河北省金科大聯(lián)考2023-2024學年高三上學期1月期末質(zhì)量檢測試題數(shù)學

絕密★啟用前金科大聯(lián)考·2024屆高三1月質(zhì)量檢測數(shù)學全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知，若為純虛數(shù)，則（）A.B.C.D.3.設，若，則（）A.B.C.D.4.已知為不共線的平面向量，，若，則在方向上的投影向量為（）A.B.C.D.5.設函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6.第19屆亞運會在杭州舉行，為了弘揚“奉獻，友愛，互助，進步”的志愿服務精神，5名大學生將前往3個場館開展志愿服務工作.若要求每個場館都要有志愿者，則當甲不去場館時，場館僅有2名志愿者的概率為（）A.B.C.D.7.已知正方形的邊長為1，將正方形繞著邊旋轉(zhuǎn)至分別為線段上的動點，且，若，則的最小值為（）A.B.C.D.8.已知雙曲線的離心率為2，左?右頂點分別為，右焦點為，是上位于第一象限的兩點，，若，則（）A.B.C.D.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知甲?乙兩組數(shù)據(jù)分別為，和，若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則（）A.甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為10B.乙組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.5C.甲?乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同D.甲組數(shù)據(jù)的方差小于乙組數(shù)據(jù)的方差10.已知圓臺上?下底面半徑分別為1，2，且上下底面圓周均在半徑為的球的球面上，則該圓臺的體積可能為（）A.B.C.D.11.在平面直角坐標系中，已知圓，圓是圓的一條直徑，點在圓上，設直線為兩圓的公切線，則（）A.圓和圓外切B.直線斜率的最小值為0C.直線斜率的最大值為D.面積的最大值為712.已知，則（）A.B.C.D.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為定義在上的奇函數(shù)，當時，且，若，則__________.14.設等差數(shù)列的前項和為，若，則__________.15.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，所得函數(shù)的圖象關于原點對稱，且在上單調(diào)遞減，則__________.16.已知橢圓為的左?右焦點，為上的一個動點（異于左右頂點），設的外接圓面積為，內(nèi)切圓面積為，則的最小值為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.17.（本小題滿分10分）記銳角中內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，且，求的面積.18.（本小題滿分12分）一個骰子各個面上分別寫有數(shù)字，現(xiàn)拋擲該股子2次，記第一次正面朝上的數(shù)字為，第二次正面朝上的數(shù)字為，記不超過的最大整數(shù)為.（1）求事件“”發(fā)生的概率，并判斷事件“”與事件“”是否為互斥事件；（2）求的分布列與數(shù)學期望.19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面，在棱上，平面，設.（1）求；（2）若點到平面的距離為1，求直線與平面所成角的正弦值.20.（本小題滿分12分）設為數(shù)列的前項和，已知為等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知，設，記為數(shù)列的前項和，證明：.21.（本小題滿分12分）已知拋物線，過焦點的直線與交于兩點，且的最小值為2.（1）求的方程；（2）過且與垂直的直線交于兩點，設直線的中點分別為，過坐標原點作直線的垂線，垂足為，是否存在定點，使得為定值，若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若是的極小值點，求的取值范圍.金科大聯(lián)考·2024屆高三1月質(zhì)量檢測·數(shù)學參考答案?提示及評分細則題號12345678答案CBCDABAD題號9101112答案ADACBCDABD一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】C【解析】由，解得，所以，由，解得，所以，，故選C.2.【答案】B【解析】由為純虛數(shù)，得，解得，所以，故選B.3.【答案】C【解析】，因為，所以，故，解得，故選C.4.【答案】D【解析】如圖所示，由平行四邊形法則，在方向上的投影向量為，故選D.

5.【答案】A【解析】依題意，在上恒成立，易知在上恒成立，在上單調(diào)遞增，所以只需，解得，故選A.6.【答案】B【解析】不考慮甲是否去場館，所有志愿者分配方案總數(shù)為，甲去場館的概率相等，所以甲去場館或的總數(shù)為，甲不去場館，分兩種情況討論，情形一，甲去場館，場館有兩名志愿者共有種；情形二，甲去場館，場館場館均有兩人共有種，場館場館均有兩人共有種，所以甲不去場館時，場館僅有2名志愿者的概率為，故選B.7.【答案】A【解析】由于，則，在中，利用余弦定理求出，過作的垂線，垂足為，由，可知平面，又平面，所以，所以，不妨設，則，所以由余弦定理得，，故選A.

8.【答案】D【解析】設雙曲線的焦距為，左焦點為，離心率，則，由余弦定理得，所以，又，所以，設，則，所以，所以，故選D.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.【答案】AD【解析】甲組共有5個數(shù)據(jù)，從小到大排列后，10為中間數(shù)字，所以甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為選項正確；甲?乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)均為10，所以，乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為，所以乙組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為選項錯誤；甲組數(shù)據(jù)極差為4，乙組數(shù)據(jù)極差為選項錯誤；兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，乙組數(shù)據(jù)離散程度更大，方差更大，D選項正確，故選AD.10.【答案】AC【解析】設圓臺外接球球心為，球心到上，下底面的距離為，則，解得，同理可得，若位于上下底面之間，則圓臺的高為，此時圓臺體積為，若位于下底面下方，則圓臺的高為，此時圓臺體積為，故選AC.11.【答案】BCD【解析】，因為，所以和外離，選項錯誤；直線與和均相切，所以直線斜率的最小值為選項正確；直線的斜率，設直線斜率最大時的傾斜角為，由可知，直線斜率的最小值為0，則，所以直線斜率的最大值為.C選項正確；易知，當時，面積取得最大值為，選項正確，故選.12.【答案】ABD【解析】依題意，由于，所以，所以，解得，A選項正確；要證，只需證，即證，設，則，所以單調(diào)遞減，，所以選項正確；要證，只需，即，設，則，因為均單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，，所以存在使得，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，C選項錯誤；要證，只需，即，因為，所以，D選項正確，故選ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【答案】2【解析】依題意，，解得，又，所以，故，解得.14.【答案】110【解析】因為，所以.15.【答案】3【解析】由題意知圖象關于原點對稱，且在上單調(diào)遞減，因此，解出，則，于是在上單調(diào)遞增，因此解出，又由于，且，則.16.【答案】【解析】易知，設，外接圓半徑為，則，即，由余弦定理得，整理可得，所以的面積，故的內(nèi)切圓半徑，所以，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.17.【答案】（1）（2）【解析】（1）由條件及正弦定理得而，所以，因此，由于，則，得因此是銳角三角形，因此均存在，所以，故；（2）由（1）可知，，則，且，故，利用正弦定理得，解出，，故，因此面積.18.【答案】（1），事件“”與事件“”不能同時發(fā)生，為互斥事件；（2）分布列見解析，【解析】（1）當取取值為時，，當取取值為時，，當取取值為時，，當取取值為1，2時，，當取取值為1時，，所以，當時，，事件“”與事件“”不能同時發(fā)生，為互斥事件；（2）的取值為，取值為時，，取值為時，，取值為時，，取值為時，，取值為時，，取值為時，，所以的分布列為0123456所以.19.【答案】（1）（2）【解析】（1）連接，相交于，由可知，平面平面，由平面可知，，則；（2）易知，又，所以，由于，所以，又平面平面，所以，因為，所以平面，所以平面平面，又平面平面，過作垂直于，則平面，所以，設，對使用等面積法可得，解得，建立空間直角坐標系如圖所示，，由，可得，因為平面，所以為平面的一個法向量，因為，所以為的中點，所以，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.【答案】（1）（2）略【解析】（1）依題意，，所以，數(shù)列的公比為2，又，所以（2）證明：由（1）知，，當時，，所以，所以，則，因此.21.【答案】（1）（2）存在定點，使得為定值【解析】（1）設直線，與拋物線方程聯(lián)立可得，設，則，，所以的方程為；（2）由（1）可知，，所以，同理可得，直線斜率為，所以直線，即，所以直線過定點，因為，所以在以為直徑的圓上，所以存在定點，使得為定值.22.【答案】（1）詳解見解析（2）【解析】（1）當時，，設，則，所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，取得極大值，所以，所以在上單調(diào)遞減；（2），設，則，（i）當時，二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，當時，單調(diào)遞增，因為，所以當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以是的