河南省信陽市長陵中學2022年高二數(shù)學理期末試題含解析

河南省信陽市長陵中學2022年高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3中點，D是EF與SG2的交點，現(xiàn)沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點重合，重合后的點記為G，則在四面體G﹣SEF中必有（）A．SD⊥平面EFG B．SE⊥GF C．EF⊥平面SEG D．SE⊥SF參考答案：B【考點】直線與平面垂直的性質(zhì)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)題意，在折疊過程中，始終有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由線面垂直的判定定理，得SG⊥平面EFG，分析四個答案，即可給出正確的選擇．【解答】解：在A中：設(shè)正方形的棱長為2a，則DG=a，SD=a，∵SG2≠DG2+SD2，∴SD與DG不垂直，∴SD不垂直于平面EFG，故A錯誤；在B中：∵在折疊過程中，始終有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，∴SG⊥GE，SG⊥GF，又∵EG⊥GF，SG∩EG=G，∴GF⊥平面SEG，∵SE?平面SGE，∴SE⊥GF，故B正確；在C中：△EFG中，∵EG⊥GF，∴EF不與GF垂直，∴EF不垂直于平面SEG，故C錯誤；在D中：由正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3中點，得∠ESF＜∠G1SG3=90°，∴SE與SF不垂直，故D錯誤．故選：B．【點評】線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來．2.若，，則一定有（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C因為c＜d＜0，所以0＞＞，有-＞-＞0又因為a>b>0,所以.所以.故選C.

3.從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取2張，將其中1張放在驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔，則另一張也是假鈔的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】等可能事件的概率．【分析】設(shè)事件A表示“抽到的兩張都是假鈔”，事件B表示“抽到的兩張至少有一張假鈔”，所求的概率即P（A/B）．先求出P（AB）和P（B）的值，再根據(jù)P（A/B）=，運算求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)事件A表示“抽到的兩張都是假鈔”，事件B表示“抽到的兩張至少有一張假鈔”，則所求的概率即P（A/B）．又P（AB）=P（A）=，P（B）=，由公式P（A/B）====，故選A．4.當時，則a的取值范圍為A. B. C.(1,4)

D.參考答案：B5.用數(shù)學歸納法證明等式：,由的假設(shè)到證明時,等式左邊應(yīng)添加的式子是(

)A. B.C. D.參考答案：D【分析】分別寫出和時，左邊的式子，兩式作差，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得，當時，等式左邊等于，共項求和；當時，等式左邊等于，共項求和；所以由的假設(shè)到證明時,等式左邊應(yīng)添加的式子是.故選D【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法，熟記數(shù)學歸納法的一般步驟即可，屬于常考題型.6.已知不等式的解集為,則不等式的解集為(

)

A、

B、

C、

D、參考答案：B略7.已知，由不等式…….,可以推出結(jié)論：=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D8.“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要參考答案：B【分析】求出的的范圍，根據(jù)集合之間的關(guān)系選擇正確答案．【詳解】，因此是的必要不充分條件．故選B．【點睛】本題考查充分必要條件的判斷，充分必要條件隊用定義判定外還可根據(jù)集合之間的包含關(guān)系確定．如對應(yīng)集合是，對應(yīng)集合是，則是的充分條件是的必要條件．9.下列說法中錯誤的個數(shù)為

①一個命題的逆命題為真，它的否命題也一定為真；②若一個命題的否命題為假，則它本身一定為真；③是的充要條件；④與是等價的；⑤“”是“”成立的充分條件.

A、2

B、3

C、4

D、5參考答案：C10.已知集合，集合，則等于A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓有最大的面積，則直線y=（k﹣1）x+2的傾斜角α=．參考答案：【考點】J2：圓的一般方程；I2：直線的傾斜角．【分析】利用圓的一般式方程，當圓的面積的最大值時，求出半徑，以及k的值，然后求解直線的傾斜角．【解答】解：，當有最大半徑時有最大面積，此時k=0，r=1，∴直線方程為y=﹣x+2，設(shè)傾斜角為α，則由tanα=﹣1且α∈[0，π）得．故答案為：．12.已知F1、F2是橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且．若△PF1F2的面積為9，則b=

．參考答案：3考點：橢圓的應(yīng)用；橢圓的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：利用△PF1F2的面積=求解，能得到b的值．解答： 解：由題意知△PF1F2的面積=，∴b=3，故答案為3．點評：主要考查橢圓的定義、基本性質(zhì)和平面向量的知識．13.已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，則z=2x﹣3y的取值范圍是．（答案用區(qū)間表示）參考答案：（3，8）【考點】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【分析】本題考查的知識點是線性規(guī)劃，處理的思路為：根據(jù)已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域，再用角點法，求出目標函數(shù)的最大值和最小值，再根據(jù)最值給出目標函數(shù)的取值范圍．【解答】解：畫出不等式組表示的可行域如下圖示：在可行域內(nèi)平移直線z=2x﹣3y，當直線經(jīng)過x﹣y=2與x+y=4的交點A（3，1）時，目標函數(shù)有最小值z=2×3﹣3×1=3；當直線經(jīng)過x+y=﹣1與x﹣y=3的交點B（1，﹣2）時，目標函數(shù)有最大值z=2×1+3×2=8．z=2x﹣3y的取值范圍是（3，8）．故答案為：（3，8）．14.過橢圓+=1內(nèi)一點M（2，1）引一條弦，使得弦被M點平分，則此弦所在的直線方程為．參考答案：x+2y﹣4=0【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意可得，兩式相減，結(jié)合中點坐標公式可求直線的斜率，進而可求直線方程【解答】解：設(shè)直線與橢圓交于點A，B，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）由題意可得，兩式相減可得由中點坐標公式可得，，==﹣∴所求的直線的方程為y﹣1=﹣（x﹣2）即x+2y﹣4=0故答案為x+2y﹣4=015.等差數(shù)列中，已知，則

.參考答案：3216.參考答案：17.設(shè)，若，則的值為

參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知，橢圓C過點A，兩個焦點為(－1,0)，(1,0)．(1)求橢圓C的方程；（2）求出此橢圓的離心率及準線方程。參考答案：略19.端午節(jié)即將到來，為了做好端午節(jié)商場促銷活動，某商場打算將進行促銷活動的禮品盒重新設(shè)計．方案如下：將一塊邊長為10的正方形紙片ABCD剪去四個全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′再將剩下的陰影部分折成一個四棱錐形狀的包裝盒S﹣EFGH，其中A，B，C，D重合于點O，E與E′重合，F(xiàn)與F′重合，G與G′重合，H與H′重合（如圖所示）．（Ⅰ）求證：平面SEG⊥平面SFH；（Ⅱ）當AE=時，求二面角E﹣SH﹣F的余弦值．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）拼接成底面EFGH的四個直角三角形必為全等的等腰直角三角形，從而EG⊥FH，EG⊥FH，EG⊥SO，由此能證明平面SEG⊥平面SFH．（Ⅱ）過O作OM⊥SH交SH于M點，連EM，證明∠EMO為二面角E﹣SH﹣F的平面角，即可求得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵折后A，B，C，D重合于一點O，∴拼接成底面EFGH的四個直角三角形必為全等的等腰直角三角形，∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，∵在原平面EFGH是正方形，故EG⊥FH，∵在原平面圖形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，∴SE=SG，∴EG⊥SO，又∵SO、FH?平面SFH，SO∩FH=O，∴EC⊥平面SFH，又∵EG?平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．…（Ⅱ）解：過O作OM⊥SH交SH于M點，連EM，∵EO⊥平面SFH，∴EO⊥SH，∴SH⊥面EMO，∴∠EMO為二面角E﹣SH﹣F的平面角．…當AE=時，即OE=Rt△SHO中，SO=5，SH=，∴OM==，Rt△EMO中，EM==，∴cos∠EMO==，∴所求二面角的余弦值為．

…20.已知橢圓的短軸長為4，焦距為2．（1）求C的方程；（2）過橢圓C的左焦點F1作傾斜角為45°的直線l，直線l與橢圓相交于A、B兩點，求AB的長．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）橢圓的短軸長為4，焦距為2．可得a，b；（2）過F1傾斜角為45°的直線l：y=x+1．把y=x+1．代入圓的方程為：．得7x2+8x﹣8=0，由韋達定理及弦長公式可計算AB．【解答】解：（1）∵橢圓的短軸長為4，焦距為2．∴a=2，c=1，b=，橢圓的方程為：．（2）由（1）得橢圓C的左焦點F1（﹣1，0），過F1傾斜角為45°的直線l：y=x+1．把y=x+1．代入圓的方程為：．得7x2+8x﹣8=0，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），x1，+x2=﹣，x1x2=﹣，AB==．【點評】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，及弦長公式，屬于基礎(chǔ)題．21.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣mx+m．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）對f（x）求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)中m進行分類討論，由此得到單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）借助（Ⅰ），對m進行分類討論，由最大值小于等于0，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題．【解答】解：（Ⅰ），當m≤0時，f′（x）＞0恒成立，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間；當m＞0時，由，得，由，得，此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當m≤0時，f（x）在（0，+∞）上遞增，f（1）=0，顯然不成立；當m＞0時，只需m﹣lnm﹣1≤0即可，令g（x）=x﹣lnx﹣1，則，x∈（0，+∞）得函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．∴g（x）min=g（1）=0，g（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，也就是m﹣lnm﹣1≥0對m∈（0，+∞）恒成立，∴m﹣lnm﹣1=0，解得m=1．22.如圖，橢圓C：（a＞b＞0）的離心率是，點E（，）在橢圓上，設(shè)點A1，B1分別是橢圓的右頂點和上頂點，過點A1，B1引橢圓C的兩條弦A1E、B1F．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（II）若直線A1E與B1F的斜率是互為相反數(shù)．（i）直線EF的斜率是否為定值？若是求出該定值，若不是，說明理由；（ii）設(shè)△A1EF、△B1EF的面積分別為S1和S2，求S1+S2的取值范圍．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率是，點E（，）在橢圓上，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）（i）求出A1（2，0），B1（0，1），從而得到=﹣，=，進而求出直線B1F，與橢圓聯(lián)立，求出F，由此能求出直線EF的斜率為定值．（ii）求出直線EF和方程和|EF|，再分別求出點A1（2，0）到直線EF的距離和點B1（0，1）到直線EF的距離，由此能求出S1+S2．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓C：（a＞b＞0）的離心率是，點E（，）在橢圓上，∴，解得a=2，b=1，∴橢圓C的方程為．（Ⅱ）