四川2023年大專生專升本數(shù)學(xué)考試及答案 (四)

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）

一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分）

1.復(fù)數(shù)i（l+'）2=（）

A.1+，B.T+iC.-2D.2

i

2.已知全集。=R,集合<={x|-2<x<2},B={x|x-2x<0}>則405=（）

A.（0,2）B.（°，2]C.[°，2]D.[°，2）

3.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，〃x）=2、-3,則/（-2）=（）

A.1B.4c.-1D.；

4.已知平面向量Z=（L-3）/=（4,-2）,若蘇與々垂直，則4=（）

A.-1B.1C.-2D.2

5.若曲線〃x）=x4—x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3X7=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.（L3）B.（T3）C.（1，。）D.（T0）

6.函數(shù)%唾2無(wú)+log，（2x）的值域是（）

A.（一°°，T]B.〔3,+8）Q[-1,3]D.（-8,-1]U[3,+QO）

j_

7.對(duì)總數(shù)為N的一批零件抽取一個(gè)容量為30的樣本，若每個(gè)零件被抽取的概率為7,

則N的值（）

A.120B.200C.150D.100

什…y=/（x）的圖象和卜=5皿》+。的圖象關(guān)于點(diǎn)尸（￡,0）對(duì)稱，則/'（x）

8.右函數(shù)44的表達(dá)式是（)

,4、

cos(x+—)-cos(x-----)-cos(x+—)cos(x--)

A.4B.4C.4D.4

9.設(shè)的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為256,則此二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最小的項(xiàng)

是()

A.第5項(xiàng)B.第4、5兩項(xiàng)C.第5、6兩項(xiàng)D.第4、6兩項(xiàng)

X2______

10.設(shè)Fl,F2是雙曲線彳一y2=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且尸片?°耳=0,

則|所|?|麗|的值等于()

A.2B.2四C.4D.8

ll.f(x)=(l+2x)m+(l+3x)n(m,n￡N*)的展開(kāi)式中x的系數(shù)為13,則x2的系數(shù)為()

A.31B.40C.31或40D.71或80

12.從裝有4粒大小、形狀相同，顏色不同的玻璃球的瓶中，隨意一次倒出若干粒玻

璃球(至少一粒)，則倒出奇數(shù)粒玻璃球的概率比倒出偶數(shù)粒玻璃球的概率()

A.小B.大C.相等D.大小不能確定

二、填空題(共4小題，每小題5分；共計(jì)20分)

1、已知A(l,1)、B(3,2)、C(5,3),若布=/百，貝IJ人為.

二J

2、雙曲線2516的兩條漸近線方程為.

3.曲線y=3(x2+x)e'在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

4.記，為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若d=4,則S5=.

三、大題：(滿分70分)

Assin/，

1、在AABC中，已知°=4,C=5,人為鈍角，且5,求A、

2、判斷函數(shù)/(》)=-2》+3在(-00,+00)上是減函數(shù).

3、已知函數(shù)f(x：)=x2—2x+2.求f(x)在區(qū)間g,3］上的最大值和最小值。

4、已知橢圓。的中心為直角坐標(biāo)系x。歹的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)到兩個(gè)

焦點(diǎn)的距離分別是7和1

（I）求橢圓。的方程

（II）若尸為橢圓。的動(dòng)點(diǎn)，〃為過(guò)尸且垂直于X軸的直線上的點(diǎn)，\OM\

（e為橢圓C的離心率），求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。

5.已知函數(shù)式x）=lnx+2x+f（a￡R）.

（I）討論g（X）的單調(diào)性；

（II）當(dāng)°<a<3時(shí)，函數(shù)fG）rg（xA（"f+2）x2r在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，

m、1-hn

記作xl,x2,且xlVx2,若mel,證明：X1x2^e.

（x=-2+tcosCI.

6.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線1傾斜角為a,其參數(shù)方程為i尸tsina（t為參數(shù)）,

在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中（取相同的長(zhǎng)度單位），曲線

C的極坐標(biāo)方程為P-4cos9=0.

（D若直線1與曲線C有公共點(diǎn)，求直線1傾斜角a的取值范圍；

（II）設(shè)M（x,y）為曲線C上任意一點(diǎn)，求x+佝的取值范圍.

參考答案：

一、選擇題:

1-5題答案:CDCBC

6-10題答案:DABDA

11-12題答案:CB

二、填空題：

1

1.2

5

一x

2、4

3.y=3x

121

4.7

三、大題：

cossin2/4~~

1、【解】A為鈍角，cosZ<0,由余弦定理/=〃+。2-2bccos/,

可得”而.

2、解?/(X)=-2x+3,XG(-00,4-00)

x

任取玉<工2,且%1、2e(-oo,+oo),有3-X)>0/(Xj)-/(x2)=(-2xl+3)-(-2x24-3)=2(x2-xj>0

/(X1)>/(工2),即在區(qū)間(-8,+00)內(nèi)/(x)是減函數(shù)

3、解：Vf(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,xe[1,3],

的最小值是f(l)=l,又fg)=jf(3)=5,

所以，f(x)的最大值是f(3)=5,

即f(x)在區(qū)間”，3]上的最大值是5,最小值是1.

4懈：

(I)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及分別為a,c,由已知得

[a+c=7解得2=%=3,

--1---=1.

所以橢圓C的方程為167

（II）設(shè)M（x,y）,P（x/）,其中*+4,4].由已知得

22

X+乂=e2.

2

x+y2

而故16，+"）=9,+/）.①

2112-7x2

由點(diǎn)P在橢圓C上得乂=16，

代入①式并化簡(jiǎn)得9產(chǎn)=U2,

y=i---（—4?xW4）,_

所以點(diǎn)M的軌跡方程為’3軌跡是兩條平行于x軸的線段

5.已知函數(shù)式x）=Inx+2x嚀（a￡R）.

（I）討論g（x）的單調(diào)性；

（II）當(dāng)°<a<十時(shí)，函數(shù)NX”,晨、）一仔+2八2-、在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),

1-Hn

記作xl,x2,且xl〈x2,若m21,證明：xix2^e.

9

z/\1,a2x+x-a

g（x；=—n+27=----5---

【解答】解：⑴xX2X2（a￡R）,

方程2x2+x-a=0的判別式△=l+8a,

①當(dāng)a%3時(shí)，△wo,g'（X）2o,g（X）在（0,+8）為增函數(shù)，

）、1_T71+8a「]+4]+8a

②當(dāng)a/時(shí)，△>（）,方程2x2+x-a=0的兩根為X11=4'、2-4,

1A

當(dāng)8a時(shí)，xl〈x2W0,g（X）在（0,+°°）為增函數(shù)，

當(dāng)a>0時(shí)，xl<0<x2,g（x）在（x2,+<=°）為增函數(shù)，在（0,x2]為減函數(shù)，

綜上所述：當(dāng)aWO時(shí)，g(x)的增區(qū)間為(0,+8),無(wú)減區(qū)間,

當(dāng)a>0時(shí)，g(x)的增區(qū)間為(x2,+8),減區(qū)間(0,x2],

a

(II)證明：f(x)=xlnx-2x2-x+a,

所以f(x)=lnx-ax

因?yàn)閒(x)有兩極值點(diǎn)xl,x2,

所以Inx1=ax1,Inx2=ax2,

欲證xl，x2>eI"等價(jià)于要證：ln(xi>lne%

即1+m<Inx1+mlnx2,

所以l+m<lnxl+mlnx2=axl+max2=a(xl+mx2)，

因?yàn)閙2L0<xl<x2,

口:1+m

所以原式等價(jià)于要證明：aX1+102.

又Inx1=ax1,Inx2=ax2，

xi

作差得如、2=a(xl-x2),

IXl

In—

X2

所以a=x「X2

1+m<a+m)(x「X2)

—

X]x

所以原式等價(jià)于要證明:一叼1+mx2x2xj+inx2

—1nY(1+m)(tT)

令t=X2,(0,1),上式等價(jià)于要證：t+m,te(o,1),

(t-1)

令h(t)=lnt

t+m

所建⑴

當(dāng)m21時(shí)，h'(t)>0,

所以h(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，

因此h(t)<h(1)=0,

所以一而—在y(0,1)上恒成立，所以原不等式成立.

fx=-2+tcosO.

6.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線1傾斜角為a,其參數(shù)方程為i尸tsina(t為參數(shù)),

在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中(取相同的長(zhǎng)度單位)，曲線

C的極坐標(biāo)方程為P-4cos9=0.

(D若直線1與曲線C有公共點(diǎn)，求直線1傾斜角a的取值范圍；

(II)設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn)，求x+近y的取值范圍.

【解答】解：(I)曲線C的極坐標(biāo)方程為P-4cos0=0.轉(zhuǎn)化為：x2+y2-4x=0,

整理得：(x-2)2+y2=4

曲線C是圓心為C(2,0),半徑為