2023年河南省高中學業(yè)水平數(shù)學試卷及答案解析

2023年河南省高中學業(yè)水平數(shù)學試卷

一、選擇題（共16小題，每小題3分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.（3分）己知全集U={l,2,3,4,5,6},集合A={l,3,5},則CUA等于（）

A.{1,3,5}B.{2,4,6}C.{3,4,5）D.{1,3,4,5）

2.（3分）函數(shù)/（x）=6的定義域為（）

A.{x∣x≠0}B.（0,+∞）C.[0,+∞）D.R

3.（3分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（）

俯視圖

A.圓柱B.三棱臺C.圓臺D.圓錐

4.（3分）同時擲兩個均勻骰子,向上的點數(shù)之和是7的概率是（）

1111

A.-B.-C.一D.—

34612

5.（3分）函數(shù)/（x）=3*-χ-2的零點的個數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.O

6.（3分）直線/經過點P（0,2）,傾斜角是135°,則直線/的方程是（）

A.x+y-2=0B.x+y+2=0C.x-γ+2=0D?X-y-2=0

7.（3分）下列函數(shù)中，在R上是增函數(shù)的是（）

x

A.y=lgxB.y=IogixC.y=（∣）D.y=lθx

8.（3分）在等比數(shù)列{〃〃}中，aι=2,〃3=4,則其前10項和是（）

A.511B.1023C.1024D.2047

9.（3分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S=（）

A.10B.45C.55D.66

10.（3分）已知對數(shù)函數(shù)y=∕（x）的圖象過點（e,1）,則/（/）=（）

A.-3B.1C.2D.3

11.（3分）己知樣本數(shù)據(jù)XI,X2,X3,X4,X5,X6的平均數(shù)為5,方差為2,則樣本數(shù)據(jù)X1+3,

X2+3,A3+3,X4+3,X5+3,X6+3的平均數(shù)和方差分別為（）

A.8和2B.8和5C.5和3D.5和8

12.（3分）若Sina>0,且CoSaV0,則角α是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

13.（3分）ZVLBC的三邊長分別為3,5,7,則AABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

14.（3分）函數(shù)y=sin（2x+*）是（）

A.周期為π的奇函數(shù)B.周期為n的偶函數(shù)

C.周期為2π的奇函數(shù)D.周期為2π的偶函數(shù)

15.（3分）在aABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b=√Iα,A=30°,

貝UB=（）

A.45°B.I60oC.60°或120°D.45°或135°

4^4-1

16.（3分）函數(shù)/（X）=言的圖象關于（）

A.y軸對稱B.直線y=-X對稱

C.坐標原點對稱D.直線y=x對稱

二、填空題（共7小題，每小題3分，共21分）

17.（3分）函數(shù)/（x）=Iog2x+x（x∈[l.4J）的值域是.

18.（3分）“敬業(yè)”餐飲店為了研究每天賣出的熱茶杯數(shù)與當天氣溫的關系，收集了若干數(shù)

據(jù)，并對其進行分析，得到每天賣出的熱茶杯數(shù)y（杯）與當天氣溫X（℃）的回歸方程

為y=57.56-1.65x.當某天的氣溫是-2℃時，預測這天賣出的熱茶杯數(shù)為.

19.（3分）不等式/-X-6Wo的解集為.

20.（3分）己知直線/i:2x->'+5=0,/2：mx-2>,+7=0,若Ii〃h,則機=.

21.（3分）sin37ocos230+cos37osin23o的值為.

22.（3分）長方體ABCQ-AIBICIQI的頂點都在同一球面上.且力B=√ILAD=2√3,

AA1=√13,則該球的半徑是.

（x≤2,

23.（3分）己知X,y滿足約束條件｛y≤L則Z=X-y的最大值為.

（2%+y-2≥0,

三、解答題（共6小題，共31分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

.,,sina+2cosa一

24.已知tanα=3.求s----------r的ι值.

sιna-2cosa

25.求以M（l,-2）為圓心，并且與直線x+3y+15=0相切的圓的方程.

26.已知在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，4（-3,4）,B（12,5）.

（1）求6‰0?;

（2）求/AOB的余弦值.

27.從某部門參加職業(yè)技能測試的2000名員工中抽取100名員工，將其成績（滿分100分）

按照[20,40）,[40,60）,[60.80）,[80,100]分成4組，得到如圖所示的頻率分布直方

圖.

（1）估計該部門參加測試員工的成績的中位數(shù);

（2）估計該部門參加測試員工的平均成績.

28.如圖，在三棱柱ABC-AiBiCj中，點。是AB的中點.

(1)求證：ACl〃平面CDBi;

(2)若CCl，平面ABC,CCI=6,AC=3,BC=4,ZACB=120°,求三棱柱ABC-

A?B?C?的體積.

29.已知數(shù)列｛t?｝滿足a[+?+?+???÷2：：]="÷2n.

(1)求數(shù)列｛如｝的通項公式；

(2)設數(shù)列｛J?｝的前〃項和為％,求S,.

2023年河南省高中學業(yè)水平數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共16小題，每小題3分，共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項

是符合題目要求的）

1.(3分)已知全集U={l,2,3,4,5,6),集合A={l,3,5},則CUA等于()

A.{1,3,5}B.{2,4,6}C.{3,4,5}D.{1,3,4,5}

【解答】解：,??全集U={lf2,3,4,5,6),集合A={l,3,5}，

?CuA={2,4,6).

故選：B.

（3分）函數(shù)/（x）=6的定義域為（

2.)

A.{x∣x≠0}B.(0,+8)C.[0,+8)D.R

1

【解答】解:函數(shù)/（%）=記的定義域為［0,+8),

故選：C.

3.（3分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（)

俯視圖

A.圓柱B.三棱臺C.圓臺D.圓錐

【解答】解：由三視圖還原原幾何體為圓臺,

故選：C.

4.（3分）同時擲兩個均勻骰子，向上的點數(shù)之和是7的概率是()

1111

A.-B.-C.一D.

34612

【解答】解：列表得:

(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

(1,I)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

共有36種等可能的結果，向上的點數(shù)之和是7的情況有6種，

.?.兩個骰子向上的一面的點數(shù)和為6的概率為：二=工，

366

故選：C.

5.（3分）函數(shù)fG）=3尤-X-2的零點的個數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.O

【解答】解：由（x）=3*-X-2=0得3Λ=X+2,

作出兩個函數(shù)y=3?v和y=x+2的圖象如圖：

由圖象知兩個圖象有2個交點，

即函數(shù)/（x）的零點個數(shù)為2個，

6.（3分）直線/經過點P（0,2）,傾斜角是135°,則直線/的方程是（）

A.x+y-2=0B.x+γ+2=0C.x-y+2=0D.x-y-2=0

【解答】解：直線/經過點P（0,2）,傾斜角是135°,則k=7,

y-2=-（X-0）,即x+y-2=0,

故選：A.

7.（3分）下列函數(shù)中，在R上是增函數(shù)的是（）

A.y=lgxB.y=IogixC.y=（^）xD.y=?Ox

【解答】解：y=∕gχ,底數(shù)為10>1,在（0,+8）上單調增，不符合；

V=Iogi?,在（0,+∞）上單調減，不符合;

2

y=（二）"在R上是單調減；

y=10"在R上是增函數(shù)，符合.

故選：D.

8.（3分）在等比數(shù)列｛〃〃｝中，?2=2,￠/3=4,則其前10項和是（）

A.511B.1023C.1024D.2047

【解答】解：在等比數(shù)列中，6=2,43=4,

則,^2=24,W?1=1，4=2,

｛a2q=4

.ιo

則其前10項和是S=號17令=1023,

故選：B.

9.（3分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S=（）

A.10B.45C.55D.66

【解答】解：第一次循環(huán)：S=0,i=l,S=0+l=l,i=l+l=2,i>10不成立;

第二次循環(huán)：S=l,z=2,S=1+2=3,/=2+1=3,i>10不成立；

第三次循環(huán)：S=3,i=3,S=2+3=6,i=3+l=4,i>10不成立；

第四次循環(huán)：S=6,i=4,S=6+4=10,i=4+l=5,>10不成立；

第五次循環(huán)：S=IO,/=5,5=10+5=15,i=5+l=6,i>10不成立;

第六次循環(huán)：S=15,i=6,S=15+6=21,i=6+l=7,i>10不成立；

第七次循環(huán)：S=2T,i=7,S=21+7=28,i=7+l=8,i>10不成立；

第八次循環(huán)：S=28,i=8,5=28+8=36,，=8+1=9,，>10不成立；

第九次循環(huán)：S=36,i=9,S=36+9=45,i=9+l=10,AlO不成立；

第十次循環(huán)：S=45,z=IO,S=45+10=55,i=1+1=2,i>10成立，

輸出的S=55.

故選：C.

10.（3分）已知對數(shù)函數(shù)y=∕（x）的圖象過點（e,1）,則/（1）=（）

A.-3B.1C.2D.3

【解答】解：對數(shù)函數(shù)y=f（x）=IogM的圖象過點（e,1）,

Λlogαe=1,解得α=e,

Λy=logex,

則/（c?）=IOgee3=3.

故選：D.

II.（3分）己知樣本數(shù)據(jù)XI,X2,X3,X4,X5,X6的平均數(shù)為5,方差為2,則樣本數(shù)據(jù)X1+3,

X2+3,X3+3,X4+3,X5+3,X6+3的平均數(shù)和方差分別為（）

A.8和2B.8和5C.5和3D.5和8

【解答】解：根據(jù)題意，樣本數(shù)據(jù)XI,X2,Λ3,X4,X5,X6的平均數(shù)為5,方差為2,

1

則有一（Xl+Λ2+X3+X4+X5+X6）=5,

6

?

-[（XI-5）2+（X2-5）2+（X3-5）2+（X4-5）2+（X5-5）2+（x6-5）2]=2,

6

對于數(shù)據(jù)Xl+3,X2+3,X3+3,Λ4+3,X5+3,X6+3,

其平均數(shù)元=（）

TOXI+3+X2+3+X3+3+X4+3+%5+3+X6+3

（）

=?OXI+X2+%3+X4+X5+X6+3=5+3=8,

其方差S2=（XI-5）2+（X2-5）2+（X3-5）2+（X4-5）2+（X5-5）2+（X6-5）2J=

2,

故選：A.

12.（3分）若Sina>0,且CoSaV0,則角α是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【解答】解：由Sina>0,可得a為第一、第二及y軸正半軸上的角；

由COSa<0,可得a為第二、第三及X軸負半軸上的角.

???取交集可得，a是第二象限角.

故選：B.

13.（3分）C的三邊長分別為3,5,7,則4ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

【解答】解：設邊長為7的邊所對的角為a,

q2+q2_/

則COsa=?乂2乂口<o>則a為鈍角.

故選：C.

14.（3分）函數(shù)y=sin（2Λ+J）是（）

A.周期為π的奇函數(shù)B.周期為n的偶函數(shù)

C.周期為2π的奇函數(shù)D.周期為2π的偶函數(shù)

【解答】解：sin（2x+g）=cos2x,故為偶函數(shù)，

T27Γ2Tt

T=—-，

ω="2?=η

故選：B.

15.（3分）在BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,己知b=應。，4=30°,

貝IJB=（）

A.45oB.60°C.60°或120oD.45°或135°

【解答】解：=√∑a,4=30°,

sin8=VlsinA=?,

則8=45°或135°,

故選：D.

16.（3分）函數(shù)/（X）=裁的圖象關于（

）

A.y軸對稱B.直線y=-X對稱

C.坐標原點對稱D.直線y=x對稱

【解答】解：x∈R,f(x)=?(2x+2^x),

1

則/(-x)=*(2--V+2Λ')=f(x),

則/(χ)是偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱.

故選：A.

二、填空題(共7小題，每小題3分，共21分)

17.(3分)函數(shù)/(x)=log2χ+x(x∈ll,4])的值域是[1,61.

【解答】解：/(x)=logzx+x為[1,4]的單調遞增函數(shù)，

/(1)=0+1=1,/(4)=2+4=6,

故函數(shù)f(x)=log2x+x(x∈[l,4])的值域是[1,6],

故答案為：[1,6J.

18.(3分)“敬業(yè)”餐飲店為了研究每天賣出的熱茶杯數(shù)與當天氣溫的關系，收集了若干數(shù)

據(jù)，并對其進行分析，得到每天賣出的熱茶杯數(shù)y(杯)與當天氣溫X(℃)的回歸方程

為y=57.56-1.65x.當某天的氣溫是-2℃時，預測這天賣出的熱茶杯數(shù)為61.

【解答】解：X=-2時，y=57.56-1.65X(-2)=60.86?=61.

故答案為：61.

19.(3分)不等式/-X-6WO的解集為3-2?}.

【解答】解：不等式f-χ-6W0,

即(x+2)(X-3)≤0,

解得-2≤x≤3,

所以該不等式的解集為{尤|-2≤x≤3}.

故答案為：{x∣-2WxW3}.

20.(3分)已知直線/i:Ix->?+5=0,/2：mx-2^+7=0>若則〃i=4.

【解答】解：直線∕∣:2x-γ+5=0,/2：mx-2y+7=0,若h〃b,則2=}，解得機=4,

故答案為：4.

√3

21.(3分)sin37ocos230+cos37osin23o的值為一.

—2—

ooo

【解答】解:sin37cos230+cos37sin23=sin(37°+23°)=sin60°=?.

故答案為：?√3?

2

22.(3分)長方體ABCO-48∣CIOl的頂點都在同一球面上.且48=√H,AD=2√3,

AA1=√13,則該球的半徑是3.

【解答】解：長方體ABCC-AlBcIZ)I的頂點都在同一球面上.且AB=Vn,AD=2√3,

AA1=√T3,

則長方體ABCD-AIBICIDI的體對角線長為J(√H)2+(2√3)2+(√13)2=6,

則該球的直徑為6,

即該球的半徑是3,

故答案為：3.

(x<2>

23.(3分)已知X,y滿足約束條件｛y≤l,

則z-x-y的最大值為4.

(2x+y—2≥O,

【解答】解：不等式對應的平面區(qū)域如圖：(陰影部分).

由Z=X-y得y=χ-z,平移直線y=χ-z,

由平移可知當直線y=χ-z,經過點3時，

直線y=x-Z的截距最小，此時Z取得最大值，

由C7+2y-2=(T解得，

即8(2,-2)代入Z=X-y得z=2-(-2)=4,

即Z=X-y的最大值是4,

故答案為：4.

三、解答題(共6小題，共31分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

sina+2cosa

24.已知tan。=3.求一：-------的值.

sιna-2cosa

【解答】解：??'tana=3,

^sina+2cosa=tαnα+2=3+2=§

,sina-2cosatana-23-2…

25.求以M(1,-2)為圓心，并且與直線x+3y+15=0相切的圓的方程.

【解答】解：根據(jù)題意，要求圓的半徑為圓心M到直線x+3y+15=0的距離，

則圓的半徑，=%怨51=√io,

√l+9

則要求圓的方程為(?-l)2+(y+2)2=10,

26.已知在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，A(-3,4),B(12,5).

(1)求&?0?;

(2)求NAoB的余弦值.

【解答】解：(1)已知在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，A(-3,4),B(12,5),

則后-OB=(-3)×12+4X5=-16；

(2)由題意可得|&|=J(-3)2+42=5,?0B?=√122+52=13,

OAOB-16_16

貝IJCOS乙408=—→→—5×13=^65,

?OA??OB?

即NAoB的余弦值為-

27.從某部門參加職業(yè)技能測試的2000名員工中抽取IOO名員工，將其成績(滿分IOO分)

按照[20,40),[40,60),[60.80),[80,IOOJ分成4組，得到如圖所示的頻率分布直方

圖.

(1)估計該部門參加測試員工的成績的中位數(shù)；

(2)估計該部門參加測試員工的平均成績.

：前2組頻率之和為0.1+0.2=0.3V0.5,

而前3組頻率之和為0.1+0.2+0.4=0.7>0.5,

Λ60≤Λ≤80,

由0.02(χ-60)=0.5-(0.1+0.2),

解得x=70,

.?.