成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析講義-2024屆高三數(shù)學一輪復習

PAGE1第02講成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析【必備知識】1、變量的相關關系(1)相關關系：兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系．(2)相關關系的分類：正相關和負相關．(3)線性相關：一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，稱這兩個變量線性相關．2、樣本相關系數(shù)(1)樣本相關系數(shù)(2)當，成對樣本數(shù)據(jù)正相關；當時，成對樣本數(shù)據(jù)負相關．(3)當越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強；當越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱．3、一元線性回歸模型(1)經(jīng)驗回歸方程為，其中．(2)殘差分析①觀測值：通過觀測得到的數(shù)據(jù)．②預測值：通過經(jīng)驗回歸方程得到的．③殘差：觀測值減去預測值的差．④殘差分析：通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等．這方面的工作稱為殘差分析．XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d4．獨立性檢驗(1)假定通過簡單隨機抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如表所示．則．(2)獨立性檢驗當時，推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當時，沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為和獨立．利用χ2的取值推斷分類變量和是否獨立的方法稱為獨立性檢驗，簡稱獨立性檢驗．考點04相關關系的判斷【常見方法】判斷相關關系的方法：(1)回歸方程法：利用回歸方程中的系數(shù)的正負判斷．(2)散點圖法：如果所有的樣本點都落在某一曲線附近，那么變量之間就有相關關系；如果所有的樣本點都落在某一直線附近，那么變量之間就有線性相關關系．(3)相關系數(shù)法：利用相關系數(shù)判斷，|r|越趨近于1，相關性越強．【典例分析04】1、為了對變量x與y的線性相關進行檢驗，由樣本點(x1，y1)、(x2，y2)、…、(x10，y10)求得兩個變量的樣本相關系數(shù)為r，那么下面說法中正確的是()A．若所有樣本點都在直線y＝－2x＋1上，則r＝1B．若所有樣本點都在直線y＝－2x＋1上，則r＝－2C．若越大，則變量x與y的線性相關性越強D．若越小，則變量x與y的線性相關性越強2、下列命題中正確的為()A．線性相關系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關性越強B．線性相關系數(shù)r越小，兩個變量的線性相關性越弱C．殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果越好D．用相關指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好3、某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A．y＝a＋bxB．y＝a＋bx2C．y＝a＋bexD．y＝a＋blnx考點05線性回歸方程角度01線性回歸方程及其應用【常見方法】求線性回歸方程的基本步驟(1)先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計算出x、y，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))、x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的值；(2)計算回歸系數(shù)；(3)寫出線性回歸方程．注意：回歸方程一定過點(x，y)．【典例分析05】1、某食品廠2020年2月至6月的某款飲料生產(chǎn)產(chǎn)量(單位：萬件)的數(shù)據(jù)如下表：月份x23456生產(chǎn)產(chǎn)量y/萬件356．5810．5(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求y關于x的線性回歸方程；(2)調(diào)查顯示該年7月份的實際市場需求量為13．5萬件，求該年7月份所得回歸方程預測的生產(chǎn)產(chǎn)量與實際市場需求量的誤差．參考公式：，．角度02相關系數(shù)及其應用【常見方法】1．模型擬合效果的判斷(1)殘差平方和越小，模型的擬合效果越好；(2)決定系數(shù)R2越大，模型的擬合效果越好；(3)回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數(shù)判斷．當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關程度越強．2．確定殘差系數(shù)．其中是殘差平方和，其值越小，則越大(接近1)，模型的擬合效果越好．2、某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，．(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關系數(shù)(精確到0．01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關系數(shù)，eq\r(2)≈1．414．角度03非線性回歸分析【常見方法】非線性回歸方程的求法(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)(x，y)作出散點圖．(2)根據(jù)散點圖選擇恰當?shù)臄M合函數(shù)．(3)作恰當?shù)淖儞Q，將其轉化成線性函數(shù)，求線性回歸方程．(4)在(3)的基礎上通過相應變換，即可得到非線性回歸方程．3、某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費(單位：千元)對年銷售量(單位：)和年利潤(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量i(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．46．65636．8289．81．61．469108．8表中，．(1)根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型(給出判斷即可，不必說明理由)?(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程．考點06獨立性檢驗【常見方法】獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式計算．(3)如果，則“X與Y有關系”這種推斷犯錯誤的概率不超過a；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結論“X與Y有關系”．【典例分析06】1、甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質