陜西省榆林市榆陽區(qū)榆林華棟中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題

陜西省榆林市榆陽區(qū)榆林華棟中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上

學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列投影中，是平行投影的是（）

A.路燈下行人的影子B.太陽光下樓房的影子

C.臺燈下書本的影子D.在手電筒照射下紙片的影子

2.畫如圖所示物體的俯視圖，正確的是（）

3.如圖，以點。為位似中心，把看C放大為原圖形的2倍得到刀砂，以下說法中

母試的是（）

4.設(shè)“，6是方程/+%-2023=0的兩個實數(shù)根，則”2+2a+Z?的值為（）

A.2024B.2021C.2023D.2022

5.如圖，有一銳角為30。的直角三角尺（NC=NF=9（RNB=NE=30。），它的內(nèi)外兩

個三角形分別是三角尺的斜邊長相=12cm,其內(nèi)部三角形的最短邊

OF=3cm,則J）EF與-ABC的面積比為（）

A.1:73B.1:2C.1:3D.1:4

6.如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是（）

7.如圖是圓桌正上方的燈泡。發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）的

示意圖.已知桌面的直徑為1.2m,桌面距離地面1m,若燈泡。距離地面3m（桌面的

厚度忽略不計），則地面上陰影部分的面積為（）

O

A.24^-m2B.2^m2C.0.81^m2D.0.36乃0）2

8.如圖，四邊形ABCDCEFG都是正方形,點G在線段8上，B,C,E三點共線,

連接BG,DE,DE交FG于點。，設(shè)=CG=0（a>b）,則下列說法錯誤的是（）

CE

A.公BCG學(xué)人DCEB.BGVDE

廠DGGO>

C.-----=-----D.（a-b）?SAEFo=bB5

GCCEADCO

二、填空題

9.身高相同的小明和小華站在燈光下的不同位置,如果小明離燈較遠(yuǎn)，那么小明的投

影比小華的投影_______.（填長或短）

試卷第2頁，共8頁

10.把一個多邊形的面積擴大為原來的3倍，且與原來的多邊形相似，則其周長擴大為

原來的倍.

11.如圖，ABC與砂位似，點。是它們的位似中心，且與，QE尸的相似比

為1:2,若的面積為8,則ABC的面積為.

12.某種型號的芯片每片的出廠價為400元，經(jīng)科研攻關(guān)實現(xiàn)國產(chǎn)化后，成本下降，進

行兩次降價，若每次降價的百分率都為x,降價后的出廠價為144元、依題意可列方程

為：?

13.如圖，等邊被一平行于BC的矩形所截，A8被截成三等份，若—ABC的面積

為12cm2,圖中陰影部分的面積為cm2.

三、問答題

14.解方程(2x-l『=(l-x『

四、作圖題

15.運動會的領(lǐng)獎臺可以近似的看成如圖所示的立體圖形，請你畫出它的三視圖.

五、計算題

16.如圖，ABCS、ABC，AD,AR分別是NBAC和的角平分線，AC=9,

AC=12,AR=11,求AO的長.

4

六、作圖題

17.如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱(即A3,均與地面垂直)，己知

45=4m,某一時刻AB在太陽光下的影子長BC=2m.

(1)在圖中畫出此時。E在太陽光下的影子EF；

(2)在測量A8的影子長時，同時測量出OE的影長所=3m,計算OE的長.

七、問答題

18.如圖所示，方格紙中每個小正方形的邊長為1,△ABC和△CEF的頂點都在方格紙

的格點上，判斷aABC和△CEF是否相似，并說明理由.

19.一個不透明的袋中裝有分別標(biāo)著漢字“杭”、“州”、“亞”、“運”的四個小球，除標(biāo)注

的漢字不同外，小球無任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球.

(1)從袋中隨機摸出一個小球，球上的漢字剛好是“亞''的概率是」

(2)從袋中隨機摸出一個小球，不放回，再從袋中隨機摸出一個小球，請用畫樹狀圖或列

表法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并求出摸到的兩個球上的漢字恰好能組成“亞運”的概

率.(漢字不分先后順序)

八、證明題

試卷第4頁，共8頁

20.如圖，在：ABC和_DEC中，—=一，NBCE=ZACD.

CACB

(1)求證：AABCsADEC;

⑵若Lsc'DEC=9」6,8C=6,求EC的長.

九、作圖題

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(-3,1),點8的坐標(biāo)為(-1/)，點C的

坐標(biāo)為

⑵請以原點。為位似中心，作一個與.ABC位似的ABC，使得A4G與MC的相

似比為3:1.且點A的對應(yīng)點A位于第二象限，并寫出點C的對應(yīng)點G的坐標(biāo).

十、問答題

22.如圖是一個幾何體的三視圖(單位：cm).

43

主視圖左視圖

俯視圖

(1)這個幾何體的名稱是」

(2)求這個幾何體的所有側(cè)面的面積之和.

H^一、作圖題

23.如圖所示，矩形A'8'C'。和矩形ABC。位似，已知矩形A8C。周長為12,AD=2,

A'。'=4-

D'C'

A'B'

BA

CD

(1)畫出兩個矩形的位似中心P點；

(2)求矩形A'BT'D的面積.

十二、證明題

24.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,8。相交于點QBE垂足為B,交AC于

點E-

⑴求證：OEAB=BE130-

△AB酬周長

⑵若A￡=13,AB=12,求

△BOE的周長?

試卷第6頁，共8頁

十三、應(yīng)用題

25.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，至今仍有借鑒意義.如圖，

身高1.5米的小王晚上在路燈燈柱A”下散步，他想通過測量自己的影長來估計路燈燈

泡的高度，具體做法如下：先從路燈底部A沿力〃方向走20步到M處，發(fā)現(xiàn)自己的影

子端點落在點尸處，作好記號后，從點“沿A"方向走4步恰好到達(dá)點P處，此時他

影子的端點在點Q處，已知A",在同一水平線上，路燈的燈泡。在A”上，

OA1AQ,MN1AQ,BPrAQ，小王的步間距保持一致.

H

NB

AMP

(1)請在圖中畫出燈泡0和影子端點Q的位置；

(2)估計燈泡的高A。，并求出影長尸。的步數(shù).

十四、證明題

26.【問題背景】

如圖，A8C是邊長為6的等邊三角形，點。為8c上一動點，連接49,AZ)的垂直平

分線分別交A8/C于連接。

【嘗試證明】

(1)如圖1,若點D是線段BC上的動點.

求證：①)“MAN”MDN；

小BDCN

②——=——.

BMCD

【拓展升華】

(2)如圖2,若點O是線段C8延長線上的點，當(dāng)用＞=2時，求與二。CN的面

積之比.

A

A

試卷第8頁，共8頁

參考答案:

I.B

【分析】根據(jù)中心投影的光源為燈光，平行投影的光源為陽光，找到是太陽光的光源即可.

【詳解】解：A、路燈下行人的影子為中心投影，故此選項不合題意；

8、太陽光下樓房的影子為平行投影，符合題意；

C、臺燈下書本的影子為中心投影，故此選項不合題意；

。、在手電筒照射下紙片的影子為中心投影，故此選項不合題意.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了中心投影、平行投影的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是理解平行投影的形

成光源為太陽光.

2.B

【分析】根據(jù)俯視圖是從上面看得到的圖形，可得答案.

【詳解】解：從上面看矩形分成兩個矩形，分線是實線，故8正確.

故選:B.

【點睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖，能看到的線用實

線畫.

3.D

【分析】由位似三角形的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】解：「位似屬于相似，

AABCSADEF

A對

由位似可知：OAB^ODE

?1■AB//DE

B對

OAAB\

OD~1)E~2

C對

△ABCSADEF的相似比為1:2

EF=2BC

D錯

故選D

答案第1頁，共15頁

【點睛】本題考查了位似的性質(zhì)，熟記位似的所有性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.D

【分析】本題主要考查一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，先根據(jù)一元二次方程的解的定

義得至"a?=-a+2023,代入/+2〃+b得至U2023+a+b,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到

a+b=-\,然后利用整體代入的方法計算.

【詳解】解：是方程V+x-2023=0的實數(shù)根，

，Y+4-2023=0，

??ci~=—ci+2023,

Aa2+2a+h=-a+2023+2a+b=2023+a+h,

,：a,b是方程f+》-2023=0的兩個實數(shù)根，

/.a+b=-\,

Aa2+2a+b=2023+(-l)=2022,

故選：D.

5.D

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)含30

度角的直角三角形的性質(zhì)，得到叱=2￡>尸=6cm,證明，ACBsDFE,利用相似三角形的

面積比等于相似比的平方，即可得出結(jié)果.掌握相關(guān)判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?"=々=90。,48="=30。，

二DE=2DF=6cm,ACB^DFE,

:.J>EF與A5C的相似比為OE:48=6:12=1:2,

：?、DEF與ABC的面積比為：1:4；

故選D.

6.A

【分析】本題考查了幾何體的三視圖，熟練掌握常見兒何體的三視圖是解題的關(guān)鍵.

【詳解】根據(jù)三視圖得該幾何體是長方體，

故選A.

7.C

【分析】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用.證明-OBQS-OAP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求

出”，根據(jù)圓的面積公式計算，得到答案.

答案第2頁，共15頁

【詳解】解：如圖,

由題意得，QB=gxl.2=0.6(m),OQ=OP-PQ=3-l=2(m),BQ//AP,

，,OBQ^.OAP,

.BQ_OQ即"_2

APOPAP3

解得，AP=0.9(m),

則地面上陰影部分的面積=%x0.92=0.81Hm2),

故選：C.

8.C

【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì).由

四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可得

BC=DC,CG=CE,NBCD=NECG=90°,則可根據(jù)SAS證得A選項的ABCG名公DCE；

然后延長8G交OE于點H,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，求得NCDE+NC?G"=90。，則

可得B選項的不能證明工GCES../)GO,因此不能夠證明C選項，由-GOD與

VFOE相似即可求得D選項.

【詳解】解：???四邊形A8C。和四邊形CEFG是正方形，

BC=DC,CG=CE,NBCD=4ECG=90°,

：.NBCG=NDCE,

在;8CG和△OCE中，

BD=CD

■ZBCG=NDCE,

CG=CE

：.BCG^..DCE(SAS),

故A選項正確；

②延長BG交OE于點H,

答案第3頁，共15頁

?：ZXBCG絲ADCE,

：./CBG=/CDE,

又,:NCBG+ZBGC=90°,

:.ZCDE+ZDGH=90°,

???ZDHG=90°,

:.BH±DE；

：.BGLDE.

故B選項正確；

?/DCHEF,

：.ZGDO=ZOEF9

■:ZGOD=ZFOE9

：?_OGDSOFE,

但無條件證明一GCES」DGO

則二二二^g不一定正確，即C選項不一定正確；

GCCE

?：_OGDS_OFE

.DGGO

^~GC~~CE

2

.=fDG^=fa-b^=(a-b)

,?S”[EF)Ih)h2

??(a-b),SmF。=b-5ADC(9

故D選項是正確；

故選：C.

9.長

【詳解】中心投影的特點是：等高的物體垂直地面放置時，在燈光下，離點光源近的物體它

的影子短，離點光源遠(yuǎn)的物體它的影子長.據(jù)此判斷即可.

答案第4頁，共15頁

解：中心投影的特點是：等高的物體垂直地面放置時，在燈光下，離點光源近的物體它的影

子短，離點光源遠(yuǎn)的物體它的影子長，所以小明的投影比小華的投影長.

綜合考查了中心投影的特點和規(guī)律.中心投影的特點是：①等高的物體垂直地面放置時，在

燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠(yuǎn)的物體它的影子長.②等長的物體平行

于地面放置時，在燈光下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會比

物體本身的長度還短

10.73

【分析】本題主要考查相似多邊形周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，需要

熟練掌握并靈活運用.根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方求出相似比，再根據(jù)相似

多邊形周長的比等于相似比解答.

【詳解】解：根據(jù)題意，把一個多邊形的面積擴大為原來的3倍，且與原來的多邊形相似

???擴大后的多邊形與原來的多邊形的相似比為6：1

它們的周長的比為g：l

周長擴大為原來的6倍.

故答案為：73

11.2

【分析】本題考查位似圖形，相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形一定相似，相似三角形的面

積比等于相似比的平方，進行求解即可.

【詳解】解：：ABC與DEF位似,

：.AABCSADEF,

<?,ABC與」)瓦'的相似比為1:2,

與一。砂的面積比為1:4,

:的面積為8,

???ABC的面積為2；

故答案為：2.

12.400(1-%)2=144

【分析】平均每次降價的百分率為X,則第一次降價后的價格400(1-x)元，第二次降價后的

價格為400(1元.根據(jù)降價后的出廠價為144元，列出方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，列方程為400(1-4=144.

答案第5頁，共15頁

故答案為：400(1-x)2=144.

【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)所設(shè)未知數(shù)，表示出第二次降

價后價格是解決本題的關(guān)鍵.

13.4

【分析】由E//〃3c證明AAE"SAABC,由FG//3C證明AAFGSAABC,而AE=EF=FB,

根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可求得耳1Mqem2,5兇房若cn?,即可求出陰

影部分圖形的面積.

【詳解】解：.EHUBC,

AE=EF=FBt5.眩=12cm2,

-^?L=(—)2=(1)2=1

"SMBCAB39'

：?SMEH=-^MBC=^X12=—cm2,

FG//BC,

:.^AFG^^ABC,

■逼”=(嗎2=(2>=3

5MSCAB39'

,4416,

c=§也改=5*12=丁011-,

2

；.S陰影=SMFC-SMEH=y--=4cm,

???圖中陰影部分的面積為4cm2,

故答案為：4.

【點睛】此題重點考查相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行于

三角形一邊的直線與其它兩邊或兩邊的延長線相交所得的三角形與原三角形形相似證明三

角形相似.

2

14.X|=~>x?—0

【分析】運用直接開方法進行求解即可.

【詳解】解：2%一1=1一x或2工一1=工一1

2

解得：x=-或x=0

答案第6頁，共15頁

2

，原方程的根是玉=耳，x2=0.

【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解題關(guān)鍵.

15.詳見解析

【分析】從正面看所得到的圖形是主視圖，從左面看到的圖形是左視圖，從上面看到的圖形

是俯視圖，據(jù)此作答.

【點睛】此題主要考查了三視圖，關(guān)鍵是把握好三視圖所看的方向，屬于基礎(chǔ)題.

33

16.——

4

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的對角線之比等于相似比，列式計

算即可.

【詳解】???ABCSAAAG，

.ACAD

，而=麗’

VAC=9,AG=12，A2=11,

.9AD

??--=---?

1211

33

解得AO=

4

17.(1)圖見解析

(2)6m

【分析】此題主要考查了平行投影，利用同一時刻物高與影長的比值相等列出比例式求解是

解題關(guān)鍵.

(1)利用平行投影的性質(zhì)得出EF即可；

(2)利用同一時刻物體影子與實際高度的比值相等進而得出答案.

答案第7頁，共15頁

【詳解】（1）如圖所示：E尸即為所求;

D\

AADF

⑵由題意可得：-=-

.4DE

，a2~~

解得：DE=6m,

答:DE的長為6m.

18.AABC和AOE尸相似，理由詳見解析

【分析】首先根據(jù)小正方形的邊長，求出△ABC和ADEF的三邊長，然后判斷它們是否對

應(yīng)成比例即可.

【詳解】△ABC和△DEF相似，理由如下：

由勾股定理，得：AC=#）,AB=2逐，BC=5,

DF=20,DE=4及，EF=2V10,

ACABBCy/\0

~DF~~DE~~EF~~'

所以，△ABC^ADEF.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，找準(zhǔn)對應(yīng)邊成比例即可.

19.（Dy

4

【分析】本題主要考查了概率的定義，公式，以及列表法的表示方法.

（1）直接利用概率公式可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及摸到的兩個球上的漢字恰好能組成“亞運”的結(jié)果

數(shù)，再利用概率公式可得出答案.

【詳解】（1）解：由題意得，從袋中摸出一個球，一共有4種可能，

答案第8頁，共15頁

球上的漢字剛好是“杭'’的概率就是a.

故答案為：--

（2）列表如下:

杭州亞運

杭（杭，州）（杭，亞）（杭，運）

州（州，杭）（州，亞）（州，運）

亞（亞，杭）（亞,州）（亞，運）

運（運，杭）（運，州）（運，亞）

由表格可知，共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中摸到的兩個球上的漢字恰好能組成“亞運”

的結(jié)果有2種，

1

2

二摸到的兩個球上的漢字恰好能組成“亞運”的概率為=近6-

20.（1）見解析

（2）CE=8

【分析】（1）由NBCE=NACD,可得出NQCE=NAC8,結(jié)合44=",可證出

△ABCsADEC；

S^DEC

（2）由△ABCS/YOEC,利用相似三角形的性質(zhì)可得出,結(jié)合

,△ABC

S"C：S°￡C=4:9,可求出EC的長.

【詳解】(1)證明：/BCE=ZACD,

NBCE+ZACE=ZACD^-ZACE,

:"DCE=ZACB,

°CDCE

又zr有，

:心ABCs匕DEC；

(2)解：ABCsDEC,

答案第9頁，共15頁

.s*(c町=9

S&DEC〔CE)16

BC=6,

:.CE=8.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)牢記“兩角對應(yīng)相等的

兩個三角形相似“；(2)牢記“相似三角形面積的比等于相似比的平方”.

21.(1)2.

(2)圖見解析，C,(O,-3).

【分析】本題考查的知識點是利用網(wǎng)格求三角形面積、求位似圖形的對應(yīng)坐標(biāo)、在坐標(biāo)系中

畫位似圖形，解題關(guān)鍵是熟練掌握位似圖形的性質(zhì).

(1)觀察圖像可得以A8為底的ABC的高為2,AB=2,則ABC可由三角形面積計算公式

即可求解；

(2)根據(jù)題目要求，利用位似圖形的性質(zhì)即可找到對應(yīng)的A、用、G位置，在圖中標(biāo)出并連

接AB、BC、AC,即可得到A4G.

【詳解】(1)解：依圖得：以A8為底的ABC的高〃為1—(-1)=2,

AB=(T)-(_3)=2,

：.StABC=^AB-h=-2!S.

故答案為：2.

(2)解：根據(jù)題意可作下圖：

答案第10頁，共15頁

此時點C的對應(yīng)點c,坐標(biāo)為(0,-3).

22.(1)三棱柱

(2)這個幾何體的所有側(cè)面的面積之和為84cm2

【分析】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，熟練掌握基本幾何體的三視圖及其計算是解題

的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三棱柱的三視圖即可得出答案；

(2)根據(jù)側(cè)面積公式進行解答即可.

【詳解】(1)解：由三視圖知該幾何體為三棱柱；

故答案為：三棱柱.

(2)解：該圓柱體的表面積為：(4+3+5)x7=84(cm2).

答：這個幾何體的所有側(cè)面的面積之和為84c/.

23.(1)見解析

(2)32

【分析】(1)根據(jù)位似圖形的定義，找到對應(yīng)點，確定位似中心；

(2)根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，位似圖形是相似圖形，面積比等于位似比的平方求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，點尸即為所求做.

答案第II頁，共15頁

D'C

B'

/

/

CD

(2)???矩形A5CQ周長為12,且4￡>=2,

?"8=4,

又???矩形ABCD與矩形AB,CD,位似，

AD1

???一-,

A!D'2

?*,S矩形ABC。：S矩形AFUZ)，=1:4.

丁S矩形.a)=2x4=8

?§矩形人，*c7）'=32

【點睛】本題考查位似圖形的定義和性質(zhì)，理解位似圖形也是相似圖形是解題的關(guān)鍵.

24.（1）見解析

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)證得N8OE=Z4O8=90。，再由同角的余角相等證得

ZBAO=/EBO,利用有兩個角分別相等的三角形相似判定的30,由相似三角形

的性質(zhì)可得比例式，結(jié)合菱形的邊長相等可得結(jié)論；

（2）利用勾股定理求得￡?的長，然后利用有兩個角分別相等的三角形相似判定

ABEsBOE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)周長比等于相似比即可得解.

【詳解】（1）解：證明：四邊形ABCO是菱形，

/.AC±BDf

.?.NBOE=NAOB=9（）。,

\?BAO?ABO90?,

EB上AB,

:.ZABE=90°9

:.ZEBO+ZABO=90°f

答案第12頁，共15頁

:.NBAO=NEBO,

又ZBOE=ZAOB,

.?.△SE8AAB。，

一BE=一OE,

ABOB

:.OEAB=BEBO；

(2))已知AE=13,AB=12,

由勾股定理得：EB=>JAE2-AB2=>/132-122=5>

ZABE=ZBOE=90°,ZAEB=NBEO,

AABEs△BQE,

./XAB踴］周長_E4_13

一△BOE的周長_詬_《,

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理

等知識點，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

25.(1)答案見詳解；

24

(2)路燈A。的高為9米，影長尸。為彳步.

【分析】此題考查了中心投影作圖、相似三角形的判定與性質(zhì)，

(1)如圖所示，延長PN交路燈燈柱AH于點O,再連接OB并延長交AM延長線于點。即

可；

(2)先證明△PMNs△上40,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可求出A。，同理證QPBQAO,

利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出PQ.

熟練掌握投影的特點與相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：如圖所示，路燈。和影子端點。為所求；

H

答案第13頁，共15頁

(2)解：根據(jù)題意知：AOLAM,40