得193≤k≤223，又因為k∈N，所以k＝7，當k＝7時，T8＝－15360所以系數的絕對值最大的項為T8＝－15360x-(3)原式＝10+9C10＝C100+9C104∵Cn∴Cnk∴x2項的系數為C32+C42+章末綜合測評(一)計數原理(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知自然數x滿足3Ax+13＝2AA．2 B．3C．4 D．5C[∵自然數x滿足3Ax+13＝2Ax+22+6Ax+12，∴3(x＋1)x(x－1)＝2(x＋2)(x＋1)＋6(x＋1)x，整理得3x2－11x－4＝0，解得x＝－13(2．從甲、乙等6名醫(yī)生中任選3名分別去A，B，C三所學校進行體檢，每個學校去1人，其中甲、乙不能去A學校，則不同的選派種數為()A．36 B．48C．60 D．80D[由A學校先在除甲、乙的4名醫(yī)生中選1名醫(yī)生，然后由B，C兩所學校在剩下的5名醫(yī)生中選2名醫(yī)生即可，則不同的選派種數為C41A52＝3．已知(a＋b)2n的展開式的第4項與第8項的二項式系數相等，則(2x－1)n展開式中x3的系數為()A．80 B．40C．－40 D．－80[答案]A4．某冬令營開營儀式文藝晚會中，要將A，B，C，D，E這五個不同節(jié)目編排成節(jié)目單，如果E節(jié)目不能排在開始和結尾，B，D兩個節(jié)目要相鄰，則節(jié)目單上不同的排序方式的種數為()A．12 B．18C．24 D．48C[由題意，若B或D排在第一個，則有A22A21若B或D排在最后一個，則有A22A21若B，D不排在開始和結尾，則有2A22A2綜上，節(jié)目單上不同的排序方式共有8＋8＋8＝24(種)．]5．若(1－2x)2023＝a0＋a1x＋…＋a2023x2023(x∈R)，則a12+aA．2 B．0C．－2 D．－1[答案]D6．1x-2y(2x－y)5的展開式中x2y4的系數為A．80 B．24C．－12 D．－48A[1x-2y(2x－y)5＝1x(2x－y)5－2y(2x－(2x－y)5的展開式的通項為Tk＋1＝C5k2x5-k-yk＝C5k·25-k令k＝3，得T4＝C53·22·(－1)3x2y∴1x-2y(2x－y)5的展開式中，x2y4的系數為－2×C53·22·(－1)7．已知(ax2＋1)x-2x5的展開式中各項系數的和為－3，則該展開式中xA．40 B．－40C．－120 D．－240C[令x＝1，則展開式的各項系數和為(a＋1)(1－2)5＝－(a＋1)＝－3，解得a＝2，所以(2x2＋1)x-2x5的展開式中含x的項為2x2×C53x8．為落實立德樹人的根本任務，踐行五育并舉，某學校開設A，B，C三門德育校本課程，現有甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，則不同的報名方法有()A．54種 B．240種C．150種 D．60種C[根據題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學選A，B，C三門德育校本課程，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，需要分三組，有兩類情況：①三組人數為1、1、3，此時有C51C41②三組人數為2、2、1，此時有C52C32所以共有60＋90＝150(種)．故選C．]二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．(2023·深圳模擬)已知(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則()A．a0＝28B．a1＋a2＋…＋a8＝1C．|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38D．a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8AD[取x＝0，可得a0＝28，故A正確；取x＝1，可得a1＋a2＋…＋a8＝1－28，故B不正確；取x＝－1，可得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28，故C不正確；已知等式兩邊對x求導，可得－8(2－x)7＝a1＋2a2x＋…＋8a8x7，取x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，故D正確．故選AD．]10．安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，B，C三地參加志愿工作，下列說法正確的是()A．不同的安排方法共有64種B．若恰有一地無人去，則不同的安排方法共有42種C．若甲必須去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有12種D．若甲、乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有14種BCD[四名志愿者均有3種選擇，所以不同的安排方法數為34＝81，A錯誤；若恰有一地無人去，則不同的安排方法數是C31C41若甲必須去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法數為A33+C3若甲、乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法數為C21C31+C311．(2023·茂名模擬)已知2x+13xn的展開式共有13項，則下列說法中正確的A．所有奇數項的二項式系數和為212B．所有項的系數和為312C．二項式系數最大的項為第6項或第7項D．有理項共5項BD[由2x+13xn的展開式共有13項，則對于選項A，由展開式二項式系數和為212，則所有奇數項的二項式系數和為211，即選項A錯誤；對于選項B，令x＝1，得2×1+13112＝312，即所有項的系數和為312，即選項B正確；對于選項C，由2x+13xn的展開式共有13項，則二項式系數最大的項為第7項，即選項C錯誤；對于選項D，由2x+13x12展開式的通項為Tk＋1＝212-kC12kx12-4k3，又0≤k≤12，則12．連接正方體每個面的中心構成一個正八面體，甲隨機選擇此正八面體的三個頂點構成三角形，乙隨機選擇此正八面體三個面的中心構成三角形，且甲、乙的選擇互不影響，則下列說法正確的是()A．甲選擇的三個點構成正三角形的概率為2B．甲選擇的三個點構成等腰直角三角形的概率為3C．乙選擇的三個點構成正三角形的概率為3D．甲選擇的三個點構成的三角形與乙選擇的三個點構成的三角形相似的概率為11ABD[甲隨機選擇的情況有C63＝20(種)，乙隨機選擇的情況有C83＝對于A，甲選擇的三個點構成正三角形，只有一種情況：甲從上下兩個點中選一個，從中間四個點中選相鄰兩個，共有C21C41故甲選擇的三個點構成正三角形的概率為820＝25，故選項對于B，甲選擇的三個點構成等腰直角三角形，有三種情況：①上下兩點都選，中間四個點中選一個，共有C41＝4(種②上下兩點中選一個，中間四個點中選相對的兩個點，共有C21C21③中間四個點中選三個點，共有C43＝4(種)，故共有4＋4＋4＝12(種所以甲選擇的三個點構成等腰直角三角形的概率為1220＝35，故選項對于C，正八面體的各面中心是正方體的8個頂點，所以乙選擇的三個點構成正三角形，共有8種，所以乙選擇的三個點構成正三角形的概率為856＝17，故選項對于D，乙選擇的三個點構成等腰直角三角形，共有3×8＝24(種)，概率為2456＝3甲乙相似，則甲乙均為正三角形或均為等腰直角三角形，所以甲選擇的三個點構成的三角形與乙選擇的三個點構成的三角形相似的概率為25×17+3三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上．13．(2023·海安市模擬)某社區(qū)將招募的5名志愿者分成兩組，要求每組至少兩人，分別擔任白天和夜間的網格員，則不同的分配方法種數為________．20[先將招募的5名志愿者分成兩組，再分別擔任白天和夜間的網格員，則不同的分配方法種數為C53C214．從0，1，2，3，4，5這6個數中每次取3個不同的數，把其中最大的數放在百位上排成三位數，這樣的三位數有________個．40[先選取3個不同的數，有C63種選法；然后把其中最大的數放在百位上，另2個不同的數放在十位和個位上，有A22種放法，故共有C6315．已知3x2+ax270[根據題意，令x＝1，可得(3＋a)5＝32，解得a＝－1，所以3x2+ax35即3x2-1x3令10－5k＝0，解得k＝2，所以展開式中的常數項為-123316．(2023·如皋市模擬)從正四面體的四個面的中心以及四個頂點共八個點中取出四個點，則這四個點不共面的取法總數為________種．60[如圖，正四面體ABCD，O1、O2、O3和O4分別是面ABC、面ACD、面ABD和面BCD的中心，則每個面上的三個頂點與這個面的中心，這四個點共面，如面ACD上，A、C、D和O2共面，每條棱都與小正四面體O3-O1O2O4的一條棱平行，如BC∥O2O3，則B、C、O2和O3四點共面，因此四個點不共面的取法總數為C84－4－6＝60．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)①只有第8項的二項式系數最大；②奇數項二項式系數之和為47；③各項系數之和為414．在這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的k存在，求k的值；若k不存在，說明理由．設二項式x+3x3n，若其展開式中，________，是否存在整數k注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分．[解]若選條件①，即只有第8項的二項式系數最大，則Cn7最大，由二項式系數的性質可得，n＝二項式x+Tk＝C14k-1·(x)＝3k-1由21－7k＝0，得k＝3．即存在整數k＝3，使得Tk是展開式中的常數項．若選條件③，即各項系數之和為414，則4n＝414，即n＝14．二項式x+Tk＝C14k-1·(x)＝3k-1由21－7k＝0，得k＝3．即存在整數k＝3，使得Tk是展開式中的常數項．若選條件②，即奇數項二項式系數之和為47，則2n-1＝47＝214，所以n＝15．二項式x+Tk＝C15k-1·(x)＝3k-1由22－7k＝0得k＝227?Z即不存在整數k，使得Tk是展開式中的常數項．18．(本小題滿分12分)已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14．求：(1)a1＋a2＋…＋a14；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13．[解](1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27．令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a14＝27－1＝127．(2)由(1)得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27，①令x＝－1得a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝67，②由①－②得2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67，所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝27-619．(本小題滿分12分)課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長，現從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？(1)至少有一名隊長當選；(2)至多有兩名女生當選；(3)既要有隊長，又要有女生當選．[解](1)至少有一名隊長含有兩種情況：有一名隊長和兩名隊長，故共有C21·C114+C22·(2)至多有兩名女生含有三種情況：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生，故共有C52·C8(3)分兩種情況：第一類：女隊長當選，有C12第二類：女隊長不當選，則男隊長當選，有C4故共有C124+C420．(本小題滿分12分)已知An5＝56Cn7，且1-2xn＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3(1)求n的值；(2)求a12+a2[解]1∵An即n(n－1)(n－2)(n－3)(n－4)＝56×nn化簡可得(n－5)(n－6)＝90，∵n∈N*，n≥5，∴n＝15．(2)∵(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，∴a0＝Cn0＝令x＝12，可得1＋a12+a222＋…＋an2n＝21．(本小題滿分12分)設x10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，其中Q(x)是關于x的多項式，a，b∈R．(1)求a，b的值；(2)若ax＋b＝28，求x10－3除以81的余數．[解](1)由已知等式，得[(x－1)＋1]10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，所以C100x-110+C101x-19+…所以[C100x-18+C101x-17+…+C108](x－所以10x－12＝ax＋b，所以a＝10，b＝－12．(2)因為ax＋b＝28，