2023-2024學(xué)年挑戰(zhàn)中考壓軸題重難點題型分類專題01新知識學(xué)習(xí)型新定義問題之求函數(shù)的取值范圍（解析版）

資料整理資料整理資料整理專題01新知識學(xué)習(xí)型&新定義問題之求函數(shù)的取值范圍（解析版）通用的解題思路：第一步:先判定函數(shù)的增減性：一次函數(shù)、反比例函數(shù)看，二次函數(shù)看對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；第二步：當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以.二次函數(shù)求取值范圍之動軸定區(qū)間或者定軸動區(qū)間的分類方法：分對稱軸在區(qū)間的左邊、右邊、中間三種情況。若自變量的取值范圍為全體實數(shù)，如圖①，函數(shù)在頂點處時，取到最值.若，如圖②，當(dāng)時，；當(dāng)時，.若，如圖③，當(dāng)，；當(dāng)，.若，且，，如圖④，當(dāng)，；當(dāng)，.1.（中考真題）設(shè)a、b是任意兩個不等實數(shù),我們規(guī)定：滿足不等式a?x?b的實數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間,表示為[a,b].對于一個函數(shù),如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m?x?n時,有m?y?n,我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m,n]上的“閉函數(shù)”。(1)反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1,2013]上的“閉函數(shù)”嗎?請判斷并說明理由；(2)若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是閉區(qū)間[m,n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式；(3)若二次函數(shù)是閉區(qū)間[a,b]上的“閉函數(shù)”，求實數(shù)a，b的值?！窘獯稹拷猓海?）反比例函數(shù)y＝是閉區(qū)間[1，2013]上的“閉函數(shù)”．理由如下：反比例函數(shù)y＝在第一象限，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＝1時，y＝2013；當(dāng)x＝2013時，y＝1，所以，當(dāng)1≤x≤2013時，有1≤y≤2013，符合閉函數(shù)的定義，故反比例函數(shù)y＝是閉區(qū)間[1，2013]上的“閉函數(shù)”；（2）分兩種情況：k＞0或k＜0．①當(dāng)k＞0時，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象是y隨x的增大而增大，故根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，，解得．∴此函數(shù)的解析式是y＝x；②當(dāng)k＜0時，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象是y隨x的增大而減小，故根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，，解得．∴此函數(shù)的解析式是y＝﹣x+m+n；（3）∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣2）2﹣，∴該二次函數(shù)的圖象開口方向向上，最小值是﹣，且當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而增大；①當(dāng)b≤2時，此二次函數(shù)y隨x的增大而減小，則根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，，解得，（不合題意，舍去）或；②當(dāng)a＜2＜b時，此時二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣的最小值是﹣＝a，根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，b＝a2﹣a﹣或b＝b2﹣b﹣；a）當(dāng)b＝a2﹣a﹣時，由于b＝（﹣）2﹣×（﹣）﹣＝＜2，不合題意，舍去；b）當(dāng)b＝b2﹣b﹣時，解得b＝，由于b＞2，所以b＝；③當(dāng)a≥2時，此二次函數(shù)y隨x的增大而增大，則根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，，解得，，∵＜0，∴舍去．綜上所述，或．資料整理2．（中考真題）若關(guān)于x的函數(shù)y，當(dāng)時，函數(shù)y的最大值為M，最小值為N，令函數(shù)，我們不妨把函數(shù)h稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”．(1)①若函數(shù)，當(dāng)時，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的值；②若函數(shù)（，k，b為常數(shù)），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的解析式；(2)若函數(shù)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最大值；(3)若函數(shù)，是否存在實數(shù)k，使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．解析：（1）解：①當(dāng)時，則，即，，，隨的增大而增大，，②若函數(shù)，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，則，，綜上所述，時，，時，，（2）解：對于函數(shù)，，，函數(shù)在第一象限內(nèi)，隨的增大而減小，，解得，當(dāng)時，，，∵當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，取得最小值，此時取得最大值，最大值為；（3）對于函數(shù)，，拋物線開口向下，時，隨的增大而增大，時，隨的增大而減小，當(dāng)時，函數(shù)y的最大值等于，在時，①當(dāng)時，即時，，，，的最小值為（當(dāng)時），若，解得，但，故不合題意，故舍去；②當(dāng)時，即時，，，，的最小值為（當(dāng)時），若，解得，但，故不合題意，故舍去③當(dāng)時，即時，，i)當(dāng)時，即時，對稱軸為，，拋物線開口向上，在上，當(dāng)2時，有最小值，，解得；ii)當(dāng)時，即時，，，，對稱軸為，，拋物線開口向上，在上，當(dāng)2時，有最小值，解得，綜上所述，時，存在．3．（中考真題）我們不妨約定：若某函數(shù)圖像上至少存在不同的兩點關(guān)于原點對稱，則把該函數(shù)稱之為“H函數(shù)”，其圖像上關(guān)于原點對稱的兩點叫做一對“H點”，根據(jù)該約定，完成下列各題（1）在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“H函數(shù)”的，請在相應(yīng)題目后面的括號中打“√”，不是“H函數(shù)”的打“×”①（

）

②（

）

③（

）（2）若點與點關(guān)于x的“H函數(shù)”的一對“H點”，且該函數(shù)的對稱軸始終位于直線的右側(cè)，求的值或取值范圍；（3）若關(guān)于x的“H函數(shù)”（a，b，c是常數(shù)）同時滿足下列兩個條件：①，②，求該H函數(shù)截x軸得到的線段長度的取值范圍．【詳解】（1）①是“H函數(shù)”②是“H函數(shù)”③不是“H函數(shù)”；故答案為：√；√；×；（2）∵A,B是“H點”∴A,B關(guān)于原點對稱，∴m=4,n=1∴A(1,4），B（-1，-4）代入，得，解得，又∵該函數(shù)的對稱軸始終位于直線的右側(cè)，∴-＞2，∴-＞2，∴-1＜a＜0，∵a+c=0，∴0＜c＜1，綜上，-1＜a＜0，b=4，0＜c＜1；（3）∵是“H函數(shù)”，∴設(shè)H點為（p,q）和（-p,-q）,代入得，解得ap2+3c=0,2bp=q，∵p2＞0，∴a,c異號，∴ac＜0，∵a+b+c=0，∴b=-a-c，∵，∴，∴，∴c2＜4a2，∴＜4，∴-2＜＜2，∴-2＜＜0，設(shè)t=，則-2＜t＜0，設(shè)函數(shù)與x軸的交點為（x1,0）（x2,0），∴x1,x2是方程=0的兩根，∴====2=，又∵-2＜t＜0，∴2＜＜2．4.（2022春?芙蓉區(qū)校級期末）在y關(guān)于x的函數(shù)中，對于實數(shù)a，b，當(dāng)a≤x≤b且b＝a+3時，函數(shù)y有最大值ymax，最小值ymin，設(shè)h＝y(tǒng)max﹣ymin，則稱h為y的“極差函數(shù)”（此函數(shù)為h關(guān)于a的函數(shù)）；特別的，當(dāng)h＝y(tǒng)max﹣ymin為一個常數(shù)（與a無關(guān)）時，稱y有“極差常函數(shù)”．（1）判斷下列函數(shù)是否有“極差常函數(shù)”？如果是，請在對應(yīng)（）內(nèi)畫“√”，如果不是，請在對應(yīng)（）內(nèi)畫“×”．①y＝2x（）；②y＝﹣2x+2（）；③y＝x2（）．（2）y關(guān)于x的一次函數(shù)y＝px+q，它與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為1，且它有“極差常函數(shù)”h＝3，求一次函數(shù)解析式；（3）若，當(dāng)a≤x≤b（b＝a+3）時，寫出函數(shù)y＝ax2﹣bx+4的“極差函數(shù)”h；并求4ah的取值范圍．【解答】解：（1）①∵y＝2x是一次函數(shù)，且y隨x值的增大而增大，∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，∴y＝2x是“極差常函數(shù)”，故答案為：√；②∵y＝﹣2x+2是一次函數(shù)，且y隨x值的增大而減小，∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，∴y＝﹣2x+2是“極差常函數(shù)”，故答案為：√；∵y＝x2是二次函數(shù)，函數(shù)的對稱軸為直線x＝0，當(dāng)a+3≤0時，h＝a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；當(dāng)a≥0時，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；∴y＝x2不是“極差常函數(shù)”，故答案為：×；當(dāng)x＝0時，y＝q，∴函數(shù)與y軸的交點為（0，q），當(dāng)y＝0時，x＝﹣，∴函數(shù)與x軸的交點為（﹣，0），∴S＝×|q|×|﹣|＝1，∴＝2，當(dāng)p＞0時，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，∴p＝1，∴q＝±，∴函數(shù)的解析式為y＝x；當(dāng)p＜0時，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，∴p＝﹣1，∴q＝±，∴函數(shù)的解析式為y＝﹣x；綜上所述：函數(shù)的解析式為y＝x或y＝﹣x；（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣）2+4﹣，∴函數(shù)的對稱軸為直線x＝，∵b＝a+3，∴x＝＝+，∵，∴≤+≤，≤a+3≤，∵（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣，∵，∴2a+2﹣＞0，∴a+3到對稱軸的距離，大于a到對稱軸的距離，∴當(dāng)x＝a+3時，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，當(dāng)x＝時，y有最小值4﹣＝4﹣，∴h＝a（a+3）2﹣（a+3）2+4﹣4+＝（a+3）2（a﹣1+），∴4ah＝（2a2+5a﹣3）2，∵2a2+5a﹣3＝2（a+）2﹣，，∴≤2a2+5a﹣3≤9，∴≤4ah≤81．5.（雅實）若函數(shù)、滿足，則稱函數(shù)y是、的“融合函數(shù)”.例如，一次函數(shù)和二次函數(shù)，則、的“融合函數(shù)”為.（1）若反比例函數(shù)和一次函數(shù)，它們的“融合函數(shù)”過點，求k的值；（2）若為二次函數(shù)，且，在時取得最值，函數(shù)為一次函數(shù)，且、的“融合函數(shù)”為，當(dāng)時，求函數(shù)的最小值（用含t的式子表示）；（3）若二次函數(shù)與一次函數(shù)，其中且，若它們的“融合函數(shù)”與x軸交點為、，求的取值范圍.【解答】解：(1)由題意可得y1、y2的融合函數(shù)，將點代入，可得：，解得.∵，∴，∵y2為一次函數(shù)，∴，即，∴在x=t處取得最值，∴，即，∴，即，∴，對稱軸：.①若時，即當(dāng)時，，②若時，即當(dāng)時，，③若時，即當(dāng)時，.(3)y1、y2的融合函數(shù)，∵與y軸交于點、，∴，，∵，又∵，∴，∴，∵∴，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，.6．（立信）已知：拋物線：（）．（1）若頂點坐標(biāo)為，求和的值（用含的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；（3）若不論為任何實數(shù)，直線與拋物線有且只有一個公共點，求，，的值；此時，若時，拋物線的最小值為，求的值．【解答】解：（1）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，1），∴y＝a（x﹣1）2+1＝ax2﹣2ax+a+1，∴b＝﹣2a，c＝a+1；（2）∵y＝ax2+bx+c，a＞0，c＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸有兩個交點，∴|ax2+bx+c|≥0，∴﹣2022|ax2+bx+c|≤0，∴﹣2022|ax2+bx+c|﹣1≤﹣1，∴函數(shù)y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值為﹣1；（3）∵直線與拋物線C1有且只有一個公共點，∴方程組只有一組解，∴ax2+（b﹣m）x++m+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，∴（b﹣m）2﹣4a（+m+c）＝0，整理得：（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0，∵不論m為任何實數(shù)，（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0恒成立，∴，∴a＝1，b＝﹣2，c＝1．此時，拋物線解析式為y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，開口向上，∵當(dāng)k≤x≤k+1時，拋物線的最小值為k，∴分三種情況：k＜0或0≤k≤1或k＞1，①當(dāng)k＜0時，k+1＜1，當(dāng)k≤x≤k+1時，y隨著x的增大而減小，則當(dāng)x＝k+1時，y的最小值為k，∴（k+1﹣1）2＝k，解得：k＝0或1，均不符合題意，舍去；②當(dāng)0≤k≤1時，當(dāng)x＝1時，拋物線的最小值為0，∴k＝0；③當(dāng)k＞1時，y隨著x的增大而增大，則當(dāng)x＝k時，y的最小值為k，∴（k﹣1）2＝k，解得：k＝或，∵k＞1，∴k＝，綜上所述，若k≤x≤k+1時，拋物線的最小值為k，k的值為0或．7．（長郡）對于一個函數(shù)給出如下定義：對于函數(shù)y，若當(dāng)a≤x≤b，函數(shù)值y滿足m≤y≤n，且滿足n﹣m＝k（b﹣a），則稱此函數(shù)為“k屬和合函數(shù)”，例如：正比例函數(shù)y＝﹣3x，當(dāng)1≤x≤3時，﹣9≤y≤﹣3，則﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函數(shù)y＝﹣3x為“3屬和合函數(shù)”．（1）若一次函數(shù)y＝kx﹣1（1≤x≤3）為“4屬和合函數(shù)”，求k的值；（2）反比例函數(shù)（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k屬和合函數(shù)”，且a+b＝3，請求出a﹣b的值；（3）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2ax+3，當(dāng)﹣1≤x≤1時，y是“k屬和合函數(shù)”，求k的取值范圍．【詳解】解：（1）當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大，∵1≤x≤3，∴k﹣1≤y≤3k﹣1，∵函數(shù)y＝kx﹣1（1≤x≤3）為“k屬和合函數(shù)”，∴（3k﹣1）﹣（k﹣1）＝4（3﹣1），∴k＝4；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小，∴3k﹣1≤y≤k﹣1，∴（k﹣1）﹣（3k﹣1）＝4（3﹣1），∴k＝﹣4，綜上所述，k的值為4或﹣4；（2）∵反比例函數(shù)y＝，k＞0，∴在第一象限，y隨x的增大而減小，當(dāng)a≤x≤b且0＜a＜b是“k屬和合函數(shù)”，∴﹣＝k（b﹣a），∴ab＝1，∵a+b＝3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣4＝5，∴a﹣b＝﹣；（3）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+2ax+3的對稱軸為直線x＝a，∵當(dāng)﹣1≤x≤1時，y是“k屬和合函數(shù)”，∴當(dāng)x＝﹣1時，y＝2﹣2a，當(dāng)x＝1時，y＝2+2a，當(dāng)x＝a時，y＝a2+3，①如圖1，當(dāng)a≤﹣1時，當(dāng)x＝﹣1時，有y最大值＝2﹣2a，當(dāng)x＝1時，有y最小值＝2+2a∴（2﹣2a）﹣（2+2a）＝k?[1﹣（﹣1）]＝2k，∴k＝﹣2a，而a≤﹣1，∴k≥2；②如圖2，當(dāng)﹣1＜a≤0時，當(dāng)x＝a時，有y最大值＝a2+3，當(dāng)x＝1時，有y最小值＝2+2a，∴a2+3﹣（2+2a）＝2k，∴k＝，∴≤k＜2；③如圖3，當(dāng)0＜a≤1時，當(dāng)x＝a時，有y最大值＝a2+3，當(dāng)x＝﹣1時，有y最小值＝2﹣2a，∴a2+3﹣（2﹣2a）＝2k，∴k＝，∴＜k≤2；④如圖4，當(dāng)a＞1時，當(dāng)x＝1時，有y最大值＝2+2a，當(dāng)x＝﹣1時，有y最小值＝2﹣2a，∴（2+2a）﹣（2﹣2a）＝2k，∴k＝2a，∴k＞2．綜上所述，當(dāng)﹣1≤x≤1時，y是“k屬和合函數(shù)”，k的取值范圍為k≥．8．（師大附中博才）已知a、b是兩個不相等的實數(shù)且，我們規(guī)定：滿足不等式的實數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)時，有為正數(shù)，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間上的“t倍函數(shù)”．例如：正比例函數(shù)，當(dāng)時，，則是上的“2倍函數(shù)”．(1)已知反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“2倍函數(shù)”，且，求的值；(2)①已知正比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“t倍函數(shù)”，求t；②一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“2倍函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式．(3)若二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“7倍函數(shù)”，求實數(shù)a、b的值．【詳解】（1）已知反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“2倍函數(shù)”，當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，又，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，，且，，又，，（2）①已知正比例函數(shù)，y隨x的增大而增大，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，，是閉區(qū)間上的“1倍函數(shù)”，即②一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“2倍函數(shù)”，當(dāng)時，，若時，y隨x的增大而增大，當(dāng)，則；當(dāng)，則，，，將代入，得，若時，函數(shù)解析式為若時，y隨x的增大而減小，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，若時，函數(shù)解析式為，綜合以上分析，函數(shù)的解析式為或．（3）由二次函數(shù)解析式可知，拋物線開口向上，對稱軸，當(dāng)時，y隨x的增大而減?。划?dāng)時，y隨x的增大而增大，二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“7倍函數(shù)”，當(dāng)時，，若時，根據(jù)增減性，當(dāng)時，；當(dāng)時，，兩式相減得：，，，將代入得：，或，當(dāng)時，；當(dāng)時，（舍去，）．若時，當(dāng)時，，解得（舍去）或，當(dāng)時，解得或，均不符合，舍去．若，時，當(dāng)時，，，則時，，若，，舍去，當(dāng)時，，則（舍去）或．符合題意．綜上分析，，或者，．9．（長郡）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點P（x，y）的橫、縱坐標(biāo)的絕對值的和叫做點P（x，y）的勾股值，記為．(1)已知點A（1，3），B（，4），C（，），直接寫出，，的值；(2)已知點D是直線上一點，且，求點D的坐標(biāo)；(3)若拋物線與直線只有一個交點M，已知點M在第一象限，且．令，試求t的取值范圍．【詳解】（1）解：∵A（1，3），B（?2，4），C（+2，?2），∴[A]=|1|+|3|=4，[B]=|-2|+|4|=6，[C]=|+2|+|?2|=+2+2-=4；（2）設(shè)D(m，n)，∵D是直線y＝x+2上一點，且[D]＝4，∴，解得或，∴點D的坐標(biāo)（1，3）或（-3，-1）；（3）由題意方程組只有一組實數(shù)解，消去y得，由題意，∴，∴方程可以化為，∴，∴，∵，∴或，解得或，∵點M在第一象限，∴，∵=，∵，∴．10．（雅禮）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（a，b）和點Q（a，b