新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.5正態(tài)分布教師用書新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

7.5正態(tài)分布學(xué)習(xí)任務(wù)1．利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．(直觀想象)2．了解變量落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．會(huì)用正態(tài)分布去解決實(shí)際問(wèn)題．(邏輯推理)自然界與工程技術(shù)中的隨機(jī)變量是最常見(jiàn)的．諸如，機(jī)械加工中零件的幾何尺寸(直徑、長(zhǎng)度、寬度、高度)、強(qiáng)度、質(zhì)量、使用壽命這些變量都不具備離散型隨機(jī)變量的特點(diǎn)．它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸，這種變量如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬰S機(jī)變量的分布？知識(shí)點(diǎn)1正態(tài)曲線(1)連續(xù)型隨機(jī)變量大量問(wèn)題中的隨機(jī)變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量．(2)正態(tài)曲線的定義我們稱f(x)＝1σ2πe-x-μ22σ2(3)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交．②曲線與x軸之間的面積為1．③曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱．④曲線在x＝μ處達(dá)到峰值1σ⑤當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸．知識(shí)點(diǎn)2正態(tài)分布(1)定義：若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝1σ2πe-x-μ22σ2，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當(dāng)(2)若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2．(3)正態(tài)分布的特征①當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖1．②當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，當(dāng)σ較小時(shí)，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；當(dāng)σ較大時(shí)，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖2．(4)正態(tài)分布的幾何意義：若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過(guò)x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積．知識(shí)點(diǎn)3正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率及3σ原則(1)三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．(2)3σ原則在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則．對(duì)于正態(tài)分布X～N(μ，σ2)而言，隨機(jī)變量X在[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值幾乎不可能發(fā)生，它在產(chǎn)品檢查、質(zhì)量檢驗(yàn)中起著重要的作用．1．(多選)以下關(guān)于正態(tài)密度曲線的說(shuō)法中正確的有()A．曲線都在x軸的上方，左右兩側(cè)與x軸無(wú)限接近，最終可與x軸相交B．曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱C．曲線呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的鐘形形狀D．曲線與x軸之間的面積為1BCD[A中正態(tài)密度曲線與x軸永遠(yuǎn)不相交，A錯(cuò)，其余均正確．]2．(多選)已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)φi(x)＝1σi2πe-x-μi22σi2(A．σ1＝σ2 B．μ1>μ3C．μ1＝μ2 D．σ2<σ3AD[根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，且μ越大，圖象越靠右，可知μ1<μ2＝μ3，故B、C錯(cuò)誤；因?yàn)棣以叫?，?shù)據(jù)越集中，圖象越瘦高，所以σ1＝σ2<σ3，故A、D正確．]3．若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(X≤μ)＝________．12[由于隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，其正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，故P(X≤μ)＝12類型1正態(tài)曲線及性質(zhì)【例1】(1)如圖是一個(gè)正態(tài)曲線，總體隨機(jī)變量的均值μ＝________，方差σ2＝________；(2)某正態(tài)密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為12π，則總體落入?yún)^(qū)間[0，2]內(nèi)的概率為(1)202(2)0.47725[(1)從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對(duì)稱，最大值是12所以μ＝20，12π·σ＝12因此總體隨機(jī)變量的均值μ＝20，方差σ2＝(2)2＝2．(2)正態(tài)密度函數(shù)是f(x)＝12πσe-x-μ22σ2，x∵f(x)的最大值為f(μ)＝1σ2π∴σ＝1，∴P(0≤X≤2)＝12P(－2≤X≤2)＝12P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈12×0.9545＝利用正態(tài)曲線的性質(zhì)求參數(shù)μ，σ(1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，由此性質(zhì)結(jié)合圖象求μ．(2)正態(tài)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值1σ2π[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)X(單位：分)服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)為f(x)＝1102πeA．這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同D．這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為10B[由函數(shù)解析式知這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為10，故A，D正確．因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線x＝80對(duì)稱，所以分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在40分以下的人數(shù)相同；分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同，故B錯(cuò)誤，C正確．]類型2服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率【例2】(1)已知隨機(jī)變量X～N(5，1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，求P(6≤X≤7)．(2)設(shè)隨機(jī)變量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)．①求c的值；②求P(－4≤X≤8)．附：若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．[思路導(dǎo)引]找到正態(tài)曲線的對(duì)稱軸—[解](1)由隨機(jī)變量X～N(5，1)知，μ＝5，σ＝1，所以P(4≤X≤6)≈0.6827，P(3≤X≤7)≈0.9545，所以P(6≤X≤7)＝12[P(3≤X≤7)－P(4≤X≤6)]≈0.1359(2)①由X～N(2，9)可知，正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝2時(shí)稱．因?yàn)镻(X>c＋1)＝P(X<c－1)，所以2－(c－1)＝(c＋1)－2，解得c＝2．②由X～N(2，9)知μ＝2，σ＝3，所以P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法(1)對(duì)稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等．如：①P(X<a)＝1－P(X≥a)．②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．設(shè)ξ～N(1，22)，試求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．[解]因?yàn)棣巍玁(1，22)，所以μ＝1，σ＝2．(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827．(2)因?yàn)镻(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，所以P(3≤ξ≤5)＝12[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤＝12[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋＝12[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ≈12(0.9545－0.6827)＝0.1359(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝12[1－P(－3≤ξ≤＝12[1－P(1－4≤ξ≤1＋＝12[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ≈12(1－0.9545)＝0.02275類型3正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例3】(源自湘教版教材)在某次數(shù)學(xué)考試中，假設(shè)考生的成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布ξ～N(90，100)．(1)求考試成績(jī)?chǔ)挝挥趨^(qū)間(70，110)上的概率；(2)若這次考試共有2000名考生，試估計(jì)考試成績(jī)?cè)?80，100)間的考生大約有多少人．[解]因?yàn)棣巍玁(90，100)，所以μ＝90，σ＝100＝10．(1)由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，考生成績(jī)?cè)讦蹋?σ＝90－2×10＝70和μ＋2σ＝90＋2×10＝110之間的概率約為0.9545．(2)由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，考生成績(jī)?cè)讦蹋遥?0和μ＋σ＝100之間的概率是0.6827．又因?yàn)橐还灿?000名學(xué)生參加考試，因此考試成績(jī)?cè)?80，100)間的考生大約有2000×0.6827≈1365(人)．解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題，其關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，把普通的區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ區(qū)間，由特殊區(qū)間的概率值求出．同時(shí)應(yīng)熟練掌握正態(tài)分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率，在此過(guò)程中用到歸納思想和數(shù)形結(jié)合思想．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(4，0.52)．質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽查1件，測(cè)得它的外直徑為5.7cm，試問(wèn)：該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？[解]由于外直徑X～N(4，0.52)，則X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之內(nèi)取值的概率為0.9973，在[2.5，5.5]之外取值的概率為0.0027，而5.7?[2.5，5.5]，這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為這批零件是不合格的．1．如圖是正態(tài)分布Nμ，σ12，Nμ，σ22，Nμ，σ32(σ1，A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3A[由σ的意義可知，圖象越瘦高，數(shù)據(jù)越集中，σ越小，故有σ1>σ2>σ3．]2．設(shè)隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，若P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，則實(shí)數(shù)a＝()A．0B．1C．2D．4C[因?yàn)镻(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，所以P(X≤1＋2a)＝1－P(X≤1－a)＝P(X>1－a)．因?yàn)閄～N(2，σ2)，所以1＋2a＋1－a＝2×2，所以a＝2．]3．某種零件的尺寸X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(3，1)，則不屬于區(qū)間[1，5]這個(gè)尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的________．4.55%[屬于區(qū)間[μ－2σ，μ＋2σ]，即區(qū)間[1，5]的取值概率約為95.45%，故不屬于區(qū)間[1，5]這個(gè)尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的1－95.45%＝4.55%．]4．某班有50名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(100，σ2)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為________．10[由題意知，P(ξ>110)＝1-2P90≤ξ≤1002＝0.2，故估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．你能寫出三個(gè)常用的概率值嗎？[提示]P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827．P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．2．正態(tài)密度曲線有哪些特征？[提示](1)集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央．(2)對(duì)稱性：正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對(duì)稱且不與x軸相交．(3)均勻變動(dòng)性：正態(tài)曲線由峰值開始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降．課時(shí)分層作業(yè)(十八)正態(tài)分布一、選擇題1．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，則下列結(jié)論中不正確的是()A．σ越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大B．σ越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等D．σ越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.2)內(nèi)的概率與落在(10，10.3)內(nèi)的概率相等D[對(duì)于A，σ越小，正態(tài)分布的圖象越瘦長(zhǎng)，總體分布越集中在對(duì)稱軸附近，故A正確．對(duì)于B，C，由于正態(tài)分布圖象的對(duì)稱軸為μ＝10，顯然B，C正確．D顯然錯(cuò)誤．故選D．]2．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，9)，若P(X<1)＝P(X>7)，則()A．E(X)＝4，D(X)＝9B．E(X)＝3，D(X)＝3C．E(X)＝4，D(X)＝3D．E(X)＝3，D(X)＝9A[∵隨機(jī)變量X～N(μ，9)，且P(X<1)＝P(X>7)，∴σ2＝9，μ＝1+72＝4，∴E(X)＝4，D(X)＝9．故選A．3．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，若P(X≤1)＝0.3，P(1<X<5)＝0.4，則μ＝()A．1B．2C．3D．4C[由于隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，滿足P(X≤1)＝0.3，P(1<X<5)＝0.4，因此P(X≥5)＝1－P(X≤1)－P(1<X<5)＝1－0.3－0.4＝0.3＝P(X≤1)，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知μ＝1+52＝3．4．一機(jī)械制造加工廠的某條生產(chǎn)線在設(shè)備正常運(yùn)行的情況下，生產(chǎn)的零件尺寸z(單位：mm)服從正態(tài)分布N(180，σ2)，且P(z≤190)＝0.9，P(z≤160)＝0.04，則P(190<z<200)＝()A．0.1 B．0.04C．0.05 D．0.06D[因?yàn)樯a(chǎn)的零件尺寸z(單位：mm)服從正態(tài)分布N(180，σ2)，所以P(z>190)＝1－P(z≤190)＝0.1，P(z≥200)＝P(z≤160)＝0.04，所以P(190<z<200)＝P(z>190)－P(z≥200)＝0.1－0.04＝0.06．]5．(多選)若隨機(jī)變量X，Y的正態(tài)密度函數(shù)分別為f(x)＝12πe-x-122，g(x)＝10.62πe-x+0.522×0.62，f(x)A．P(X>1)＝PY<B．σ1<σ2C．P(X>2)＝0.15865D．P(0.7≤Y≤1.3)＝0.0428AC[由解析式可得，μ1＝1，σ1＝1，μ2＝－0.5，σ2＝0.6，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；P(X>2)＝12[1－P(0<X<2)]≈12×(1－0.6827)＝0.15865，故C選項(xiàng)正確；P(0.7≤Y≤1.3)＝P(－0.5＋2×0.6<Y≤－0.5＋3×0.6)≈12×(0.9973－0.9545)＝0.0214，故二、填空題6．(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________．0.14[由題意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.14．]7．若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(9，16)，則P(－3≤ξ≤13)＝________．參考數(shù)據(jù)：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973．0.84[∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(9，16)，∴對(duì)稱軸方程為x＝μ＝9，σ＝4，則P(－3≤ξ≤13)＝P(μ－3σ≤ξ≤μ＋σ)＝12[P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＋P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ≈12(0.9973＋0.6827)＝0.84．8．(2023·河南鄭州期末)在某次高三聯(lián)考中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)(單位：分)服從正態(tài)分布N(95，100)．已知參加本次考試的學(xué)生有100000人，則本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)大于105分的大約有________人．參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．15865[設(shè)本次聯(lián)考中學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閄分，由題意知X～N(95，100)，∴μ＝95，σ＝10，∴P(85≤X≤105)≈0.6827，∴P(X>105)≈1-0.68272＝0.15865，∴本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)大于105分的大約有100000×0.15865＝15865(人三、解答題9．有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(20，4)，若這批零件共有5000個(gè)，試求：(1)這批零件中尺寸在18～22mm間的零件所占的百分比；(2)若規(guī)定尺寸在24～26mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個(gè)？[解](1)∵X～N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，故尺寸在18～22mm間的零件所占的百分比大約是68.27%．(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在24～26mm間的零件所占的百分比大約是99.73%-95.45%2∴這批零件中不合格的零件大約有5000×2.14%＝107(個(gè))．10．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3，σ2)，P(ξ≤6)＝0.84，則P(ξ≤0)＝()A．0.16 B．0.34C．0.66 D．0.84A[由題意得隨機(jī)變量ξ的樣本均值為3，所以P(ξ≤0)＝P(ξ≥6)，又P(ξ≤6)＝0.84，所以P(ξ≥6)＝1－P(ξ≤6)＝1－0.84＝0.16，所以P(ξ≤0)＝0.16．]11．甲、乙兩類產(chǎn)品的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布Nμ1，σA．甲類產(chǎn)品的平均質(zhì)量小于乙類產(chǎn)品的平均質(zhì)量B．乙類產(chǎn)品的質(zhì)量比甲類產(chǎn)品的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲類產(chǎn)品的平均質(zhì)量為1kgD．乙類產(chǎn)品的質(zhì)量的方差為2A[由題圖可知，甲類產(chǎn)品的平均質(zhì)量為μ1＝0.5kg，乙類產(chǎn)品的平均質(zhì)量為μ2＝1kg，甲類產(chǎn)品質(zhì)量的方差明顯小于乙類產(chǎn)品質(zhì)量的方差．故甲類產(chǎn)品的質(zhì)量比乙類產(chǎn)品的質(zhì)量更集中于平均值左右，故A正確，B、C錯(cuò)誤；由正態(tài)密度函數(shù)的解析式f(x)＝1σ可知當(dāng)x＝μ時(shí)，f(x)取得最大值，∴1σ2π＝4，∴σ∴σ2＝132π≠2，故故選A．]12．(多選)若隨機(jī)變量ξ～N(0，2)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，則下列等式成立的有()A．φ(－x)＝1－φ(x)B．φ(2x)＝2φ(x)C．P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1D．P(|ξ|>x)＝2－2φ(x)ACD[因?yàn)棣巍玁(0，2)，所以其正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，因?yàn)棣?x)＝P(ξ≤x)，x>0，所以φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝1－φ(x)，A正確；因?yàn)棣?2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，所以φ(2x)＝2φ(x)不一定成立，B不正確；因?yàn)镻(|ξ|<x)＝P(－x<ξ<x)＝1－2φ(－x)＝2φ(x)－1，C正確；因?yàn)镻(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝2－2φ(x)，D正確．]13．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(φ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0無(wú)實(shí)數(shù)根的概率為12，則μ＝_____________4[因?yàn)榉匠蘹2＋4x＋ξ＝0無(wú)實(shí)數(shù)根的概率為12，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝12＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝12，所以μ＝14．某市高中男生身高統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全市100000名男生的身高服從正態(tài)分布N(168，16)．現(xiàn)從某學(xué)校高三年級(jí)男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生身高全部介于160cm和184cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成6組：第1組[160，164)，第2組[164，168)，…，第6組[180，184]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．(1)試估計(jì)該校高三年級(jí)男生的平均身高；(2)求這50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人數(shù)；(3)在這50名身高在172cm以上(含172cm)的男生中任意抽取2人，將該2人身高納入全市排名(從高到低)，能進(jìn)入全市前135名的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．[解](1)由頻率分布直方圖可知，該校高三年級(jí)男生的平均身高約為(162×0.05＋166×0.07＋170×0.08＋174×0.02＋178×0.02＋182×0.01)×4＝168.72(cm)．(2)由頻率分布直方圖知，后3組的頻率為(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人數(shù)為0.2×50＝10，即這50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人數(shù)為10．(3