2024年中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型全歸納（全國(guó)通用）專題40 重要的幾何模型之12345模型（原卷版）

專題40重要的幾何模型之12345模型初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數(shù)學(xué)的始終，無(wú)論是一次函數(shù)、平行四邊形、特殊平行四邊形、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、相似、圓，都離不開(kāi)直角三角形。今天我們要重點(diǎn)介紹的“12345”模型就是中考（選填題）解題神器，需要我們反復(fù)斷鉆研、領(lǐng)悟。現(xiàn)在帶領(lǐng)大家領(lǐng)略一下，“12345”模型的獨(dú)特魅力。【模型解讀】模型1、12345模型及其衍生模型【模型來(lái)源】2019年北京市中考如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝（）°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格交點(diǎn)）．該類問(wèn)題解法很多，這里我們就根據(jù)現(xiàn)有的方格紙來(lái)構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形。如圖，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。上面的∠PAB和∠PBA便是今天要說(shuō)的特殊角，除了它們的和為45°之外，用三角函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看：tan∠PAB=，tan∠PBA=，對(duì)于這里的數(shù)據(jù)，為了便于記憶，總結(jié)為“12345”模型。【常見(jiàn)模型】下面模型中，，2，3，，均為對(duì)應(yīng)角的正切值。 ∠α+∠β＝45°；∠α+45°＝∠GAF；∠DAF+45°＝∠EAH；∠α+∠β＝135°；∠α+∠β＝90°；∠ADB+∠DBA＝∠BAC；∠ADB+∠DBA＝∠BAC；切記：做題不光要知道題目告訴我什么，還要根據(jù)已知的信息，思考這里需要什么，而“12345”模型用來(lái)解決相關(guān)的選填題非常方便。下面所列舉的個(gè)別題，利用“12345”解題也許未必是最簡(jiǎn)，最巧妙的，但至少可以成為一種通性通法，可以在短時(shí)間內(nèi)快速破題。畢竟在考試的時(shí)候時(shí)間非常寶貴的。例1．（2022·四川樂(lè)山·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若，，則CD的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．2例2.（2023.成都市中考模擬）如圖，正方形，，點(diǎn)E為上一動(dòng)點(diǎn)，將三角形沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接并延長(zhǎng)，與邊交于點(diǎn)G，若點(diǎn)G為中點(diǎn)，則．例3.（2023.湖北黃岡.中考真題）如圖，矩形中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線，過(guò)點(diǎn)C作的垂線分別交于點(diǎn)M，N，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．4例4.（2023.四川廣元中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)在點(diǎn)右方，連接，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

例5.（2022.四川瀘州中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作的垂線交正方形外角的平分線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．1例6.（2023.內(nèi)蒙古.中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到．連接，交于點(diǎn)D，則的值為．

例7.（2023.呼和浩特中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接分別交，于點(diǎn)，，且，連接，則，．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1.（2023·深圳市高級(jí)中學(xué)聯(lián)考）如圖，正方形中，是中點(diǎn)，連接，，作交于，交于，交于，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，則的值為（

）

A． B． C． D．2.（2018湖北中考真題）如圖，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中點(diǎn)，將△ABG沿AG對(duì)折至△AFG，延長(zhǎng)GF交DC于點(diǎn)E，則DE長(zhǎng)是()A．1

B．1.5

C．2

D．2.53.（2021宜賓中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，將矩形紙片沿CE，CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)D落在G處，點(diǎn)C，H，G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長(zhǎng)是（）．A．2B．C．D．3CCDBAEFGH4.（2023.湖北九年級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是AB邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE＝2，F(xiàn)是AB邊上一點(diǎn)，將△CEF沿CF翻折，使點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在AD邊上，連接EG交折痕CF于點(diǎn)H，則FH的長(zhǎng)是（

）A． B． C．1 D．5.（2023.浙江中考模擬）如圖，A，B，C，D是邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的6×5網(wǎng)格中的格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，連接．給出4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④6.（2023.山東九年級(jí)期中）如圖，將已知矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對(duì)折，使點(diǎn)B落在AD上，記為點(diǎn)B'，折痕為CE，再將CD邊斜向下對(duì)折，使點(diǎn)D落在B'C上，記為點(diǎn)D'，折痕為CF，若B'D'＝2，BE＝，則矩形紙片ABCD的面積為_(kāi)________．AADBCEFD′B′7.（2022.貴州中考真題）如圖，折疊邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片，折痕是，點(diǎn)落在點(diǎn)處，分別延長(zhǎng)、交于點(diǎn)、，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則cm．8.（2023.成都市九年級(jí)期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∠EAF＝45°，連接AE與BF交于點(diǎn)G，連接AF與DG交于點(diǎn)H，則的值為_(kāi)________．AADBCEFGH9.（2022.北部灣中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB＝，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BE，分別交CD，BD于點(diǎn)F，G，連接BF交AC于點(diǎn)H，將△EFH沿EF翻折，點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則△EGH′的周長(zhǎng)是_________．AADEH′FGHOBC10.（2023.成都市九年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，則AF的長(zhǎng)為.11.（2019鹽城中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-1的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式是_______________．12.（2017無(wú)錫中考真題）在如圖的正方形方格紙上，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于__________．13.（2023甘肅天水中考模擬）如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’位置，OB=，tan∠BOC=，則點(diǎn)A’的坐標(biāo)為_(kāi)___________．14.（2023.廣東九年級(jí)期中）如圖，折疊邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，分別延長(zhǎng)ME，DE交AB于點(diǎn)F，G，若點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，則FG＝_________cm．DDCABFMEG15.（2017浙江麗水中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，則m的值是__________．16.（2023·龍華區(qū)九年級(jí)上期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，AF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，則FG的長(zhǎng)是________．17.（2023·山東·中考模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，BE＝2，則DF的長(zhǎng)為_(kāi)________．AADBCEF18.（2023.廣東九年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則．

19．（21·22·深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)A在反比例函數(shù)y的圖象上．作射線AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交y軸于C點(diǎn)，則△ABC面積為．20．（2023上·紹興·期中）如圖，已知點(diǎn)A（3，3），點(diǎn)B（0，），點(diǎn)A在二次函數(shù)y＝x2+x﹣9的圖象上，作射線AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°，交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．21．（21·22下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的解析式為分別交軸，軸于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)．（1）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，；（2）設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，，若，則的值是．22．（22·23下·泰安·一模）如圖，把一個(gè)矩形紙片放入平面直角坐標(biāo)系中，使分別落在x軸，y軸上，連接，將紙片沿翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)位置，若，，直線與y軸交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為．23．（22·23上·齊齊哈爾·期末）如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，則的值為．24．（2023·運(yùn)城·期末）仿照例題完成任務(wù)：例：如圖