中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題02 反比例函數(shù)與幾何綜合問題 （解析版）

專題02反比例函數(shù)與幾何綜合問題一、【知識(shí)回顧】（1）平面直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（a，b）點(diǎn)P（a，b）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（a，-b）點(diǎn)P（a，b）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)（-a，b）點(diǎn)P（a，b）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（-a，-b）點(diǎn)P（a，b）關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)（b，a）點(diǎn)P（a，b）關(guān)于y=-x的對(duì)稱點(diǎn)（-b，-a）（2）反比例函數(shù)k的幾何意義常見模型備注：熟練運(yùn)用幾大模型：①一點(diǎn)一垂線②一點(diǎn)兩垂線③兩點(diǎn)一垂線④兩點(diǎn)兩垂線⑤兩點(diǎn)也原點(diǎn)反比例函數(shù)幾何綜合解法技巧：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系，表示其他點(diǎn)的坐標(biāo)；并通過點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長度，通過面積構(gòu)建方程，解方程。二、【考點(diǎn)類型】考點(diǎn)1：反比例函數(shù)與直線結(jié)合典例1：（2022·安徽馬鞍山·校考一模）如圖，已知正比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先根據(jù)圖象過點(diǎn)，坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，再根據(jù)對(duì)稱性求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象過點(diǎn)SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵正比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象都是關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴SKIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)，圖象的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，m為常數(shù)）與雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，k為常數(shù)）交于點(diǎn)A，B，若SKIPIF1<0，過點(diǎn)A作SKIPIF1<0軸，垂足為M，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積是（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．6【答案】C【分析】根據(jù)反比例的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱得到點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入解析式求得SKIPIF1<0，然后根據(jù)反比例函數(shù)SKIPIF1<0系數(shù)k的幾何意義即可得到SKIPIF1<0，進(jìn)一步得出SKIPIF1<0．【詳解】解：∵直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，m為常數(shù)）與雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，k為常數(shù)）交于點(diǎn)A，B，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0軸，垂足為M，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)SKIPIF1<0系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)SKIPIF1<0圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為SKIPIF1<0．【變式2】（2022秋·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則代數(shù)式SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象交于點(diǎn)SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用整體思想代入SKIPIF1<0，求值即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象交于點(diǎn)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，以及分式求值．熟練掌握交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，利用整體思想，進(jìn)行求值，是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖像相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范圍；（3）若點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)．【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為SKIPIF1<0；反比例函數(shù)為SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【分析】(1)將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求得SKIPIF1<0，再將B點(diǎn)代入反比例函數(shù)求得n，再把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)求得SKIPIF1<0從而得出兩函數(shù)解析式；(2)觀察圖案結(jié)合（1）題求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求出所求x的范圍；(3)連接BO、AO，則△AOP和△BOP高相同，面積之比就是底邊長度之比，因此BP：AP=4：1，再用AB之間橫坐標(biāo)差值按比例分配求得P點(diǎn)橫坐標(biāo)，再把橫坐標(biāo)代入一次函數(shù)求得縱坐標(biāo)從而求出P點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解：（1）SKIPIF1<0反比例函數(shù)SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0反比例函數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一次函數(shù)的解析式為SKIPIF1<0；（2）觀察圖象，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)為(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，函數(shù)與不等式，三角形的面積等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.考點(diǎn)2：反比例函數(shù)與特殊三角形結(jié)合典例2：（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，△OMN是邊長為10的等邊三角形，反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0(x>0)的圖象與邊MN、OM分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B不與點(diǎn)M重合）．若AB⊥OM于點(diǎn)B，則k的值為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)OC=x，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得點(diǎn)B(x，SKIPIF1<0x)，點(diǎn)A(15-2x，2SKIPIF1<0x-5SKIPIF1<0)，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)列方程，解方程即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖：∵△OMN是邊長為10的等邊三角形，∴OM=MN=ON=10，∠MON=∠MNO=∠M=60°，∴∠OBC=∠MAB=∠NAD=30°，設(shè)OC=x，則OB=2x，BC=SKIPIF1<0x，MB=10-2x，MA=2MB=20-4x，∴NA=10-MA=4x-10，DN=SKIPIF1<0NA=2x-5，AD=SKIPIF1<0DN=SKIPIF1<0(2x-5)=2SKIPIF1<0x-5SKIPIF1<0，∴OD=ON-DN=15-2x，∴點(diǎn)B(x，SKIPIF1<0x)，點(diǎn)A(15-2x，2SKIPIF1<0x-5SKIPIF1<0)，∵反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0(x>0)的圖象與邊MN、OM分別交于點(diǎn)A、B，∴x?SKIPIF1<0x=(15-2x)(2SKIPIF1<0x-5SKIPIF1<0)，解得x=5(舍去)或x=3，∴點(diǎn)B(3，SKIPIF1<0)，∴k=9SKIPIF1<0．故答案為：9SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．【變式1】（2022·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B在第一象限，且SKIPIF1<0OAB為等邊三角形，若反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0在第一象限的圖象經(jīng)過邊AB的中點(diǎn)，則k的值為___________【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)AB中點(diǎn)為D，分別過B、D作BN⊥OA、DM⊥OA，根據(jù)等邊三角形的邊長為4，利用等邊三角形的性質(zhì)，算出OM和DM的長，從而得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可得出k的值．【詳解】設(shè)AB中點(diǎn)為D，分別過B、D作BN⊥OA、DM⊥OA，垂足分別為N、M如圖所示：∵OA=4，△OAB為等邊三角形，∴AB=OA=OB=4，SKIPIF1<0，∵BN⊥OA，∴ON=AN=2，BN=SKIPIF1<02SKIPIF1<0，∵DM⊥OA，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴DM=SKIPIF1<0，AM=1，∴OM=OA-AM=4-1=3，∴D（3，SKIPIF1<0），∴k=3×SKIPIF1<0=3SKIPIF1<0．故答案為：3SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，求反比例函數(shù)關(guān)系式和平行線分線段成比例定理，作出相應(yīng)的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2020·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=SKIPIF1<0(k＞0，x＞0)的圖象與等邊三角形OAB的邊OA，AB分別交于點(diǎn)M，N，且OM=2MA，若AB=3，那么點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條件，可求出OM，通過做垂線，利用解直角三角形，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；用直線AB的關(guān)系式與反比例函數(shù)的關(guān)系式組成方程組，解出x的值即可．【詳解】過點(diǎn)N、M分別作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足為C、D，∵△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=OB=3，∠AOB=∠ABO=60°，又∵OM=2MA，∴OM=2，MA=1，在Rt△MOD中，∠OMD=90SKIPIF1<0-∠MOD=30°，OD=SKIPIF1<0OM=1，MDSKIPIF1<0ODSKIPIF1<0，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，SKIPIF1<0)，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y=SKIPIF1<0，設(shè)OC=a，則BC=3-a，NC=SKIPIF1<0，在Rt△BCN中，∠BNC=90SKIPIF1<0-∠NBC=30°，∴NC=SKIPIF1<0BC，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(3-a)，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(舍去)，∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0，故選：B．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30度角直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·河南許昌·九年級(jí)?？计谀┮阎c(diǎn)SKIPIF1<0在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸正半軸上，若SKIPIF1<0為等腰三角形，且腰長為5，則點(diǎn)SKIPIF1<0坐標(biāo)為______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】因?yàn)榈妊切蔚难淮_定，所以分三種情況分別計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，過點(diǎn)A作SKIPIF1<0，垂足為C，∵SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0（舍），代入SKIPIF1<0計(jì)算可得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，∵腰長為5，∴SKIPIF1<0，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，∵腰長為5，∴SKIPIF1<0，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為SKIPIF1<0；綜上：點(diǎn)B的坐標(biāo)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，考查分類討論的思想，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：反比例函數(shù)與特殊四邊形結(jié)合典例3：（2022春·福建龍巖·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，反比例函數(shù)SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是該反比例函數(shù)圖象上的另外兩點(diǎn)，且點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若已知四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，且矩形SKIPIF1<0的面積為18，則SKIPIF1<0的值為___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用矩形面積以及長寬的關(guān)系，找出關(guān)系式，再利用完全平方公式算出SKIPIF1<0．【詳解】解：由題意可知，設(shè)SKIPIF1<0點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，反比例函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)，勾股定理，完全平方公式，解題關(guān)鍵是利用矩形的面積及長寬關(guān)系找出關(guān)系式．【變式1】（2020·福建漳州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，OA在x軸的正半軸上，∠AOC=60°，過點(diǎn)C的反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與AB交于點(diǎn)D，則△COD的面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】易證S菱形ABCO=2S△CDO，再根據(jù)tan∠AOC的值即可求得菱形的邊長，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，可得菱形的面積和結(jié)論．【詳解】解：作DF∥AO，CE⊥AO，∵∠AOC=60°，∴tan∠AOC=SKIPIF1<0，∴設(shè)OE=x，CE=SKIPIF1<0x，∴x?SKIPIF1<0x=4SKIPIF1<0，∴x=±2，∴OE=2，CE=2SKIPIF1<0，由勾股定理得：OC=4，∴S菱形OABC=OA?CE=4×2SKIPIF1<0=8SKIPIF1<0，∵四邊形OABC為菱形，∴AB∥CO，AO∥BC，∵DF∥AO，∴S△ADO=S△DFO，同理S△BCD=S△CDF，∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DFO+S△BCD+S△CDF，∴S菱形ABCO=2（S△DFO+S△CDF）=2S△CDO=8SKIPIF1<0，∴S△CDO=4SKIPIF1<0；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，考查了菱形面積的計(jì)算，本題中求得S菱形ABCO=2S△CDO是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，反比例函數(shù)SKIPIF1<0（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別于AB、BC交于點(diǎn)D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為【】A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題可從反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)E、M、D入手，分別找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面積與|k|的關(guān)系，列出等式求出k值．【詳解】由題意得：E、M、D位于反比例函數(shù)圖象上，則SKIPIF1<0，過點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G，作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則S□ONMG=|k|．又∵M(jìn)為矩形ABCO對(duì)角線的交點(diǎn)，∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，∵函數(shù)圖象在第一象限，k＞0，∴SKIPIF1<0．解得：k=3．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|，本知識(shí)點(diǎn)是中考的重要考點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注．【變式3】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）正方形ABCD的邊長為4，AC，BD交于點(diǎn)E．在點(diǎn)A處建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．（1）如圖（1），雙曲線y＝SKIPIF1<0過點(diǎn)E，完成填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)E的坐標(biāo)是，雙曲線的解析式是；（2）如圖（2），雙曲線y＝SKIPIF1<0與BC，CD分別交于點(diǎn)M，N．求證：SKIPIF1<0；（3）如圖（3），將正方形ABCD向右平移m（m＞0）個(gè)單位長度，使過點(diǎn)E的雙曲線y＝SKIPIF1<0與AB交于點(diǎn)P．當(dāng)SKIPIF1<0AEP為等腰三角形時(shí)，求m的值．【答案】（1）(4，4)，(2，2)，SKIPIF1<0；（2）見解析；（3）2或2SKIPIF1<0+2【分析】（1）根據(jù)正方形的邊長可確定C點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)得出E點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出雙曲線解析式即可；（2）設(shè)出M點(diǎn)和N點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的性質(zhì)得出MC＝NC，推出∠CMN＝∠CDB即可得出MN∥BD；（3）根據(jù)E點(diǎn)的坐標(biāo)求出AE的長，再分三種情況討論分別求出m的值即可．【詳解】解：（1）∵正方形ABCD的邊長為4，AC，BD交于點(diǎn)E，∴C（4，4），E（2，2），將E點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線y＝SKIPIF1<0，得2＝SKIPIF1<0，解得k1＝4，∴雙曲線的解析式為y＝SKIPIF1<0，故答案為：（4，4），（2，2），SKIPIF1<0；（2）∵雙曲線y＝SKIPIF1<0與BC，CD分別交于點(diǎn)M，N，∴設(shè)M（m，4），N（4，n），∴4m＝4n，∴m＝n，∴MC＝NC，由正方形可知，∠BCD＝90°，∴∠CMN＝45°，∠CBD＝45°，∴∠CMN＝∠CBD，∴MN∥BD；（3）∵正方形邊長為4，由（1）知E（2，2），∴AE＝SKIPIF1<0，①當(dāng)AP＝AE＝2SKIPIF1<0時(shí)，∵P（m，2SKIPIF1<0），E（m+2，2），點(diǎn)P、E在反比例函數(shù)圖象上，∴2SKIPIF1<0m＝2（m+2），∴m＝2SKIPIF1<0+2；②當(dāng)EP＝AE時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，∵P（m，4），E（m+2，2），點(diǎn)P、E在反比例函數(shù)圖象上，∴4m＝2（m+2），∴m＝2；③SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)EP＝AP時(shí)，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)EP＝AP時(shí)，點(diǎn)P、E不可能都在反比例函數(shù)圖象上，故此情況不存在；綜上所述，滿足條件的m的值為2或2SKIPIF1<0+2．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，正方形的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練一、單選題1．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0在反比例函數(shù)SKIPIF1<0上，頂點(diǎn)SKIPIF1<0在反比例函數(shù)SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸的正半軸上，則平行四邊形SKIPIF1<0的面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．5【答案】C【分析】過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，再將點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)分別代入兩個(gè)函數(shù)的解析式可得SKIPIF1<0，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將點(diǎn)SKIPIF1<0代入函數(shù)SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，將點(diǎn)SKIPIF1<0代入函數(shù)SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，則平行四邊形SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合、平行四邊形的面積公式，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2021秋·廣東佛山·九年級(jí)佛山市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）兩個(gè)反比例函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的圖象上，SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的圖象于點(diǎn)A，SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的圖象于點(diǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積相等B．當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B一定是PD的中點(diǎn)C．SKIPIF1<0D．只有當(dāng)四邊形OCPD為正方形時(shí)，四邊形PAOB的面積最大【答案】D【分析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，分別得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，通過計(jì)算即可得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積相等；設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)反比例函數(shù)、坐標(biāo)的性質(zhì)計(jì)算，即可判斷選項(xiàng)B和C；根據(jù)四邊形PAOB的面積=四邊形OCPD面積-SKIPIF1<0-SKIPIF1<0的關(guān)系計(jì)算，推導(dǎo)得四邊形PAOB的面積SKIPIF1<0，即可完成求解．【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根據(jù)題意，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積相等，即選項(xiàng)A正確；設(shè)SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0軸∴SKIPIF1<0∵點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0軸∴點(diǎn)SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)為：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B一定是PD的中點(diǎn)，即選項(xiàng)B正確；∵SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0軸∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0軸∴點(diǎn)SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)為：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即選項(xiàng)C正確；根據(jù)題意，四邊形PAOB的面積=四邊形OCPD面積-SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=四邊形OCPD面積-1；四邊形OCPD面積SKIPIF1<0∴四邊形PAOB的面積SKIPIF1<0，即無論四邊形OCPD是否為正方形，四邊形PAOB的面積均為SKIPIF1<0∴選項(xiàng)D不正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)、直角坐標(biāo)系的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．3.（2022秋·吉林長春·九年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是SKIPIF1<0，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，SKIPIF1<0），直線SKIPIF1<0與反比例函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的圖象交于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作SKIPIF1<0軸與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C，若SKIPIF1<0，則k的值為（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設(shè)直線SKIPIF1<0的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，將點(diǎn)A、B代入確定直線解析式，過點(diǎn)D作SKIPIF1<0軸于E，根據(jù)相似三角形的判定可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，進(jìn)而可得D點(diǎn)坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式計(jì)算求值即可；【詳解】解：設(shè)直線SKIPIF1<0的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，將點(diǎn)A、B代入得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴一次函數(shù)的解析式為SKIPIF1<0，∴過點(diǎn)D作SKIPIF1<0軸于E，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是SKIPIF1<0，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，SKIPIF1<0），∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵AC⊥x軸，∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵DE⊥x軸，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．4．（2022春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)A是一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像與反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖像在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，SKIPIF1<0軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【分析】先確定反比例函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，確定點(diǎn)SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，計(jì)算SKIPIF1<0，利用勾股定理得SKIPIF1<0，計(jì)算即可．【詳解】∵SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴反比例函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴點(diǎn)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，勾股定理，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，勾股定理是解題的關(guān)鍵．5.（2021·湖北武漢·九年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)A是雙曲線y＝SKIPIF1<0在第一象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y＝SKIPIF1<0（x＞0）上運(yùn)動(dòng)，則k的值是（）A．3 B．SKIPIF1<0 C．﹣3 D．﹣SKIPIF1<0【答案】C【分析】連接OC，根據(jù)反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性質(zhì)，知OA=OB，根據(jù)等腰三角形三線合一，可得OC⊥AB，且OC：OA=SKIPIF1<0，過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，可證明△DOA∽△ECO，得EC=SKIPIF1<0DO，OE=SKIPIF1<0AD，把線段轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，結(jié)合反比例函數(shù)的解析式求解即可．【詳解】如圖，連接OC，根據(jù)反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性質(zhì)，得OA=OB，∵△ABC是等邊三角形，∴OC⊥AB，∠OCA=30°，∴OC：OA=SKIPIF1<0，過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，∴∠ADO=∠OEC=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∠AOD+∠COE=90°，∴∠OAD=∠COE，∴△DOA∽△ECO，∴EC:DO=OE:AD=OC:AD，∴EC=SKIPIF1<0DO，OE=SKIPIF1<0AD，設(shè)點(diǎn)A（a，b），則DO=a，AD=b，ab=1，∵點(diǎn)C在第四象限，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（SKIPIF1<0b，-SKIPIF1<0a），∵點(diǎn)C始終在雙曲線y＝SKIPIF1<0（x＞0）上運(yùn)動(dòng)，∴k=（-SKIPIF1<0a）×SKIPIF1<0b=-3ab=-3，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的對(duì)稱性，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形的相似，坐標(biāo)與線段之間的關(guān)系，熟練掌握反比例函數(shù)的對(duì)稱性，靈活選擇方法證明三角形的相似是解題的關(guān)鍵．6.（2022春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上任意一點(diǎn)，SKIPIF1<0軸交反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象于點(diǎn)B，以AB為邊作平行四邊形ABCD，其中C、D在x軸上，則SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設(shè)A的縱坐標(biāo)是b，則B的縱坐標(biāo)也是b，即可求得A、B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可表示AB的長度，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可．【詳解】解：設(shè)A的縱坐標(biāo)是b，∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)也是b，把y=b代入SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，∴A的橫坐標(biāo)是SKIPIF1<0，把y=b代入SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，∴B的橫坐標(biāo)是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了是反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合題，理解A、B的縱坐標(biāo)是同一個(gè)值，表示出AB的長度是解決本題關(guān)鍵．7．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OACB是菱形，OB在x軸的正半軸上，cos∠AOB=SKIPIF1<0反比例函數(shù)SKIPIF1<0在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F，則△AOF的面積等于（）A．15 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，設(shè)OA=a,通過解直角三角形找出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出a的值，再根據(jù)四邊形OACB是菱形、點(diǎn)F在邊BC上，即可得出SKIPIF1<0，結(jié)合菱形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖所示．設(shè)OA=a，在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，cos∠AOB=SKIPIF1<0，∴OM=OA?cos∠AOB=SKIPIF1<0a，AM=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0a，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（SKIPIF1<0a，SKIPIF1<0a）．∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0的圖象上，∴SKIPIF1<0a×SKIPIF1<0a=24，解得：a=5SKIPIF1<0，或a=-5SKIPIF1<0（舍去）．∴OM=3SKIPIF1<0，AM=4SKIPIF1<0，OB=OA=5SKIPIF1<0．∵四邊形OBCA是菱形，點(diǎn)F在邊BC上，∴SKIPIF1<0．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是找出SKIPIF1<0．8．（2012春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A、B是雙曲線SKIPIF1<0上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，AC∥y軸，BD∥y軸，則四邊形ACBD的面積S滿足（）A．S=1 B．1<S<2 C．S=2 D．S>2【答案】C【分析】連接AB，利用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義及等底等高的兩個(gè)三角形面積相等，即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接AB，∵A，B是函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，且AC平行于y軸，BD平行于y軸，∴S△AOC=S△BOD=SKIPIF1<0，假設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-x，-y），則OC=OD=x，∴S△AOD=S△AOC=SKIPIF1<0，S△BOC=S△BOD=SKIPIF1<0，∴四邊形ABCD面積=S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD=SKIPIF1<0，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，掌握這一知識(shí)是關(guān)鍵．9．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0圖象上一點(diǎn)，連結(jié)SKIPIF1<0，交函數(shù)SKIPIF1<0的圖象于點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0軸上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則三角形SKIPIF1<0的面積為（

）A．9 B．12 C．20 D．36【答案】B【分析】根據(jù)題意可以分別設(shè)出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)O、A、B在同一條直線上可以得到A、B的坐標(biāo)之間的關(guān)系，由AO=AC可知點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的2倍，從而可以得到△ABC的面積．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，SKIPIF1<0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，SKIPIF1<0），∵點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，且AO=AC，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2a，0），設(shè)過點(diǎn)O（0，0），A（a，SKIPIF1<0）的直線的解析式為：y=kx，∴SKIPIF1<0=ak，解得，k=SKIPIF1<0，又∵點(diǎn)B（b，SKIPIF1<0）在y=SKIPIF1<0x上，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0?b，解得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），∴S△ABC=S△AOC-S△OBC=SKIPIF1<0=18-6=12．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．10．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，點(diǎn)A在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，則經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出SKIPIF1<0，進(jìn)而得出SKIPIF1<0，即可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)B作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)D，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)圖象在第二象限，故反比例函數(shù)解析式為：SKIPIF1<0．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出SKIPIF1<0是解題關(guān)鍵．二、填空題11．（2022秋·湖南懷化·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，設(shè)直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0的值為___________．【答案】10【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)并結(jié)合函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征來解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意，SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性，重點(diǎn)是掌握兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱．12（2023春·遼寧沈陽·九年級(jí)沈陽市南昌初級(jí)中學(xué)（沈陽市第二十三中學(xué)）校考開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)A在雙曲線SKIPIF1<0上，點(diǎn)B在雙曲線SKIPIF1<0上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，SKIPIF1<0軸，點(diǎn)C，D在x軸上，若四邊形SKIPIF1<0為面積是9的矩形，則k的值為______．【答案】13【分析】延長SKIPIF1<0交y軸于點(diǎn)E，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，可得四邊形SKIPIF1<0的面積是4，四邊形SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0，再由四邊形SKIPIF1<0的面積是9，即可求出．【詳解】解：延長SKIPIF1<0交y軸于點(diǎn)E，則SKIPIF1<0軸，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)SKIPIF1<0上，∴四邊形SKIPIF1<0的面積是4，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)SKIPIF1<0上，∴四邊形SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0的面積是9，∴SKIPIF1<0，∵反比例函數(shù)SKIPIF1<0在第一象限，∴SKIPIF1<0．故答案為13．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵。13．（2019·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，OA在x軸的正半軸上，∠AOC＝60°，過點(diǎn)C的反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與AB交于點(diǎn)D，則△COD的面積為_____．【答案】SKIPIF1<0【分析】易證S菱形ABCO＝2S△CDO，再根據(jù)tan∠AOC的值即可求得菱形的邊長，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，可得菱形的面積和結(jié)論．【詳解】解：作DF∥AO，CE⊥AO，∵∠AOC＝60°，∴tan∠AOC＝SKIPIF1<0，∴設(shè)OE＝x，CE＝SKIPIF1<0,∴x?SKIPIF1<0，∴x＝±2，∴OE＝2，CE＝2SKIPIF1<0，由勾股定理得：OC＝4，∴S菱形OABC＝OA?CE＝4×2SKIPIF1<0，∵四邊形OABC為菱形，∴AB∥CO，AO∥BC，∵DF∥AO，∴S△ADO＝S△DFO，同理S△BCD＝S△CDF，∵S菱形ABCO＝S△ADO＋S△DFO＋S△BCD＋S△CDF，∴S菱形ABCO＝2（S△DFO＋S△CDF）＝2S△CDO＝8SKIPIF1<0，∴S△CDO＝4SKIPIF1<0；故答案為4SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，考查了菱形面積的計(jì)算，本題中求得S菱形ABCO＝2S△CDO是解題的關(guān)鍵．14．（2021春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）圖，已知在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的直角頂點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸的正半軸上，點(diǎn)SKIPIF1<0在第一象限，反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0．交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的面積是3，則四邊形SKIPIF1<0的面積是______．【答案】5【分析】作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用反比例函數(shù)SKIPIF1<0的幾何意義得到SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，利用中線的性質(zhì)和三線合一得到△OCE和△OAB的面積比為SKIPIF1<0，代入可得結(jié)論．【詳解】解：連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴CE⊥OB，∴OE=BE，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)SKIPIF1<0的幾何意義：在反比例函數(shù)SKIPIF1<0圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值SKIPIF1<0．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是SKIPIF1<0，且保持不變．15．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像交坐標(biāo)軸于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，交反比例函數(shù)SKIPIF1<0圖像的一個(gè)分支于點(diǎn)SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0恰好是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0的值是___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由一次函數(shù)解析式可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)，再由點(diǎn)SKIPIF1<0恰好是SKIPIF1<0的中點(diǎn)求得SKIPIF1<0的坐標(biāo)，然后代入SKIPIF1<0求得k即可解答．【詳解】解：SKIPIF1<0一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像交坐標(biāo)軸于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0恰好是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0反比例函數(shù)SKIPIF1<0圖像過點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，求得點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．16.（2021春·福建廈門·九年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知A、B兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0位于第二象限部分的圖像上，且△OAB為等邊三角形，若AB=6，則k的值為____．【答案】－9【分析】根據(jù)等邊三角形和反比例函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性，可知：A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=-x軸對(duì)稱，從而設(shè)A(m，n)，則B(-n，-m)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解．【詳解】∵A、B兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0位于第二象限部分的圖像上，且△OAB為等邊三角形，∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=-x軸對(duì)稱，設(shè)A(m，n)，則B(-n，-m)，∵AB=OA=6，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，化簡整理得：-4mn=36，∴mn=-9，即：k=-9．故答案是：-9【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性以及兩點(diǎn)間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2022秋·福建福州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形SKIPIF1<0為矩形，C，A兩點(diǎn)分別在x軸的正半軸上和y軸的正半軸上，D為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．(1)當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為SKIPIF1<0時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（用含k的代數(shù)式表示）(2)若一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，求k的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)k的值為6【分析】（1）先由B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，求得SKIPIF1<0，進(jìn)而根據(jù)D為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)即可得解；（2）根據(jù)求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而得SKIPIF1<0，又由點(diǎn)D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，得點(diǎn)SKIPIF1<0，再由點(diǎn)D在直線SKIPIF1<0上，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形SKIPIF1<0為矩形，C，A兩點(diǎn)分別在x軸的正半軸上和y軸的正半軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為SKIPIF1<0，∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∵反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，∴SKIPIF1<0，∵D為線段SKIPIF1<0