2023屆高考數(shù)學(xué)試題一輪總復(fù)習(xí)題型練習(xí)第16講　變化率與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算講義

第16講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算

號點1：導(dǎo)數(shù)的運算

/

求切線方程

變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算

考點2：導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切點坐標(biāo)

求參數(shù)的值(范圍)

埠I

走進教材?自主回顧

1.導(dǎo)數(shù)的概念

(1)函數(shù)y=∕U)在X=XO處的導(dǎo)數(shù)

一般地，稱函數(shù)y=√(x)在X=XO處的瞬時變化率Iirn/("°+"治/(沏)=Iim需為函數(shù)y=?r)在X=

Δτ-0WO

一工、公f(XO÷ΔΛ)—f(XO)

rj,πr,?v

Xo處的導(dǎo)數(shù)，記作了(xo)或y?x=XQf即?(?o)=?im??=Hm-----------------------------?

AXiOALO

(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y(x)在點XO處的導(dǎo)數(shù)/(Xo)的幾何意義是在曲線y=∕(x)上點P(X0,和)處的切線的斜率(瞬時速度就

是位移函數(shù)S⑺對時間t的導(dǎo)數(shù)).相應(yīng)地，切線方程為y-y0=f(X0)(X-X0).

(3)函數(shù)大用的導(dǎo)函數(shù)

稱函數(shù)/(X)=IinJ(HAxI.(X)為TX)的導(dǎo)函數(shù).

AXH)

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

fix)=c{c為常數(shù))/(x)=0

-XK"∈Q*)/(x)=n√,1

式X)=SinX/(X)=COS_x

/(x)=COSX/(X)=—sin__x

火X)=爐

f(x)-a'\n_a

m>0且4≠l)

?Λx)=e*/(x)=e?v

T(X)=IogM

∕α)=Ii?

(x>0,α>0且αWl)

Xx)=lnX

∕W=^

(x>0)

3.導(dǎo)數(shù)的運算法則

(l)g)±g(χ)]'=∕(x)±g'(x).

(2)[∕co?gQ)γ=rα)gα)+y(%)gQ)

f(?)^∣f(X)g(X)—f(?)g,(x)

(3)----------「7~%-------?(x)≠O).

Lg(X)J[g(X)]~

1-------------------------------------------

考點探究?題型突破

A考點1導(dǎo)數(shù)的運算

［名師點睛］

-√鼠聚積/屋R展開化劣多項X.的形正再錄導(dǎo)'

導(dǎo)..............................................

數(shù)??J???'

二數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)

HMv----------------------------------------------------

運f［x??晨至后如仁獎而/京爺1嘉…

算：二二二二二二二二二二二二二二二二二二

士根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)罪的形式，再求導(dǎo)

法一;三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形'

I［式再求導(dǎo)

對解析式中含有導(dǎo)數(shù)值的函數(shù)，即解析式類似,/(X)=∕(xo)g(x)+/Z(X)(XO為常數(shù))的函數(shù)，解決這類問題的關(guān)

鍵是明確/(Xo)是常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值為0.因此先求導(dǎo)數(shù)/(X),令X=X0,即可得到/(XO)的值，進而得到函數(shù)解

析式，求得所求導(dǎo)數(shù)值.

［典例］

1.(2022?浙江?高三專題練習(xí))請用函數(shù)求導(dǎo)法則求出下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=esinx;

(3)y=ln(2x+3);

(4)y=(x2+2)(2x-l);

(5)y=cos^2x+?j.

2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)為了'(X),且AX)=2V'(e)+1nx,則/(e)=(???????)

A.--B.-1C.1D.e

[舉一反三]

1.(2021?江蘇省阜寧中學(xué)高三階段練習(xí))下列求導(dǎo)運算不正確的是(???????)

A.(V)=2XB.(SinX)=cosx

02/19

C.(3v)f=3'ln3D.(e*+ln3)=e'+；

2.(2022?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(x),g(x)滿足/(x)+xg(x)=x2T且〃1)=1,則/'⑴+g'。)=

(9999999)

A.1B.2C.3D.4

3.(2022,全國?河源市河源中學(xué)模擬預(yù)測)已知實數(shù)元滿足2/(%)+小(x)=2XCC)S2x+2(COSX+sin%)?,x>0,

同=5,那么/(π)的值為(???????)

A.OB.1C.2D.π

4.(2022?江蘇?高三專題練習(xí))下列求導(dǎo)數(shù)運算正確的有(??????？)

A.(SinX)'=coSXB.(一)'==

XX

C.(log,x),=——D.(Inx)'='

31nxX

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)尸4)；

Xx'

L1

(2)y=(6+1)(五-1)；

(3))≈rtarix；

XX

(4)y=x-sin—cos—；

?22

(5)y^=3?nx+ax(a>0,且α≠l).

A考點2導(dǎo)數(shù)的幾何意義

［名師點睛］

利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的一般過程

已知曲線)，=∕U)過點P(x0,y0),求曲線過點P的切線方程，需分點P是切點和不是切點兩種情況求解:

1.若P(X0,X))是切點，則曲線的切線方程為y—yo=f(Xo)(X-Xo);

2.若P(X°,")不是切點，則分以下幾個步躲：

(1)設(shè)出切點坐標(biāo)P'(XI,?i).

(2)寫出過尸'(xι,y)的切線方程y—yι=/(xι)?(χ-χι).

(3)將點P(X°,比)的坐標(biāo)代入切線方程求出

(4)將?的值代入方程y-y∣=r(xι)(x-xι)得到所求切線方程.

［提示］“在"和“過''的區(qū)別：

(1)“曲線y=√(x)在點尸(X0,加)處的切線”指點P(X0,加)是切點，切線的斜率％=/(必)：

(2)“曲線y=∕(x)過點P(X0,加)的切線”指點P(X0,州)只是切線上一點，不一定是切點.

[≡∣J]

1.(2022?廣東茂名?模擬預(yù)測)曲線"X)=Sim：-2CosX-I在點(如J處的切線方程為.

2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知貝X)=X2,則過點氣—1,0),曲線y=∕(x)的切線方程為

3.(2022?河南?三模)曲線y=V+m(x<0)在點A處的切線方程為y=3x+2機-2,則切點A的坐標(biāo)為

4.(2022?湖南湘潭?三模)已知直線/是曲線y=e*-l與y=inx+l的公共切線，則/的方程為.

［舉一反三］

1.(2022?山東棗莊?三模)曲線y=V+?√+c在點M(LO)處的切線與直線x-y-2=0垂直，貝IJC的值為

(9999999)

A.-1B.OC.1D.2

2.(2022?重慶一中高三階段練習(xí))已知偶函數(shù)“X),當(dāng)x>0時，/(Λ)=X2-Γ(1)X+2,則/(X)的圖象

在點(-2J(-2))處的切線的斜率為(???????)

A.—3B.3C.-5D.5

3.(2022?湖北?宜城市第一中學(xué)高三階段練習(xí))若過點(。力)可以作曲線y=x-L(x>0)的兩條切線，貝IJ

(9999799)

A.b>a>OB.a--<b<O<a

a

C.O<a--<b<aD.a>b>a-?-?6z>0

aa

4.(2022?山東濰坊?二模)已知函數(shù)/(x)=InX-X+/,直線/:y=-gx+In2+2,點P(XOj(Xo))在函數(shù)

y=f(x)圖像上，則以下說法正確的是(???????)

A.若直線/是曲線y="x)的切線，則r=—3

B.若直線/與曲線y=√(χ)無公共點，則f〉-3

C.若r=-2,則點尸到直線/的最短距離為K

D.若r=-2,當(dāng)點P到直線/的距離最短時，?=2

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知直線/：XTy-2=0(f≠0)與函數(shù)/(χ)=Q(X>0)的圖象相切，則切點的

X

橫坐標(biāo)為

A.2±√2B.2+2√2C.2D.l+√2

04/19

6.（2022?福建泉州?模擬預(yù)測）若直線F=MX+1）-1與曲線y=e，相切，直線y=&（x+l）-l與曲線y=lnx

相切，則匕&的值為（???????）

l

A.?B.1C.eD.e

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若兩曲線y=InX-1與y=ɑ/存在公切線，則正實數(shù)。的取值范圍是（???????）

A.（0,2e]B.ge",+001C.^θ,?e3D.[2e,+∞）

8.（多選）（2022?河北保定?二模）若直線y=3x+m是曲線y=V（χ>0）與曲線y=-χ2+nr-6（x>0）的公

切線，則（???????）

A.機=-2B.m=-?C.n=6D.〃=7

9.（2022?重慶三模）曲線y=g+ln（2x+2）+5在點卜;.3）處的切線方程為.

10.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）己如函數(shù)，（》）=爐送。）=111二若曲線丫=/5）在點伍,〃斗））處的切線與

曲線y=∕（χ）在點（??,g（Λ2））處的切線平行，則x+gG）=；若∕Z（X）=2Ag（x）-WD+1,

則〃（X）的最大值為.

11.（2022?河北廊坊?模擬預(yù)測）設(shè)直線y=T?v+8是曲線V=Sinx,Xe（O,乃）的一條切線，則實數(shù)6的值是

12.（2022?全國?高三專題練習(xí)）曲線y=sinx+2x+l在點尸處的切線方程是3x-y+l=O,則切點尸的坐標(biāo)

是.

13.（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)三次函數(shù)/（x）=α√+?√+3+d,若曲線y="χ）在點（（）,（））處

的切線與曲線g（x）=Rr（x）在點（1,2）處的切線重合，則g'（2）=.

14.（2022?廣東?執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知f（x）=e-l（e為自然對數(shù)的底數(shù)）,^x>lnx+1,則F（X）

與g（χ）的公切線條數(shù)為

第16講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算

考點1：導(dǎo)數(shù)的運算

求切線方程

變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算

考點2：導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切點坐標(biāo)

求參數(shù)的值（范圍）

走進教材?自主回顧

1.導(dǎo)數(shù)的概念

(1)函數(shù)y=∕(x)在X=XO處的導(dǎo)數(shù)

一般地，稱函數(shù)y=∕(x)在X=Xo處的瞬時變化率IiiT/(")+A'[.=Iim言為函數(shù)y=∕(x)在X=

ΔΛ-OΔΛ-O

,

M)處的導(dǎo)數(shù)，記作/(xo)或y?x=X()9即/(?o)=Hm言=liπ∕('，卻).

AXfOAx-O

(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)人X)在點&處的導(dǎo)數(shù)/3))的幾何意義是在曲線)，=段)上點P(X°，加)處的切線的斜率(瞬時速度就

是位移函數(shù)s(r)對時間f的導(dǎo)數(shù)).相應(yīng)地，切線方程為y—)b=∕(xo)(χ-xo).

(3)函數(shù)“r)的導(dǎo)函數(shù)

f(^v+Av)—f(X)

稱函數(shù)XX)=]im?Lm,1一乙」一為危)的導(dǎo)函數(shù).

Δχ-*O

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

兀V)=C(C為常數(shù))/(X)=O

於K"∈Q*)f(x)=nx',^'

/(*)=SinX/(x)=COS_X

/(x)=CoSX/(X)=-sin_x

Λx)=at

f(x)=aκ?n_a

(4>0且a#l)

火X)=e'/(x)=e"

./U)=Iogd

/0)—xlna

(x>0,a>0且α≠l)

Λr)=lnx

∕w=^

(QO)

3.導(dǎo)數(shù)的運算法則

(l)[∕U)±g(x)y=F(x)±∕(x).

⑵[∕ω?g(χ)]'=73g(χ)+Aχ)g'(χ).

∣()

c3lΓΓf(ωx)^^J-f^(X^)g(Xig)右—f(x一)g^'^X^^A0)?

考點探究?題型突破/(////////////////////////////

06/19

A考點1導(dǎo)數(shù)的運算

［名師點睛］

j-暹乘晟弦鼠至蔽?有葵后黯承

導(dǎo)..................................

數(shù)al分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，虛化為整式函

的」數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)

Hy—..............................----------------------------

運f：薪菽「京龍薪二獎屆菽藕…

算：二二二二二二二二二二二二二二二二二二

七根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的形式，再求導(dǎo)

法;三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形,

I［式再求導(dǎo)

對解析式中含有導(dǎo)數(shù)值的函數(shù)，即解析式類似,Z(X)=∏xo)g(x)+∕z(X)(XO為常數(shù))的函數(shù)，解決這類問題的關(guān)

鍵是明確/(次)是常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值為0.因此先求導(dǎo)數(shù)/(χ),令X=X0,即可得到/(M)的值，進而得到函數(shù)解

析式，求得所求導(dǎo)數(shù)值.

［典例］

1.(2022?浙江?高三專題練習(xí))請用函數(shù)求導(dǎo)法則求出下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=esinx;

(3)y=ln(2x+3);

(4)y=(x2+2)(2x-l);

(5)y=cos(2x+().

【解】(1)因為V=**,則＞'=6'叱@11可'=**以《工；

(2)因為y=±±3,則y=(x+3)(x+2)-(g工MX+3)=——L_;

x+2-(x+2)2(x+2)2

(3)因為y=ln(2x+3),貝IJy=TlT(2x+3)'；

乙人IJ4人IJ

(4)因為y=(∕+2)(2x-l),pl∣Jy=(χ2+2)(2X-1)+(X2+2)(2X-1)

=2X(2X-1)+2(X2+2)=6X2-2X+4;

(5)因為y=cos(2x+1),故y，=-(2x+?)sin(2x+()=-2sin(2x+?)

2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)為了'(X),且/(x)=2礦(e)+1nx,則/(e)=(???????)

A.--B.-1C.1D.e

【答案】B

【解析】

,

由/(幻=2礦0+1門得廣(%)=2/七)+,，當(dāng)X=e時，Λe)=2∕(e)+1,解得/⑻=-L所以

Xee

f(?)=+InX,f(e)=—+Ine=-I.

ee

故選：B

［舉一反三］

1.(2021?江蘇省阜寧中學(xué)高三階段練習(xí))下列求導(dǎo)運算不正確的是(???????)

A.(χ2)-2xB.(SinX)=COSX

C.(3t),=3Λ1Π3D.(e*+ln3)'=e"+g

【答案】D

【解析】

對于A：(√),=2χ.故選項A正確；

對于B：(SinX)'=cosX，故選項B正確；

對于C：(3，)'=3、In3,故選項C正確；

對于D：(e*+ln3)=(e")+(ln3)'=e*+0=e*,故選項D不正確;

所以求導(dǎo)運算不正確的是選項D,

故選：D.

2.(2022?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)”x),g(x)滿足F(X)+xg(x)=x2-l,且/(1)=1,則/'⑴+g'⑴=

(9999799)

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】取x=l,則有"l)+g(l)=0,即g⑴=一/⑴=T,又因為/(x)+xg(x)=χ2τ,所以

/'(x)+g(x)+xg'(x)=2x,所以r(l)+g(l)+g'⑴=2,所以/'(l)+g'⑴=2—g⑴=2+1=3.

故選：C

3.(2022?全國?河源市河源中學(xué)模擬預(yù)測)已知實數(shù)X滿足2/(x)+W'(x)=2xcos2x+2(cosx+sinx)2,x>0,

08/19

f(0=5,那么/(π)的值為(???????)

A.OB.1C.2D.4

【答案】C

【解析】由2/(x)+xff(?)=2xcos2x+2(cos?+sinx)2兩邊同時乘X可得：

2x∕(x)+x2∕r(x)=2X2COS2X+2xsin2x+2X=[x?/⑺],

X(x2sin2x+x2J=2x2cos2x+2xsin2x+2x，

因止匕d/(Jr)=X2sin2x+f+c.

由/倍)=5,BP—×5=-sinπ+-+c,可得C=TC

⑺444

2

，/(x)=Sin2x+?+l'

2

：?/(π)=si∏2π+-π+1=2.

π

故選：C.

4.(2022?江蘇?高三專題練習(xí))下列求導(dǎo)數(shù)運算正確的有(？?????？)

A.(sinx/=CosxB.(Ly=-V

XX

f

C.(Iog3x)=—!—D.(Inxy=L

3InXX

【答案】AD

【解析】A：(Sin%)'=cosx,故正確；

B：(-γ=~,故錯誤;

Xx~

t

C：(Iog3x)=—?-,故錯誤；

xln3

D：(InXy=L故正確.

X

故選：AD

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=x(/+?!-+[?)；

XX

(2)y=(Vχ+1)(J=-1)；

(3)y=xtaax;

(5)y=3?nx+cιx(a>0f且存1).

1iI2

【解】解：(1)尸(/+—+與)=∕+ι+-?;則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y=3∕-彳.

XXXX

(2)產(chǎn)(√7+i)(￡1)=I-≡y=-?-?

xsιnx

(3)V=Xtaor=--------

COSX

2

p,ljyJxsinx)'cosxγsinx(cos)χ?(sinx+xcosx)cosx÷xsinx

COS-Xcos2X

.2?，.

_sinxcosx+xcos"X+xsιn~x_SI∩XCOSX+Λ:

?-2

COS-XCOSX

?Xj

(4)y=x-，山二Ce)S二=X——sinx↑

222

貝!!v-1-?cosx.

2

3

(5)y'=一+αJdna

?X

?考點2導(dǎo)數(shù)的幾何意義

［名師點睛］

利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的一般過程

已知曲線y=Λx)過點P(Λ?,M)),求曲線過點P的切線方程，需分點P是切點和不是切點兩種情況求解:

1.若P(χo,泗)是切點，則曲線的切線方程為y—泗=/(Xo)(X—煩)；

2.若P(xo,X))不是切點，則分以下幾個步驟：

(1)設(shè)出切點坐標(biāo)P(Xi,yl).

(2)寫出過尸'(xι,yD的切線方程y—yι=/(??)-(?-??).

(3)將點P(X0,比)的坐標(biāo)代入切線方程求出x∣.

(4)將?的值代入方程y-y∣=f(x∣)(x—汨)得到所求切線方程.

［提示］“在"和“過''的區(qū)別：

(1)“曲線y=∕(x)在點尸(X0,死)處的切線”指點P(X0,州)是切點，切線的斜率Z=/'(必)；

(2)“曲線y=∕(x)過點P(X0,加)的切線”指點P(X0,y0)只是切線上一點，不一定是切點.

［典例］

1.(2022?廣東茂名?模擬預(yù)測)曲線〃力=Sinr-2CoSX-1在點6,0)處的切線方程為.

【答案】2x-y-π=0

,

【解析】f(?)=cθsX÷2sinx1

則曲線y="x)在仁可處的切線斜率上=COSl+2sin5=2,

，?切線方程為y=2］1-］),即2x-y-τι=o.

故答案為：2x-y-π=0.

10/19

2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知y(x)=χ2,則過點P(—1,0),曲線y=∕(x)的切線方程為

【答案】y=0或4x+y+4=0

【解析】點尸(一1，0)不在凡r)=x2上，設(shè)切點坐標(biāo)為(H),?2),由Ar)=/可得/(x)=2x,

二切線的斜率A=/(為)=2%.切線方程為y=2ΛU(x+1).

切線過點P(—1,0),.,.k=------=2xo,解得XO=O或X0=-2,

?+l

.?∕=0或一4,故所求切線方程為＞—0或4x+y+4=0.

故答案沏尸0或4x+y+4=0

3.(2022?河南三模)曲線尸丁+〃也＜0)在點4處的切線方程為丫=3了+2.-2,則切點4的坐標(biāo)為

【答案】(-L3)

【解析】由V=3χ2=3,得x=±l,因為x＜0,所以X=-1,

則切點A的橫坐標(biāo)為一I，所以(-iy+m=-3+2m-2,

解得Z?=4,所以A的坐標(biāo)為(-1,3).

故答案為：(-1,3).

4.(2022?湖南湘潭?三模)己知直線/是曲線y=e*-1與y=lnx+l的公共切線，則/的方程為.

【答案】y=eχ-?^,y=χ

【解析】設(shè)/與曲線y=e*-1相切于點P(a,ea-1),與曲線J=hu+l相切于點Q(b,?nb+1),

則e"J=In.;+2,整理得(α一0(e"-l)=0,解得α=l或α=0,

當(dāng)α=l時，/的方程為y=ex-l;當(dāng)α=0時，/的方程為丫=%.

故答案為：y=er-ι或y=χ.

［舉一反三］

1.(2022?山東棗莊?三模)曲線y=V+6/+C在點M(1,0)處的切線與直線X-y-2=0垂直，則C的值為

(999997?)

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

設(shè)/(x)=x3+feχ2+c?,則r(x)=3f+而，直線x-y-2=0的斜率為1,

?f,(??=3+2b=-?f?=-2

由題意可得C,I八，解得<,.

/(l)=?+c+l=0[c=l

故選：C.

2.(2022?重慶一中高三階段練習(xí))已知偶函數(shù)/(x),當(dāng)x>0時，/(X)=X2-Γ(1)X+2,則”X)的圖象

在點(-2,/(-2))處的切線的斜率為(???????)

A.-3B.3C.-5D.5

【答案】A

【解析】當(dāng)x>0時,∕,(x)=2x-∕,(l),Λ∕,(1)=2-∕,(l),解得:∕,(1)=1,

，當(dāng)x>0時，/(x)=x2-x+2；

當(dāng)XCO時，—x>0,.,./(-x)=x2+x+2,

又F(X)為偶函數(shù)，??"(x)=∕(r)=χ2+x+2,即x<0時，/(X)=X2+X+2,

貝IJr(X)=2x+l,.?.∕,(-2)=-4+l=-3.

故選：A.

3.(2022?湖北?宜城市第一中學(xué)高三階段練習(xí))若過點(a,b)可以作曲線y=x-J(x>0)的兩條切線，則

(9999999)

A.b>a>OB.a——<b<O<a

a

C.O<a--<b<aD.a>b>a--^a>0

aa

【答案】D

【解析】作出y=χ-g(χ>o)的圖象，由圖可知，

若過點(“㈤可以作曲線y=X-：(χ>0)的兩條切線，點(。㈤應(yīng)在曲線外，

設(shè)切點為(%,%)(%>0)，所以%=%-^'，y'=l+χ~2,

Xo

Xttb

所以切線斜率為G―工1_y0-b_~^~,

K—1H7——

x0x0-aΛ?-a

整理得(。-3片-2%+α=0,即方程在％>0上有兩個不同的解，

12/19

4-4α(α-b)>0a——<h

a

-

-7Ξ^-Γ>θ<a-b>O,

2(a-b)

a>O

a>0

所以〃>/?>〃-■!■且α>0.

4.(2022?山東濰坊?二模)已知函數(shù)"x)=lnx-x+r,直線/:y=-gx+ln2+2,點P(XOj(XO))在函數(shù)

y=/(X)圖像上，則以下說法正確的是(???????)

A.若直線/是曲線y=∕(x)的切線，貝卜=-3

B.若直線/與曲線y="χ)無公共點，則>-3

C.若f=-2,則點尸到直線/的最短距離為√?

D.若r=-2,當(dāng)點P到直線/的距離最短時，x0=2

【答案】D

【解析】/U)定義域為(0,+?).f'(x)=--l,

若直線/是曲線y=∕(χ)的切線，

則/"(χ)=-；n'_I=_g=X=2,代入y=-Jx+ln2+2得y=l+ln2,

.?.∕(2)=l+ln2nln2-2+f=l+ln2=>f=3,故A錯誤；

當(dāng)/=—2時，當(dāng)在點P處的切線平行于直線/時，P到切線直線/的最短距離,

11

n

-一

則:國2?-1=^^2=2,故D正確;

此時"2)=In2-4,故尸為(2,ln2-4),尸到/：工+2丁-2卜2-4=0的距離為|2+2。112-2二21112刁二26,

故C錯誤;

Ix

tδlnx-x÷Z=--x+ln2+2=>Γ=--lnx÷ln2+2,

☆g(x)=gjnx+ln2+2,則g，(力==土工，

22x2x

當(dāng)x∈(0,2)時,√(x)<O,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)xe(2,4∞),g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增,

'?g(x)min=gQ)=3,又X→O時，g(x)→+8;Xf+8時,g(χ)→+∞,

...若直線/與曲線y=f(x)無公共點，則f<3,故B錯誤.

故選:D.

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知直線/：x-少-2=0(/工0)與函數(shù)/(χ)=?≤(χ>0)的圖象相切，則切點的

X

橫坐標(biāo)為

A.2+√2B.2+2√2C.2D.l+√2

【答案】A

【解析】由(x)=￡(x>0)可得X)=-(：；1),

設(shè)切點坐標(biāo)為(〃?,")(/">0),

in-tn-2=0

m

則｛一e=?,解得"z=2±T∑,故選A.

in

em(///-I)1

、ιn2t

6.(2022?福建泉州?模擬預(yù)測)若直線∕=4(x+l)7與曲線y=e'相切，直線y=&(x+l)-1與曲線y=Inx

相切,則攵見的值為(???????)

A.—B.1C.eD.e2

【答案】B

【解析】設(shè)直線/=勺(x+1)-1與曲線y=e，相切于點(芭,e`),

直線y=A2(χ+l)T與曲線y=lnx相切于點(W,1噸)，

???+1

則匕=爐，且匕=-所以王d=1,

xλ÷1

f1fIn??+1

與=—,且K=—所以A2Inx,=1,

x2x2+1

14/19

令/(x)=xlnx,∕,(x)=l+lnx,

當(dāng)x∈(θ,j時，Γ(x)<O,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xeg,+8)時，∕,(x)>O,/(x)單調(diào)遞增，

且“1)=0,理/(x)=O,所以當(dāng)Xe(0,1)時,/(x)<0,

X|A|

因為f(w)=WlnX2τ,/(e)=x,e=1,即/(x2)=∕(e"i)=l>0,

xi

所以x2∈(l,+8),e∈(l,+∞),

所以々=e*,故%#2=e*—一=1

”2

故選：B

7.(2022?全國?高三專題練習(xí))若兩曲線y=lnx-l與y=or2存在公切線，則正實數(shù)。的取值范圍是(???????)

A.(0,2e]B.Je-,+00)C.^θ,?e'D.[2e,+∞)

【答案】B

【解析】設(shè)公切線與曲線N=Inx-I和廣加的交點分別為a,|呻-1),(x2,axl)l其中占>0,

1??

對于y=lnx-l有了=—,則V=Inx-I上的切線方程為y-(lnx-l)=—(X-M),即y=—+(lnχ-2),

X?ixl

對于y=0χ2有y=2or,則y=o?上的切線方程為y一竭=2c%(χ一X2),即y=2%x-濾，

1C

—=2ax、?1

所以，不^,有一兀∕=∣nX-2,即1lnX[(X]>0),

InX1-2=-ax1

,

令g(x)=2χ2一χ2]riχ,g(χ)=3x-2xlnx=x(3-21nx),

令gq%)=O,得x=￡，

(3λ

當(dāng)x∈0,一時，^x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

\7

/3λ

當(dāng)Xee2,+∞H寸，g<χ)vθ,g(x)單調(diào)遞減，

\/

所以g(x)mtt=g6=#,故0**3,即α≥*3.

故選：B.

8.(多選)(2022?河北保定?二模)若直線y=3x+機是曲線y=d(χ>0)與曲線y=-χ2+nr-6(x>0)的公

切線，則(???????)

A.m=-2B.∕n=-lC.〃=6D.n-1

【答案】AD

【解析】解：設(shè)直線y=3x+，*與曲線y=x3(x>0)相切于點(4,Y),

與曲線y=-X+nr-6(x>0)相切于點(b,3b+〃?)，

時于函數(shù)y=d(x>0),y=3∕,則3∕=3(a>0),

解得”=1，

所以P=3+%,即∕n=-2.

對于函數(shù)y=-χ2+HX-6(x>0),y'=-2x+n,

則-2b+n=3(b>0),

又一b?+nb-6=3b-2,

所以一廿+w3+2/?)—6=3/7—2,

又“0,

所以6=2,M=7.

故選：AD

9.(2022?重慶?三模)曲線y=-+ln(2x+2)+5在點’;,3)處的切線方程為.

【答案】y=-2χ+2

4

［解析］由y=1+∣n(2x+2)+5,y'=~+-^-,則切線的斜率為W*=」=-+2=-2.

XJrX+12

所以曲線y=J+In(2x+2)+5在點(-g,3)處的切線方程為：

y-3=-2卜+g),即y=-2x+2.

因此所求切線的方程為y=-2χ+2.

故答案為：y=-2χ+2.

10.(2022?浙江?高三專題練習(xí))已如函數(shù)/(x)=e',g(X)=Inx.若曲線y=/(x)在點(x,,f(xl))處的切線與

曲線y=∕(x)在點(天遙(七))處的切線平行，則^+g(z)=；若心)=2x-g(x)—當(dāng)4+1,

則〃(x)的最大值為.

16/19

【答案】？??？0????2-2e+ln2

11

【解析】由己知/'(x)=e*,g'(x)=~,所以3x=一,即電=ef,

XX?

所以玉+g(w)=X+Inef=%一百=0.

2x

h(x)=2x-?nx——+1,定義域為(。,+8),

X

?C1e2t(2jv-l)2x2-x-e2x(2x-l)(2x-l)(x-e2")

n(x)