新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)10數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用新人教A版選擇性必修第三冊

課時(shí)分層作業(yè)(十)數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用一、選擇題1．觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是()A．8B．6C．4D．22．如圖所示，在由二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成的楊輝三角中，第m行從左到右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3，則m＝()A．40B．50C．34D．323．楊輝三角在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載．如圖所示的楊輝三角中，第15行第15個(gè)數(shù)是()A．14B．15C．16D．174．(2023·遼寧沈陽二中期末)楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家，其著作《詳解九章算法》中畫有一張表示二項(xiàng)式展開后的二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣(如圖所示)，稱為“開方作法本源”，現(xiàn)簡稱為“楊輝三角”．若用A(m，n)表示三角形數(shù)陣中的第m行第n個(gè)數(shù)，m，n∈N*，則A(100，3)＝()A．5050 B．4851C．4950 D．50005．(多選)“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一．如圖所示，從楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1，1，2，3，5，8，13，…，則()A．在第n(n≥5)條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小B．在第9條斜線上，各數(shù)之和為55C．在第11條斜線上，最大的數(shù)是CD．在第n條斜線上，共有2n二、填空題6．(2023·福建福州高級中學(xué)期中)在如圖所示的楊輝三角中，按圖中箭頭所指的前n個(gè)數(shù)字之和為________．7．(2023·遼寧沈陽大東質(zhì)檢)如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茨調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為1n(n∈N*，n≥2)，每個(gè)數(shù)是它下一行左、右相鄰兩數(shù)的和，如11＝12+12，12＝18．(2023·江蘇連云港期中)在楊輝三角中，三角形的兩個(gè)腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加，這個(gè)三角形開頭幾行如圖，則第9行從左到右的第3個(gè)數(shù)是________；若第n行從左到右第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)的比值為34，則n＝________三、解答題9．楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律，如圖是一個(gè)11階楊輝三角：(1)求第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù)；(2)在第2斜列中，前5個(gè)數(shù)依次為1，3，6，10，15，在第3斜列中，第5個(gè)數(shù)為35．顯然，1＋3＋6＋10＋15＝35．事實(shí)上，一般地有這樣的結(jié)論：第m－1斜列中(從右上到左下)前k個(gè)數(shù)之和，一定等于第m斜列中第k個(gè)數(shù)．試用含有m，k(m，k∈N*)的數(shù)字公式表示上述結(jié)論，并給予證明．課時(shí)分層作業(yè)(十)1．B[由題圖知，下一行的數(shù)是其肩上兩數(shù)的和，所以4＋a＝10，即a＝6．]2．C[由題意，得第m行從左到右第n個(gè)數(shù)為Cmn-1，n∈N*，m∈N且n－∵第m行中從左到右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3，∴Cm13Cm14＝故選C．]3．B[由楊輝三角知：第1行：C10，C11；第2行：C20，C21，C22；第3行：C30，C31，C32，C33；第44．B[由二項(xiàng)展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)可知，第m行第n個(gè)數(shù)應(yīng)為Cm所以第100行第3個(gè)數(shù)為C992＝99×982＝4851，即A(100，3)5．AC[對于A，由題意及題圖中規(guī)律可知，在第n(n≥5)條斜線上，各數(shù)都是自左往右先增大后減小，∴A正確；對于B，根據(jù)楊輝三角定義繼續(xù)往下寫三行，得17213535217118285670562881193684126126843691結(jié)合題圖知，第九條斜線上，各數(shù)之和為1＋10＋15＋7＋1＝34，∴B錯(cuò)誤．對于C，第11條斜線上，最大的數(shù)為35＝C73，∴C對于D，由題圖，可知每條斜線上數(shù)的個(gè)數(shù)為1，1，2，2，3，3，…，代入2n＋1＋(故選AC．]6．n(n＋1)(n＋2)按圖中箭頭所指的前n個(gè)數(shù)字之和為C22＋C＝C33＋C＝C43＋C＝…＝C＝n(n7．1840[將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)Cnr都換成分?jǐn)?shù)1(n＋1)Cnr即可得到“萊布尼茨調(diào)和三角形”，楊輝三角中，第10行第48．3627[依題意，得第9行從左到