第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1第1頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【引言】自然界中的許多現(xiàn)象，如氣溫的變化、河水的流動(dòng)、動(dòng)植物的生長(zhǎng)等等都是連續(xù)地變化著的；這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性.2第2頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、函數(shù)的連續(xù)性1.【增量】【增量的幾何解釋】3第3頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.【連續(xù)的定義】⑴【概念描述】⑵【定義1】連續(xù)的本質(zhì)4第4頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑶【定義2】【注】f(x)在x0處連續(xù)的三個(gè)條件（三條缺一不可）①②③則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).5第5頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【注解】條件①條件②在本質(zhì)上是一樣的，只是形式上的不同條件①式清楚地反映了連續(xù)概念的實(shí)質(zhì)，即自變量產(chǎn)生微小變化時(shí)，函數(shù)的變化也很微小.但在證明具體函數(shù)的連續(xù)性以及作理論分析時(shí)，常應(yīng)用條件②式（因?yàn)闂l件①要具體計(jì)算△y,往往很麻煩）6第6頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【補(bǔ)例1】【證】由定義2知f(x)在x0的鄰域內(nèi)顯然有定義7第7頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.【單側(cè)連續(xù)】⑴【左連續(xù)】⑵【右連續(xù)】⑶【定理】8第8頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【補(bǔ)例2】【解】右連續(xù)但不左連續(xù)，9第9頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.【連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間】在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.【幾何表現(xiàn)】閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)的集合10第10頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【相關(guān)結(jié)論】①∵§5中已證多項(xiàng)式f(x)有

②在定義域內(nèi)連續(xù).③∵§3例5已證明11第11頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【例3】【證】【相關(guān)結(jié)論】④12第12頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、函數(shù)的間斷點(diǎn)①②③【描述】如果上述三個(gè)條件中只要有一個(gè)不滿足，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處不連續(xù)（或間斷），并稱點(diǎn)x0為f(x)的不連續(xù)點(diǎn)（或間斷點(diǎn)）.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件13第13頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.【間斷點(diǎn)定義】設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義。在此前提下，如果函數(shù)f(x)有下列三種情形之一：①在x=x0沒有定義；②雖在x=x0有定義，但

不存在；③雖在x=x0有定義，且

存在，但則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處不連續(xù)（或間斷），并稱點(diǎn)x0為f(x)的不連續(xù)點(diǎn)（或間斷點(diǎn)）.14第14頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【特別強(qiáng)調(diào)】①連續(xù)點(diǎn)要求在x0的某鄰域內(nèi)有定義；間斷點(diǎn)要求在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義；失去這個(gè)前提，則不能研究點(diǎn)x0的連續(xù)性.［例如］定義域是一些離散的點(diǎn)的集合，在這些點(diǎn)的某去心鄰域f(x)無定義,則這些點(diǎn)既不是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，也不是它的間斷點(diǎn)②連續(xù)點(diǎn)x0與間斷點(diǎn)x0的共性是：均要求在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義（【思考】

為什么？），在這個(gè)前提下才有“f(x)的不連續(xù)點(diǎn)就是它的間斷點(diǎn)”成立.15第15頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月①［跳躍間斷點(diǎn)］【補(bǔ)例4】【解】2.【函數(shù)間斷點(diǎn)的幾種常見類型】(1).【第一類間斷點(diǎn)】(左右極限都存在的點(diǎn)).116第16頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月②［可去間斷點(diǎn)］【補(bǔ)例5】17第17頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【解】【說明】可去間斷點(diǎn)只要改變（原來有定義時(shí)）或者補(bǔ)充（原來無定義時(shí)）間斷點(diǎn)處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)，故稱其為可去間斷點(diǎn).18第18頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).【特點(diǎn)】可去型：左右極限存在且相等.跳躍型：左右極限存在但不相等.19第19頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)【第二類間斷點(diǎn)】【補(bǔ)例6】【解】【特點(diǎn)】

這種情況稱為無窮間斷點(diǎn)20第20頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【例7】【解】這種情況稱為振蕩間斷點(diǎn).【特點(diǎn)】

振蕩而不存在，但均不為∞，稱之.21第21頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.特別地★★課后習(xí)題P65

5（3）反例【注意】不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).22第22頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).★【觀察練習(xí)】立即說出下列間斷點(diǎn)類型:課后習(xí)題P65

5（2）反例23第23頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月又如:無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)24第24頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【補(bǔ)例8】【解】25第25頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【典型補(bǔ)充例題】——備用機(jī)動(dòng)題【補(bǔ)充1】【解】的間斷點(diǎn)為則的間斷點(diǎn)為因?yàn)樗允堑牡谝活愰g斷點(diǎn)（跳躍型）26第26頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【補(bǔ)充2】【解】則是的第一類（可去）間斷點(diǎn).27第27頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月右連續(xù)三、小結(jié)左連續(xù)在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型其它28第28頁(yè)，課件共32頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)o