遼寧省大連市第十五中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

遼寧省大連市第十五中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數(shù)式為

（

） A． B． C． D．參考答案：Ｂ2.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A.（-∞，2）

B.（0,3）

C.（1,4）

D.（2，+∞）參考答案：D略3.在中，已知，則角等于（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：B4.數(shù)列的通項(xiàng)公式是其前項(xiàng)和為則項(xiàng)數(shù)等于A．6

B．9

C．10

D．13參考答案：A先將數(shù)列的通項(xiàng)變形，再求和，利用已知條件建立方程，即可求得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n解：因?yàn)?，所以由得：。故選A。5.在△ABC中，若sin2A=sinB?sinC且（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，則該三角形的形狀是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形參考答案：D【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷．【專題】計算題．【分析】根據(jù)條件應(yīng)用正弦定理、余弦定理可得cosA==，故A=60°，再根據(jù)a2=bc以及b2+c2﹣a2=bc，可得（b﹣c）2=0，故b=c，從而得到三角形是等邊三角形．【解答】解：若sin2A=sinB?sinC，則a2=bc．

又（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=60°．再根據(jù)a2=bc以及b2+c2﹣a2=bc，可得（b﹣c）2=0，∴b=c，故該三角形的形狀是等邊三角形，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，求得A=60°，及cos（B﹣C）=1，是解題的關(guān)鍵．6.已知為第二象限角，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略7.長、寬分別為a，b的矩形的外接圓的面積為，將此結(jié)論類比到空間中，正確的結(jié)論為（

）A.長、寬、高分別為a，b，c的長方體的外接球的半徑為B.長、寬、高分別為a，b，c的長方體的外接球的表面積為C.長、寬、高分別為a，b，c的長方體的外接球的體積為D.長、寬、高分別為a，b，c的長方體的外接球的表面積為參考答案：D【分析】類比為求長、寬、高分別為，，的長方體的外接球的表面積即可.【詳解】“矩形的外接圓的面積”在類比中對應(yīng)的是“長方體的外接球的表面積”，長、寬、高分別為，，的長方體的外接球的半徑為，故其表面積為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理，屬于中檔題.類比推理問題，常見的類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.8.函數(shù)具有性質(zhì)（）A．圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，最大值為B．圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，最大值為1C．圖象關(guān)于直線對稱，最大值為D．圖象關(guān)于直線對稱，最大值為1參考答案：A【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式的作用；正弦函數(shù)的定義域和值域；正弦函數(shù)的對稱性．【分析】化簡函數(shù)的表達(dá)式，通過x=代入函數(shù)的表達(dá)式，函數(shù)是否取得最值，說明對稱軸以及最值，判斷C，D的正誤；函數(shù)值為0則說明中心對稱，判斷A，B的正誤．【解答】解：函數(shù)=﹣sinx+﹣=﹣cos（x+），x=時，函數(shù)=0．圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，最大值為故選：A．9.某學(xué)校舉辦科技節(jié)活動，有甲、乙、丙、丁四個團(tuán)隊(duì)參加“智能機(jī)器人”項(xiàng)目比賽，該項(xiàng)目只設(shè)置一個一等獎．在評獎揭曉前，小張、小王、小李、小趙四位同學(xué)對這四個參賽團(tuán)隊(duì)獲獎結(jié)果預(yù)測如下：小張說：“甲或乙團(tuán)隊(duì)獲得一等獎”；小王說：“丁團(tuán)隊(duì)獲得一等獎”；小李說：“乙、丙兩個團(tuán)隊(duì)均未獲得一等獎”；小趙說：“甲團(tuán)隊(duì)獲得一等獎”．若這四位同學(xué)中有且只有兩位預(yù)測結(jié)果是對的，則獲得一等獎的團(tuán)隊(duì)是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁參考答案：D1.若甲獲得一等獎,則小張、小李、小趙的預(yù)測都正確,與題意不符;2.若乙獲得一等獎,則只有小張的預(yù)測正確,與題意不符;3.若丙獲得一等獎,則四人的預(yù)測都錯誤,與題意不符;4.若丁獲得一等獎,則小王、小李的預(yù)測正確,小張、小趙的預(yù)測錯誤,符合題意，故選D.【思路點(diǎn)睛】本題主要考查演繹推理的定義與應(yīng)用以及反證法的應(yīng)用，屬于中檔題.本題中，若甲獲得一等獎,則小張、小李、小趙的預(yù)測都正確,與題意不符；若乙獲得一等獎,則只有小張的預(yù)測正確,與題意不符；若丙獲得一等獎,則四人的預(yù)測都錯誤,與題意不符；若丁獲得一等獎,則小王、小李的預(yù)測正確,小張、小趙的預(yù)測錯誤,符合題意.10.函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.B.C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知復(fù)數(shù),則

.參考答案：512.函數(shù)的定義域?yàn)開__

．參考答案：13.已知，且，則c的值為________．參考答案：14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則目標(biāo)函數(shù)z=2x－y的最大值是

.參考答案：615.已知集合M={（x，y）|}和集合N={（x，y）|y=sinx，x≥0}，若M∩N≠?，則實(shí)數(shù)a的最大值為

．參考答案：﹣?zhàn)鞒龊瘮?shù)y=sinx（x≥0）的圖象，以及不等式組表示的可行域，由直線x﹣2y+a=0與y=sinx相切時，設(shè)切點(diǎn)為（m，sinm），求出導(dǎo)數(shù)和直線的斜率，解方程可得切點(diǎn)和此時a的值，由圖象可得a的最大值．解：作出函數(shù)y=sinx（x≥0）的圖象，以及不等式組表示的可行域，當(dāng)直線x﹣2y+a=0與y=sinx相切時，設(shè)切點(diǎn)為（m，sinm），即有cosm=，解得m=，切點(diǎn)為（，），可得a=2×﹣=﹣，由題意可得a≤﹣，即有M∩N≠?，可得a的最大值為﹣，故答案為：﹣．16.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)＝2+4的最大值為

.參考答案：1317.一個球的半徑為，放在墻角與兩個墻角及地面都相切，那么球心與墻角頂點(diǎn)的距離是．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=x2eax，a＞0．

(1)證明：函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；

(2)若方程f（x）﹣1=0有且只有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的值．

參考答案：（1）證明：的定義域?yàn)?，，?dāng)時，由，，得，所以，則有函數(shù)在上為增函數(shù).（2）令，得或.列表如下：0正0負(fù)0正增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)則當(dāng)時，函數(shù)有極大值，當(dāng)時，函數(shù)有極小值，又時，，時，，時，，因?yàn)榉匠?，即有且只有兩個不同的實(shí)數(shù)根，所以，解得（負(fù)根舍去）.

19.已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且過點(diǎn)．（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（）、、、是橢圓上的四個不同的點(diǎn)，兩條都不和軸垂直的直線和分別過點(diǎn)，，且這條直線互相垂直，求證：為定值．參考答案：（）；（）見解析.解：（）已知，∴，∴，橢圓為，代入，解出，，∴橢圓為．（）∵橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，設(shè)直線，∵直線與互相垂直，直線，設(shè)，，，∴，∴，，∴，同理，∴為定值．20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,，，，,M是線段AP的中點(diǎn).（1）證明：BM∥平面PCD;（2）當(dāng)PA為何值時，四棱錐P-ABCD的體積最大？并求此最大值參考答案：（1）見解析（2）當(dāng)PA＝4時，體積最大值為16．【分析】（1）取PD中點(diǎn)N，易證MNCB平行四邊形，進(jìn)而得BM，CN平行，得證；（2）設(shè)PA＝x（0），把體積表示為關(guān)于x的函數(shù)，借助不等式求得最大值．【詳解】（1）取PD中點(diǎn)N，連接MN，CN，∵M(jìn)是AP的中點(diǎn)，∴MN∥AD且MN，∵AD∥BC，AD＝2BC，∴MN∥BC，MN＝BC，∴四邊形MNCB是平行四邊形，∴MB∥CN，又BM平面PCD，CN?平面PCD，∴BM∥平面PCD；（2）設(shè)PA＝x（0＜x＜4），∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∵，∴AB，又∵AB⊥AD，AD＝2BC＝4，∴VP﹣ABCD＝16，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x＝4時取等號，故當(dāng)PA＝4時，四棱錐P﹣ABCD的體積最大，最大值為16．【點(diǎn)睛】此題考查了線面平行，線面垂直的證明，棱錐體積的求法，涉及基本不等式求最值，屬于中檔題．21.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足，．（1）推測的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和參考答案：解：（1）由a2=5，an+1=an2－2nan+2，an>0(n?N*)知：a2=a12－2a1+2，故a1=3，

…………….…………….…………….2分a3=a22－4a2+2=7…………….…………….…………….…………….4分推測an=2n+1．(n?N*)………………①…………….…………….7分（2）…………….…………….…………….9分…………….…………….…………….11分

…………….…………….…………….13分…….…………….…………….…………….4分

略22.已知函數(shù)f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲線y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2處有極值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的極大值．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2處有極值，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ex（ax+b+a）﹣2x﹣4因?yàn)榍€y=f（x）在x=﹣