中考數(shù)學二輪復習考點提分特訓專題09 三點共線問題（解析版）

專題09三點共線問題一、【知識回顧】【三點共線模型】①函數(shù)模型：構建平面直角坐標系，求出三個點坐標，其中兩個點構建一次函數(shù)模型，判斷第三個點是否在函數(shù)圖像上，滿足則共線②平角模型如圖，要證明A、B、C三點共線，可以選擇一條過B點的直線PBQ，并連接AB、CB，證明∠ABP與∠CBP互為鄰補角，即∠ABP+∠CBP=180°③平行線模型如圖，要證明A、B、C三點共線，先證明AB∥DE，在證明BC∥DE④垂線模型如圖，要證明A、B、C三點共線，先證明AC⊥MN，在證明A⊥MN【三線共點模型】①證明兩條線的交點，在第三條直線上②證明三條線中兩條線的交點和另外兩條線的交點是同一個二、【考點類型】考點1：三點共線典例1：（2022秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點B按順時針方向旋轉得到SKIPIF1<0，當點E恰好落在線段SKIPIF1<0上時，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點F，連接SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的長；(2)求證：C、E、F三點共線．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)見解析【分析】（1）將SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0按順時針方向旋轉得到SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而可求SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0即可得答案；（2）連接SKIPIF1<0，先證SKIPIF1<0，再用SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，從而證明SKIPIF1<0即可．【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0將SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0按順時針方向旋轉得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0，如圖：由（1）知：SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線．【點睛】本題考查直角三角形性質及應用，涉及勾股定理、旋轉變換、等腰三角形性質等知識，解題的關鍵是掌握定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【變式1】（2022春·福建泉州·九年級?？茧A段練習）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0順時針旋轉一定的角度SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對應點分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)如圖SKIPIF1<0，當點SKIPIF1<0恰好在SKIPIF1<0上時，求SKIPIF1<0的大??；(2)如圖SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，判斷四邊形SKIPIF1<0的形狀，并證明你的結論．(3)如圖SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0求證：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線．SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，詳見解析(3)①詳見解析；②4【分析】（1）由旋轉的性質可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由等腰三角形的性質可求SKIPIF1<0，即可求解；（2）由旋轉的性質可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由“SKIPIF1<0”可證SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可求解；（3）SKIPIF1<0通過證明點SKIPIF1<0、點SKIPIF1<0、點SKIPIF1<0、點SKIPIF1<0四點共圓，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0四點共圓，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得結論；SKIPIF1<0由直角三角形的性質可求SKIPIF1<0，由圓中直徑最大可求解．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0將SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0順時針旋轉一定的角度SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，理由如下：SKIPIF1<0點SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0順時針旋轉SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（3）SKIPIF1<0證明：如圖SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0將SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0順時針旋轉一定的角度SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0、點SKIPIF1<0、點SKIPIF1<0、點SKIPIF1<0四點共圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0四點共圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0三點共線；SKIPIF1<0解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0、點SKIPIF1<0、點SKIPIF1<0、點SKIPIF1<0四點共圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直徑，SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，旋轉的性質，圓的有關知識，平行四邊形的判定，直角三角形的性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．【變式2】（2021春·福建廈門·九年級?？茧A段練習）拋物線C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的頂點為A，拋物線C2：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的頂點為B，其中m≠﹣2，拋物線C1與C2相交于點P．(1)當m＝1時，求拋物線C1的頂點坐標；(2)已知點C（﹣2，1），求證：點A，B，C三點共線；(3)設點P的縱坐標為q，求q的取值范圍．【答案】(1)拋物線C1的頂點坐標為（1，4）(2)見解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）將m＝1代入拋物線C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3，先按照x＝﹣SKIPIF1<0求得拋物線C1的頂點橫坐標，再將橫坐標代入解析式求得縱坐標即可；（2）先得出A（m，m+3），B（﹣m﹣4，﹣m﹣1），再用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，然后將點C的橫坐標代入直線AB的解析式，計算得出y值等于點C的縱坐標即可證得結論；（3）聯(lián)立SKIPIF1<0，求得方程組的解，從而可用含m的式子表示出點P的坐標，將點P的縱坐標配方，由二次函數(shù)的性質可得答案．（1）解：當m＝1時，拋物線C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3可化為：y＝﹣x2+2x+3，∴其頂點橫坐標為：x＝﹣SKIPIF1<0＝1，將x＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣1+2+3＝4，∴當m＝1時，拋物線C1的頂點坐標為（1，4）；（2）證明：∵拋物線C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3＝﹣（x﹣m）2+m+3，∴A（m，m+3）；∵拋物線C2：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的頂點為B，∴B（﹣m﹣4，﹣m﹣1），設直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），將A（m，m+3），B（﹣m﹣4，﹣m﹣1）代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直線AB的解析式為y＝x+3，當x＝﹣2時，y＝x+3＝﹣2+3＝1，∴點C（﹣2，1）在直線AB上，∴點A，B，C三點共線；（3）解：聯(lián)立SKIPIF1<0，把①代入②，得：﹣x2+2mx﹣m2+m+3＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1，解得x＝﹣SKIPIF1<0，把x＝﹣SKIPIF1<0代入①，得：y＝﹣SKIPIF1<0+2m×（﹣SKIPIF1<0）﹣m2+m+3＝﹣m2﹣4m﹣SKIPIF1<0，∴方程組的解為：SKIPIF1<0，∴點P的坐標為（﹣SKIPIF1<0，﹣m2﹣4m﹣SKIPIF1<0），∴點P的縱坐標q＝﹣m2﹣4m﹣SKIPIF1<0＝﹣（m+2）2+SKIPIF1<0，∵m≠﹣2，-1＜0，∴q的取值范圍是q＜SKIPIF1<0．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了拋物線的頂點坐標的求法、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、三點共線的證明及二次函數(shù)的性質等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．【變式3】（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知矩形ABCD中，SKIPIF1<0于點E，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求CE的長；(2)設點C關于AD的對稱點為F，求證：B，E，F(xiàn)三點共線．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質以及等角的余角相等可得SKIPIF1<0，進而可得SKIPIF1<0，列出比例式代入數(shù)值，即可求得SKIPIF1<0；（2）根據(jù)題意點C關于AD的對稱點為F，由（1）可得SKIPIF1<0，根據(jù)對稱可得C，D，F(xiàn)三點共線，進而根據(jù)矩形的性質可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可證明SKIPIF1<0，即B，E，F(xiàn)三點共線.(1)∵四邊形ABCD是矩形，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.(2)由（1）得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.∵點C與點F關于AD對稱，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，∴C，D，F(xiàn)三點共線．SKIPIF1<0．∵四邊形ABCD是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴B，E，F(xiàn)三點共線.【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，矩形的性質，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．考點2：三線共點典例2：（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知線段SKIPIF1<0，垂足為a．（1）求作四邊形SKIPIF1<0，使得點B，D分別在射線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設P，Q分別為（1）中四邊形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0的中點，求證：直線SKIPIF1<0相交于同一點．【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)SKIPIF1<0，點B在射線SKIPIF1<0上，過點A作SKIPIF1<0；根據(jù)等邊三角形性質，得SKIPIF1<0，分別過點A、B，SKIPIF1<0為半徑畫圓弧，交點即為點C；再根據(jù)等邊三角形的性質作CD，即可得到答案；（2）設直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點S、直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，根據(jù)平行線和相似三角形的性質，得SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0，即可完成證明．【詳解】（1）作圖如下：四邊形SKIPIF1<0是所求作的四邊形；（2）設直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點S，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0設直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0．∵P，Q分別為SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴點S與SKIPIF1<0重合，即三條直線SKIPIF1<0相交于同一點．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形等基礎知識，解題的關鍵是熟練掌握推理能力、空間觀念、化歸與轉化思想，從而完成求解．【變式1】（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0外一點．（1）求作四邊形SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點分別為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0三點在同一條直線上．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）按要求進行尺規(guī)作圖即可；(2)通過證明角度之間的大小關系，得到SKIPIF1<0，即可說明SKIPIF1<0三點在同一條直線上．【詳解】解：（1）則四邊形SKIPIF1<0就是所求作的四邊形．（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0三點在同一條直線上．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、平行線的判定與性質、相似三角形的性質與判定等基礎知識，考查推理能力、空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉化思想．鞏固訓練、單選題1．（2023春·八年級課時練習）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，延長DC到點F（0＜CF＜4），在線段CB上截取點P，使得CP＝CF，連接BF、DP，再將△DCP沿直線DP折疊得到△DEP．下列結論：①若延長DP，則DP⊥FB；②若連接CE，則SKIPIF1<0；③連接PF，當E、P、F三點共線時，CF＝4SKIPIF1<0﹣4；④連接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，則CF＝4SKIPIF1<0﹣4；其中正確有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】證明△DCP≌△BCF，利用全等三角形的性質與三角形的內角和定理可判斷①，證明DP⊥EC，結合BF⊥DP，可判斷②，當E，P，F(xiàn)共線時，求解∠DPC＝∠DPE＝SKIPIF1<0．在CD上取一點J，使得CJ＝CP，則∠CJP＝∠CPJ＝SKIPIF1<0，DJ＝JP，設CJ＝CP＝x，則DJ＝JP＝SKIPIF1<0x，可得SKIPIF1<0x+x＝4，解方程可判斷③，連接CE，BD．由③可知，當CF＝4SKIPIF1<0﹣4時，∠CDP＝∠EDP＝SKIPIF1<0，證明點E在DB上，EA＝EC，可得∠ECF＞∠EFC，EF＞EC，可判斷④，從而可得答案．【詳解】解：①如圖1中，延長DP交BF于點H．∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCP＝∠BCF＝90°，在△DCP和△BCF中，SKIPIF1<0，∴△DCP≌△BCF（SAS），∴∠CDP＝∠CBF，∵∠CPD＝∠BPH，∴∠DCP＝∠BHP＝90°，∴DP⊥BF，故①正確．②∵C，E關于DP對稱，∴DP⊥EC，∵BF⊥DP，∴SKIPIF1<0，故②正確．③如圖2中，當E，P，F(xiàn)共線時，∠DPC＝∠DPE＝SKIPIF1<0．在CD上取一點J，使得CJ＝CP，則∠CJP＝∠CPJ＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴∠JDP＝∠JPD＝SKIPIF1<0，∴DJ＝JP，設CJ＝CP＝x，則DJ＝JP＝SKIPIF1<0x，∴SKIPIF1<0x+x＝4，∴x＝4SKIPIF1<0﹣4，∴CF＝4SKIPIF1<0﹣4，故③錯誤，④如圖3中，連接CE，BD．由③可知，當CF＝4SKIPIF1<0﹣4時，∠CDP＝∠EDP＝SKIPIF1<0，∴∠CDE＝SKIPIF1<0，∴點E在DB上，∵A，C關于BD對稱，∴EA＝EC，∵∠ECF＞∠EFC，∴EF＞EC，∴EF＞EA，∴此時△AEF不是等腰三角形，故④錯誤．故選：C．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，三角形內角和定理的應用，二次根式的除法運算，軸對稱的性質，熟練的應用以上知識解題是關鍵．2．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，在長方形ABCD中，ADSKIPIF1<0BC，ABSKIPIF1<0CD，E在AD上．AD＝m，AE＝n（m＞n＞0）．將長方形沿著BE折疊，A落在A′處，A'E交BC于點G，再將∠A′ED對折，點D落在直線A′E上的D′處，C落在C′處，折痕EF，F(xiàn)在BC上，若D、F、D′三點共線，則BF＝（）A．m+SKIPIF1<0n B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．m﹣n【答案】D【分析】連接DD′，證明∠EFD是直角，然后證明△BEF和△EFE全等即可得出結論．【詳解】解：如圖，連接DD′，∵D、F、D′三點共線，四邊形EFC′D′是由四邊形EFCD翻折得到，∴△EFD≌△EFD′，∠DEF＝∠D′EF，∴∠EFD＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠AEB＝∠NEB，∴∠BEF＝90°，在△BEF和△DFE中，SKIPIF1<0，∴△BEF≌△DFE（ASA），∴EF＝ED，∵AD＝m，AE＝n，∴EF＝ED＝m﹣n．故選：D．【點睛】本題結合矩形考查了折疊變換，熟知折疊的性質并靈活運用是解題的關鍵，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．3．（2022秋·貴州黔西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的半徑為2SKIPIF1<0，PA，PB，CD分別切⊙O于點A，B，E，CD分別交PA，PB于點C，D，且P，E，O三點共線．若∠P＝60°，則CD的長為（）A．4 B．2SKIPIF1<0 C．3SKIPIF1<0 D．6【答案】A【分析】SKIPIF1<0，先證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，利用勾股定理求出SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】解：連接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0PA，PB，分別切⊙O于點A，B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，如下圖根據(jù)等腰三角形的性質，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：A．【點睛】本題考查了圓的切線，三角形全等、等腰三角形、勾股定理，解題的關鍵是添加適當?shù)妮o助線，掌握切線的性質來求解．4．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉到Rt△A’B’C．當A’、B’、A三點共線時，AA’=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形的性質，可得BC的長，根據(jù)旋轉的性質，可得A′B′的長，B′C的長，∠A′、∠A′B′C，根據(jù)鄰補角的定義，可得∠AB′C的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的判定，可得AB′，根據(jù)線段的和差，可得答案．【詳解】解：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，得∠BAC=30°，BC=3．由旋轉的性質，得A′B′=AB=6，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，AC=A′C．由等腰三角形的性質，得∠CAB′=∠A′=30°．由鄰補角的定義，得∠AB′C=180°-∠A′B′C=120°．由三角形的內角和定理，得∠ACB′=180°-∠AB′C-∠B′AC=30°．∴∠B′AC=∠B′CA=30°，AB′=B′C=BC=3．A′A=A′B′+AB′=6+3=9，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉的性質，利用了旋轉的性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，利用等腰三角形的判定得出AB′=B′C是解題關鍵．5．（2022秋·山東日照·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等邊三角形，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，連結SKIPIF1<0．以下五個結論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0是等邊三角形；⑤SKIPIF1<0．其中正確結論的有（

）個A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質對各結論逐項分析即可判定．【詳解】解：①∵△ABC和△CDE為等邊三角形。∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，則①正確；②∵∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCD=60°∴△DCE是等邊三角形∴∠EDC=60°=∠BCD∴BC//DE∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，②正確；③∵∠DCP=60°=∠ECQ在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠DCP=∠ECQ∴△CDP≌△CEQ（ASA）∴CР=CQ∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴△PC2是等邊三角形，③正確；④∠CPQ=∠CQP=60°∴∠QPC=∠BCA∴PQ//AE，④正確；⑤同④得△ACP≌△BCQ（ASA）∴AP=BQ，⑤正確．故答案為A．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．二、填空題6．（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形SKIPIF1<0中，點E在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點F，過F作SKIPIF1<0且使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0并延長，將SKIPIF1<0繞點C旋轉到SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【分析】解：如圖，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再解直角三角形可得答案．【詳解】解：如圖，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0中點為F，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，∵正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由輔助線可得：四邊形SKIPIF1<0為矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由旋轉可得：SKIPIF1<0，∴設SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查的是正方形的性質，勾股定理的應用，旋轉的性質，矩形的判定與性質，線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質與判定，銳角三角函數(shù)的應用，本題難度很大，計算量大，對學生要求高，細心的計算是解本題的關鍵．7．（2023·全國·九年級專題練習）如圖SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的平分線相交于H，過點H作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于E，交SKIPIF1<0于F，SKIPIF1<0于D，以下四個結論①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③點H到SKIPIF1<0各邊的距離相等；④若B，H，D三點共線時，SKIPIF1<0一定為等腰三角形．其中正確結論的序號為_____．【答案】②③④【分析】①利用三角形的內角和定理和角平分線平分角，進行求解；②證明SKIPIF1<0為等腰三角形，即可得證；③利用角平分線的性質，即可得證；④證明SKIPIF1<0，即可得證．【詳解】解，①∵SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的平分線相交于H，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故①錯誤；②∵SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的平分線相交于H，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故②正確；③過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的平分線相交于H，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴點H到△ABC各邊的距離相等，故③正確；④若B，H，D三點共線時，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0一定為等腰三角形，故④正確．故答案為：②③④；【點睛】本題考查角平分線的性質，等腰三角形的判斷和性質，全等三角形的判定和性質．熟練掌握角平分線平分角，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，是解題的關鍵．8．（2022春·福建龍巖·八年級校聯(lián)考期中）已知矩形ABCD中，AB=8，BC=10，將△ABE沿BE對折，點A的對應點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0C，當E、SKIPIF1<0、C恰好三點共線時，AE的值為____________【答案】4【分析】根據(jù)翻折的性質可得BA=BA′=CD=8，∠AEB=∠A′EB，然后根據(jù)四邊形ABCD是矩形，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：根據(jù)翻折的性質可知：BA=BA′=CD=8，∠AEB=∠A′EB，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB=10，在Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理得：SKIPIF1<0，∴AE=AD-DE=10-6=4，故答案為：4．【點睛】本題考查折疊的性質和矩形的性質，勾股定理，熟練掌握折疊的性質是解決問題的關鍵．9．（2022春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，E點是BD的中點，MN經(jīng)過E點分別與AD、BC相交于點M、N．下列四個結論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③A、C、E三點共線；④若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．其中正確的結論有____．（寫出所有正確結論的序號）【答案】①③④【分析】根據(jù)平行四邊形的性質及全等三角形的判定和性質可判斷①；結合圖形可判斷②；利用平行四邊形的性質及全等三角形的判定和性質，對頂角的性質可判斷③；利用平行四邊形的性質及三角形的面積公式可判斷④．【詳解】解：∵平行四邊形ABCD中，E是BD的中點，∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC，∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE，∴?DME??BNE，∴DM=BN，∴AM=CN，故①正確；由圖可得：BM>AB≠AD=BC，故②錯誤；連接AE、CE，四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵平行四邊形ABCD中，E是BD的中點，∴BE=DE，∴?ADE??CBE，∴AE=CE，∠AED=∠CEB，點A、E、C三點共線，故③正確；如圖所示：過點D、E兩點向BC作垂線分別為Q和P點，∵E是BD的中點，且點E為平行四邊形對角線的交點，∴DQ=2EP，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故④正確；故答案為：①③④．【點睛】題目主要考查平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質等，理解題意綜合運用這些知識點是解題關鍵．10．（2022·福建·模擬預測）在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0都在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，且SKIPIF1<0．現(xiàn)給出以下說法：①若A，O，B三點共線，則SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，則A，O，B三點共線；③線段OA長度的最小值是SKIPIF1<0；④以A，O，B為頂點的三角形不可能是直角三角形．其中正確的是__________．（寫出所有正確說法的序號）【答案】③【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖像性質及兩點間的距離公式逐個分析求解即可．【詳解】解：對于①：直線AO的解析式為SKIPIF1<0，當A，O，B三點共線時，點SKIPIF1<0在直線AO上，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，此時A、B兩點重合，而已知前提是A，O，B三點共線，即A點與B點不重合，故①錯誤；對于②：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而A，O，B三點共線時，由①中可知SKIPIF1<0，∴由SKIPIF1<0推不出A，O，B三點共線，故②錯誤；對于③：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故③正確；對于④：當以SKIPIF1<0為直角三角形的直角頂點時：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴只需要滿足：SKIPIF1<0，此時△ABO必定是以A為直角的直角三角形，故④錯誤；故答案為：③．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像及性質、兩點之間距離公式及完全平方式的變形，熟練掌握圖形的性質，計算過程中細心即可．三、解答題11．（2022秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)試說明SKIPIF1<0與SKIPIF1<0滿足什么等量關系時，點D、點C、點E三點共線．(2)連接SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F點，若點F恰好是線段SKIPIF1<0的中點，求證：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見解析【分析】（1）由題意易證SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由同角的余角可知SKIPIF1<0，由三角形的內角和可得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，即可證明結論；（2）如圖，作輔助線，構建全等三角形，證明SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0，可得結論．【詳解】（1）當SKIPIF1<0時，點D、點C、點E三點共線．理由如下：在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0故當SKIPIF1<0時，點D、點C、點E三點共線；（2）證明：如圖，過A作SKIPIF1<0于M，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，．∵F是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質、三角形的內角和定理，解題的關鍵是靈活運用全等三角形的性質和判定解決問題，屬于中考?？碱}型．12．（2023秋·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0從點SKIPIF1<0出發(fā)，沿SKIPIF1<0以每秒5個單位長度的速度向終點SKIPIF1<0運動，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，將線段SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0逆時針旋轉90°得到線段SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．設點SKIPIF1<0的運動時間為SKIPIF1<0秒SKIPIF1<0．(1)線段SKIPIF1<0的長為__________，線段SKIPIF1<0的長為__________（用含SKIPIF1<0的代數(shù)式表示）；(2)當點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合時，求SKIPIF1<0的值；(3)當SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線時，求SKIPIF1<0的值；(4)當SKIPIF1<0為鈍角三角形時，直接寫出SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)5t；3t(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)路程SKIPIF1<0速度SKIPIF1<0時間即可求出SKIPIF1<0；再由勾股定理求得SKIPIF1<0，然后證SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0，（2）當點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合時，則SKIPIF1<0即可；（3）當SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線時，可得SKIPIF1<0，根據(jù)相似三角形對應邊成比例，即可得出關于SKIPIF1<0的方程；（4）過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，當點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0，當點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0左邊時，SKIPIF1<0都為鈍角，求出點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0的值，當點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上時，SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0外，則SKIPIF1<0為鈍角，再利用相似求出點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時的SKIPIF1<0，從而解決問題．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0