新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊 練習(xí) 10 空間向量與垂直關(guān)系

10空間向量與垂直關(guān)系

目錄

☆【題型一】空間向量與線線垂直..................................................................?

☆【題型二】利用基向量法證明線線垂直............................................................2

☆【題型三】利用坐標法證明線線垂直..............................................................3

☆【題型四】空間向量與線面垂直..................................................................6

☆【題型五】利用直線的方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直證明線面垂直...................7

☆【題型六】利用直線的方向向量與平面的法向量平行證明線面垂直...................................10

☆【題型七】空間向量與面面垂直.................................................................14

☆【題型八】利用兩平面的法向量垂直證明面面垂直.................................................14

☆【題型九】將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進而轉(zhuǎn)化為線線垂直證明面面垂直.........................17

☆【題型一】空間向量與線線垂直

【例題】若直線人的方向向量為m=(1,3,2),直線/2上有兩點N(l,0,l),8(2,-1,2),則兩直線的位置關(guān)系

是.

【答案】/11/2

【詳解】在=(1,-1,1),“「港=1X1-3X1+2X1=O,因此/」日

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)∕∣的一個方向向量為α=(l,3,-2),/2的一個方向向量為力=(-4,3,m),若人上心，則加等于()

A.1B.-e?D.3

22

【答案】B

【詳解】因為∕I~L∕2,所以"仍=0,即1X(—4)+3X3+(—2)X"z=0,

所以2〃?=9—4=5,即m=~.

2

2.如圖，以1.平面/8CO,四邊形力8C。為正方形，E為CO的中點，尸是4。上一點，當8凡LPE時，—

FD

等于()

【答案】B

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方形/88的邊長為1,PA=a,則8(1,0,0),?G*?,0),

?''一").因為B尸,尸E,

設(shè)尸（O,y,O）,則成=（一1,%O）,PE=

0,2,°）是ND的中點,

即源病=(-1區(qū)+尸0,解得y=t即F=1.

☆【題型二】利用基向量法證明線線垂直

【例題】證明：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也

和這條斜線垂直.(三垂線定理)

已知I：如圖，05是平面ɑ的斜線，。為斜足，ABla,4為垂足，CDUa,且C

求證：CDLOB.

【分析】要證CZ)J_O3,只要證無J_礪，即證而.9=0.

【詳解】證明因為CD_LQ4,所以麗.刀=0，

因為Cz)Ua,所以Z3_LCZ),CD-Afi=O.

又方+質(zhì)=礪，所以無?麗=麗?(8+萬)=麗赤+而萬=0,

故CZ)Lo8.

【總結(jié)】利用向量方法證明線線垂直的方法

(1)坐標法：建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，求出兩直線方向向量的坐標，然后通過數(shù)量積

的坐標運算法則證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.

(2)基向量法：利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算及其運算律，結(jié)合圖形，將兩直線所在的向量用

基向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向

量互相垂直.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在四棱錐P-/8C。中，.平面/88,四邊形/88是矩形，H=/8=1,點尸是PB的中點,

點E在邊BC上移動.求證：無論點E在邊8C上的何處，都有PELNF.

【詳解】證明?；點E在邊BC上，.?.可設(shè)陵=2比，

―?―?―?—?—?1->—>1-A-?—?—?-?

于是PEZ/=(以+48+附?j(4P+∕8)=j(H+∕8+zl8C)?(Z8+4P)

■-?―?—?—?―?—?—?—?―?―?—?-?

=^PAAB+PA?AP+ABAB+AB?AP+λBOAB+λBC?AP)

=∣×(O-l+l+O+O+O)=O,

因此成J_萬

故無論點E在邊8C上的何處，都有PELNF.

2.如圖，在直三棱柱Z8C-48∣C∣中，ZACB=90°,ZBAC^30o,BC=l,AAi=a,M是棱CG的中

點，求證：A?BA.AM.

【詳解】證明A^B=AB-AA?,AM^AC+~AA?,

2

,,——*-—?-?—?1—?—?——?—?1—?—*■

t^A?B'AM=AB'AC-?--AB-AA?-ACAA?—AA?AA?.

22

因為48_L/4MCj_4小,

所以就?筋尸0,ACAAi=O9

故施?俞=2X3XCOS30O-』X#X#=0,所以∕∣8,∕Λ∕.

2

☆【題型三】利用坐標法證明線線垂直

【例題】如圖，在四棱錐尸一/88中，Rɑ平面/8C。，四邊形N8C。是矩形，PA=4B=1,點F是PB

的中點，點E在邊BC上移動.求證：無論點E在邊8C上的何處，都有PE，/反

'B

'E

D匕

【詳解】證明以/為原點，以“O,AB,/尸所在直線分別為X軸，y軸,Z軸建立空間直角坐標系,

設(shè)Zo=。，則/(0,0,0),尸(0,0,1),5(0,1,0),CQl,0),于是/°’5'3

在BC上，二設(shè)E(m,1,0),

C.PE^nΛ,-1),萬=9'?3

.,.PEAF=0,C.PELAF.

：.無論點E在邊BC上何處，總有PELAF.

【變式訓(xùn)練】

1.在正方體/8Cz)-48∣GO∣中，E為/C的中點，求證:

G

A1

A

⑴g_L/C；

(2)BDJEBι.

【詳解】證明以。為原點，DA,DC,。。所在直線分別為X軸、y軸、Z軸，建立的空間直角坐標系.

°),5.(1,1,.),

設(shè)正方體的棱長為1,則3(1,1,0),Dl(0,0,1),√l(l,0,0).C(0,1,0),Γ

(1)?.?苑=(一1,-1,1),就=(-1,1,0),

ΛβθJ?iC=(-l)×(-l)+(-l)×1+1×0=0.

J.^BD?^AC,.,.BD↑±AC.

(2)L=(—1,-1,1),防=(?2'?],

二旃.防=(_i)x，+(_i)xL+ixi=o,

C.~BD?VEB?,C.BD?LEB?.

2.已知在棱長為a的正方體OABC-OiAiB↑C↑中，E,尸分別是AB,BC上的動點，且AE=BF,求證：//JLCIE

【詳解】證明以。為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4(α,0,a),Ci(0,a,a).

設(shè)ZE=BF=x,貝IJ

E(a,x,0),F(a-x,a,0).

.".√4∣F=(-x,a,一a),C?E-{a,x—a,一a).

?"A?F?CιE=(-x,a,—”>(α,X—4,—〃)=—αx+αx-02+α2=0,

：.AtFlC^E,即小F_LCiE

3.如圖，在正方體AS。-4S∣GR中，CA和。G相交于點。，求證：AOLAxB.

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明兩直線垂直;

【詳解】證明：如圖建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2,

則Z(2,0,0)、O((U,1)、4(2,0,2)、8(2,2,0),所以Ne=(-2,1,1),還=(0,2,-2),

所以瓦?福=-2x0+lx2+lx(-2)=0,所以而J_福，即NOJ>48

☆【題型四】空間向量與線面垂直

【例題】在4/8C中，A(?,-2,-1),8(0,-3,1),C(2,一2,1).若向量“與平面/8C垂直，且∣"∣=?5I,

則n的坐標為.

【答案】(-2,4,1)或(2,-4,-1)

【詳解】根據(jù)題意，得/8=(—1,—1,2),4C=(l,0,2).設(shè)a=。，y,z),

,Jn與平面N8C垂直，

T

n-AB=0,-χ-y+2z-0,

即可得

"?∕C=0,X+2z=0,

I=3I,.".?∣x2-?-y2^?-z2—y∣2Λ,

解得y=4或y=-4.

當y=4時，x——2,z—1；當N=-4時，x—2,z--l.

的坐標為(一2,4,1)或(2,—4,—1).

【變式訓(xùn)練】

=Q'"'-1J(Λ∈R),若/_La,則實數(shù)%的值

1.己知直線/的方向向量為e=(—1,1,2),平面a的法向量為〃

為

【答案】苫

【詳解】因為/La,所以e與〃平行,

則存在實數(shù)m使得e=mn,

即(—1,1,2)=〃?GLJ,

_m

~}1~2'G__l

『2)

可得所以

1=λm

9"7=-2.

2=-m,

2.若直線/的一個方向向量為a=(l,0,2),平面a的一個法向量為"=(—2,0,-4),則()

A.l∕/aB.l.La

C.∕?。D./與α斜交

【答案】B

【詳解】V∕ι=(-2,O,-4)=-2(1,0,2)=-2α,.?n∕∕a,Λ∕±α.

3.已知"=(α+6,a-b,2)是直線/的一個方向向量，"=(2,3,1)是平面ɑ的一個法向量，若/_La,則α,

b的值分別為.

【答案】5)-1

【詳解】''lLa,'.u∕∕n,,"'I~-=-,.?a=5,b=~?.

231

☆【題型五】利用直線的方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直證明線面垂直

【例題】證明：如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面.（直線與平面

垂直的判定定理）

已知：如圖，ι∏ζ∑a,"uα,men=B,llm,IVn.求證：/J_a.

【分析】根據(jù)定義，要證明直線與平面垂直，只要證明該直線垂直于平面內(nèi)任意一條直線.由于機，〃

是平面ɑ內(nèi)兩條相交直線，所以平面內(nèi)任意一個向量都可以用直線〃?，〃上的非零向量線性表示.向量的垂

直關(guān)系可以通過它們的數(shù)量積為0來推得.

【詳解】證明如圖，在α內(nèi)任意作一條直線g,在直線/,加，n,g上分別取非零向量7，m>n>g.

因為直線與〃相交，所以向量〃不共線.

由共面向量定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（XJ）,使得￡=x而+y5,

所以/?g=∕?（χ加）=χ∕?加+M?〃.

因為7?n>所以7.加=0,7.n=0.可得∕?g=0,即/j_g.

因為/垂直于ɑ內(nèi)的任意一條直線，所以7_La.

【例題】在正方體∕88-44G2中，已知E,尸分別為6g,CA的中點，求證：。尸，平面NOE.

【分析】要證明0∣∕7?L平面/OE,只要證明口廠垂直于平面E內(nèi)兩條相交直線.為此，可以建立

適當?shù)目臻g直角坐標系，通過向量的坐標運算，根據(jù)數(shù)量積是否等于0來判斷垂直關(guān)系.

【詳解】證明不妨設(shè)正方體的棱長為1,以｛刀,反,萬瓦｝為單位正交基底,

建立如圖所示的空間直角坐標系。一肛Z,

則E=(1,0,0),西=(0,0,1),而=(0,；,0),瓦=[1,1,3

因為——。尸?二—Q尸_——?！?(0,5I,0)_(0z,0,1)x=(0,I5，—1),

所以而.即=lx0+0xg+0x(-I)=0,可得*J"次.

因為荏=萬一次

---------Ilzx———

所以力E?AF=0X0+1XQ+∕X(-1)=0,可得DFl4E.

又因為ZDcZE=Z,所以。R_L平面工力E.

【總結(jié)】用向量法證明線面垂直的方法

(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直.

(2)證明直線的方向向量與平面的法向量平行.

【變式訓(xùn)練】

I.如圖所示，正三棱柱/8C-4囪G的所有棱長都為2,。為CG的中點.

求證:48i_L平面小8D

【詳解】證明如圖所示，取BC的中點。，連接力。，因為4/8C為正三角形,

Z

所以40_L8C.

因為在正三棱柱Z8C-48∣G中，平面/8C_L平面BCel以，所以《OJ_平面8CC∣S.

取3G的中點0∣,以O(shè)為坐標原點，

以勵,而，S分別為X軸、y軸、Z軸的正方向建立空間直角坐標系,

則8(1,0,0),Z)(-l,l,0),4(0,2,√3),4(0,0,√3),3(1,2,0).

所以麗=(1,2,-√3),而=(-1,2,√3),礪=(-2,1,0).

因為相?麗=1X(-1)+2X2+(一√5)X3=0.

∑β↑βZ)=l×(-2)+2×l+(-√3)×0=0.

所以石_L而，Λβ^±BD,BPASι±βΛt,ABi±BD,

又因為84CBO=B,所以“8」平面48D

2.如圖所示，在正方體∕8CO-48GD∣中，E,尸分別是B8∣,AS的中點.求證：EF_L平面BMc

【詳解】證明建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)正方體的棱長為2“,

則A(2a,0,0),C(0,2a,0),B?(2a,2a92a),E(2a92a,a),F(a,a,2a).

；?EF=(Cι,a,2α)-(2α,2a,a)=(~a9—α,α),

AB↑=(2a,2a,2a)-(2a90,0)=(0,2α,20),

AC=(0,2α,0)-(2α,0,0)=(-2α,2a90).

^EFAB↑=(-a,-α,α)?(0,2α,2a)=(-a)×0+(-α)×2α+a×2a=0,

EF-AC-(一a,一a,α)?(—la,la,0)=2a2—2/+0=0,

：.EFLAB\,EFLAC.

又/S∩ZC=/,AB?,/Cu平面BMC,

.?.EF"L平面B?AC.

3.如圖，已知正方形/88和矩形/CEF所在的平面互相垂直，AB=?∣2,4F=1,M是線段EF的中點.

(1)求證：4M〃平面BDE；

(2)求證：平面BDF.。1

【詳解】證明(1)以C為坐標原點，CDC8,CE所在直線為Xj,z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)4CCBD=N,連接NE,則知點[5'T>E(0,0,1).

J也_也]-

所以/M=l2,2"J.所以N￡=4W.而NE與NM不共線，所以NE〃4W.

又因為NEU平面BDE,ZM。平面BDE,所以力〃〃平面BDE.

?l

(2)由(1)知/M=I2'2"

因為。點坐標為(啦，0,0),尸點坐標為(市，√2,1),所以力>=(0,√LD-

所以病歷=×Λ^+1×1=0,所以4W_LOE

同理可證

又因為。FnBF=F,DEBFU平面BDF,所以AML平面BDF.

☆【題型六】利用直線的方向向量與平面的法向量平行證明線面垂直

【例題】如圖所示，正三棱柱/8C—48IG的所有棱長都為2,。為CG的中點.

求證:48i_L平面/18D

【詳解】證明如圖所示，取BC的中點0,連接/0,因為aZBC為正三角形,

所以/OLBC

因為在正三棱柱N8C—∕∣8C∣中，平面N8C_L平面8CG8∣,所以4。，平面8CC∣8ι.

取SG的中點。，以。為坐標原點，

—?”一■—，mA

以。8,OO∣,04分別為X軸、y軸、Z軸的正方向建立空間直角坐標系,

則8(1,0,0),D(-l,l,0),小(0,2,√3),/(0,0,√3),囪(1,2,0).

所以麗=(1,2,-√3),就=(—1,2,√3),礪=(-2,1,0).

設(shè)平面小8。的法向量為〃=(x,y,z),

n?BAI,n-BA∣=—x+2y+λ∕5z=O,

貝--BP'-

nA-BD,?∕ιBb=-2x+y=0,

令x=l得平面48。的一個法向量為〃=(1,2,-√3),

又［81=(1,2,—Λ∕5),所以“=力囪，即/81〃”.

所以N8i_L平面A?BD.

【變式訓(xùn)練】

o

1.如圖，在平行六面體/8。M囚GOi中，AB=AD=AAl=1,ZA1AB=ZA1AD=ZBAD=60,求證：直

線小C，平面8DDι8∣.

【詳解】證明設(shè)法=α,I2>=b,刀ι=c,貝∣J{α,b,c}為空間的一個基底,

且4C=?+〃-c,BD=h-a,BB?=c.

因為N8=NZ)=∕∕ι=1,AA?AB-ZA}AD-NBAD=60。,所以a2-b2-c2-l,ab=bc-ca=^.

在平面8。。向上，取彷，樂I為基向量，

則對于平面上任意一點P,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(九")，使得而=%筋+"赤I.

所以，Zb痂=∕U7?訪+"Zt?礪ι="α+6-c)?3-α)+4(α+5-c?)?c=0.

所以永是平面3。。山ι的法向量.

所以小C_L平面BDDB.

2.如圖，在三棱錐P-N8C中，AB=AC,。為BC的中點，Poj_平面N8C,垂足。落在線段ZO上.已

知8C=8,PO=4,AO=3,OD=2.

(1)證明:APLBC-,

(2)若點M是線段4P上一點，且ZM=3,試證明，平面8MC.

【詳解】證明(1)由題意知ZO?LBC,如圖，以O(shè)為坐標原點，

以過。點且平行于BC的直線為X軸，OD,。尸所在直線分別為y軸，Z軸建立空間直角坐標系。一中z.

則4(0,—3,0),5(4,2,0),C(-4,2,θ).P(OQM).于是開=(0,3,4),病=(—8,0,0),

：.AP-BC(0,3,4)-(-8,0,0)=0,

ΛAPIBC,EPAPlBC.

(2)：M是N尸上一點，且ZΛ∕=3,：.AM=-AP,.?.√i?=(0'ΓWl

.?.∕°‘^?9,施=H-p5,詼=&9,

設(shè)平面BVC的法向量為”=(α,b,c),

n-BM=O,(°?,D,≡=∣∕l,

則._令6=1,則”=

nCM=O,

.?AM∕∕n,...NA/,平面8Λ∕C.

3.如圖，已知正方形/8C。和矩形NCE尸所在的平面互相垂直，AB=0AF=I,〃是線段E尸的中點.求

證：NM，平面8AF.

【詳解】證明以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

他也1]

則z(∕,√i,O),B(0,&O),O(√2,0,0),F(√2,√2,1),以2'2*J

?),5>=(0,√2,1),訪=M，-√2,0).

設(shè)"=(x,y,Z)是平面8。尸的法向量,

nBD='∣2χ-'∣2y=0,

???F=y,

則""L筋，"，而，所以

即!?=-y∣2y,

∕rDF-y∣2y+z-0,

取V=1,得x=l,z--y∕2.∣jl∣]n-(l,l,一S).

因為布=1一巧，^r?)

所以"=一/命，得〃與初共線.

所以/ML平面BDF.

4.如圖，四棱錐尸一/8。的底面ZBC。是邊長為1的正方形，P￡>_L底面/88,且PZ)=1,若E,F，分

別為P8,/D的中點，則直線E尸與平面尸8C的位置關(guān)系是

【答案】垂直

【詳解】以。為原點，DA,DC,。尸所在直線分別為X軸、V軸、Z軸建立空間直角坐標系,

則M?3E°'°],

,,

.?.jεF=(0~2-3平面尸8C的一個法向量”=(0,1,1).

"∕EF=--n,：.EF//n,...E尸_1_平面尸8C.

2

☆【題型七】空間向量與面面垂直

【例題】1.若平面α,夕的法向量分別為。=(2,-1,0),6=(—1,-2,0),貝IJa與4的位置關(guān)系是()

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.無法確定

【答案】B

【詳解】僅6=—2+2+0=0,：.alb,Λα±A

【變式訓(xùn)練】

1.兩平面α,￡的法向量分別為"1=(3,—1,z),"2=(—2,—y,1),若a_L夕，則y+z的值是()

A.-3B.6C.-6D.-12

【答案】B

【詳解】Vni-(3,—1,z),"2=(—2,—y,D分別為α,S的法向量且a_L￡,.?."ιl,"2,即"「"2=0,

/.-6+y+z=0,Λy+z=6.

2.已知平面ɑ的法向量為α=(l,2,-2),平面夕的法向量為6=(—2,-4,k),若aL仇則《等于()

A.4B.-4C.5D.-5

【答案】D

【詳解】Vα±A：.a±b,.?ab=-2S-2k=0.：.k=~5.

☆【題型八】利用兩平面的法向量垂直證明面面垂直

【例題】在四棱錐S-NBS中，底面488是正方形，AS1^ABCD,?AS=AB,E是SC的中點.求

證：平面8。EJ_平面ABCD.

【詳解】證明設(shè)ZS=Z8=1,建立如圖所示的空間直角坐標系，

則8(1,O,O),￡>(O,1,O),A[0,O,O),C(l,1,0),5(0,0,1),￡?3

連接4C,交BD干點、O,連接OE,則點。的坐標為E'

易知行=(0,0,1),δ?=(°,0,3

設(shè)平面8。￡的一個法向量為"ι=(x,"z).

易知訪=(一1,1,0),^=(^2'P3

'-χ-?-y-0,

“1A.BD,mBD=Q,

一則即1,1,1?

---XH--VH--z=0.

n?LBE,n?BE-0,.222

令X=1,可得平面8。￡的一個法向量為"∣=(1,1,0).

：NS_L平面ABCD,

平面N8C。的一個法向量為"2=為=(0,0,1).

Vm?2=0,平面8。E，平面ZBCD

【總結(jié)】利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑:

一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進而轉(zhuǎn)化為線線垂直；

二是直接求解兩個平面的法向量，證明兩個法向量垂直，從而得到兩個平面垂直.

【變式訓(xùn)練】

1.在三棱柱∕8C-48∣G中，44iJ_平面∕8C,ABlBC,AB=BC=2,AAi=↑,E為8歷的中點，求證:

平面/EG_1_平面AAlCiC.

【詳解】證明由題意知直線/8,BC,8由兩兩垂直，以點8為坐標原點,

分別以歷1,BC,8S所在直線為X軸，y軸，Z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(2,0,0),∕∣(2,0,l),C(0,2,0),C.(0,2,1),jɑ'0'3

故而=(0,0,1),k=(一2,2,0),TG=(-2,2,1),AE=H°，B

設(shè)平面44∣GC的法向量為"ι=(x,y,z),

n?'AA?=0,(z=0.

則,即,

nlAC=0,?-2x+2y^0.

令X=1,得y=l,故〃I=(1,1,0).

設(shè)平面ZEG的法向量為〃2=(〃，b9c),

—2α+2b+c=0,

nrAC↑=0,

則._即

-2a+~c=0.

nyAE=O,2

令c=4,得〃=1,b=-1.故〃2=(1,—1,4).

因為Win2=1×1+1×(-1)+0×4=0,

所以〃I_L〃2.所以平面平面AA?C?C.

2.如圖所示，△45。是一個正三角形，EcL平面力3C,BD//CEf且CE=CA=2BD,〃是￡4的中點.求

證：平面。E4_L平面EC4

【詳解】證明建立如圖所示的空間直角坐標系C一孫z,不妨設(shè)。=2,則CE=2,BD=T,

貝IJC(0,0,0),NM,∣,0),8(0,2,0),￡(0,0,2),Z)(0,2,1).

所以法=(S,1,-2),%=(0,0,2),ED=(0,2,-1).

分別設(shè)平面Eal與平面?！?的法向量是"∣=(x∣,力，z∣),n2=(x2,y2,z2),

/ι∣?EA=0,f?∕3xι+v?—2z∣=0,k,∣=一?/???)

則,即「解得F

m-CE=0,Dzi=O,E