2024年中考數學復習（全國版）第3講 正比例函數與一次函數（考點精析+真題精講）（解析版）

資料整理資料整理資料整理備戰(zhàn)2024中考數學一輪復習備戰(zhàn)2024中考數學一輪復習第3講正比例函數與一次函數№考向解讀第3講正比例函數與一次函數№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第三章函數第3講正比例函數與一次函數→?考點精析←→?真題精講←考向一一次函數和正比例函數的定義考向二一次函數的圖象及性質考向三用待定系數法確定一次函數的解析式第3講正比例函數與一次函數一次函數是中考非常重要的函數,年年考查,總分值為5-10分左右，預計2024年各地中考一定還會考,一般小題的形式考察一次函數的圖象及性質，大題主要以應用題或一次函數與幾何圖形綜合為主?！?考點精析←一、正比例函數的概念一般地，形如y=kx（k是常數，k≠0）的函數，叫做正比例函數，其中k叫做正比例系數．二、一次函數1.一次函數的定義一般地，形如y=kx+b(k，b為常數，且k≠0)的函數叫做x的一次函數.特別地，當一次函數y=kx+b中的b=0時，y=kx（k是常數，k≠0）．這時，y叫做x的正比例函數．2.一次函數的一般形式一次函數的一般形式為y=kx+b，其中k，b為常數，k≠0．一次函數的一般形式的結構特征：（1）k≠0，（2）x的次數是1；（3）常數b可以為任意實數.3.注意（1）正比例函數是一次函數，但一次函數不一定是正比例函數.（2）一般情況下，一次函數的自變量的取值范圍是全體實數.（3）判斷一個函數是不是一次函數，就是判斷它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.三、一次函數的圖象及性質1．正比例函數的圖象特征與性質正比例函數y=kx（k≠0）的圖象是經過原點（0，0）的一條直線．k的符號函數圖象圖象的位置性質k>0圖象經過第一、三象限y隨x的增大而增大k<0圖象經過第二、四象限y隨x的增大而減小2.一次函數的圖象特征與性質（1）一次函數的圖象一次函數的圖象一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是經過點(0，b)和(-，0)的一條直線圖象關系一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數y=kx(k≠0)的圖象平移得到；b>0，向上平移b個單位長度；b<0，向下平移|b|個單位長度圖象確定因為一次函數的圖象是一條直線，由兩點確定一條直線可知畫一次函數圖象時，只要取兩點即可（2）一次函數的性質函數字母取值圖象經過的象限函數性質y=kx+b(k≠0)k>0，b>0一、二、三y隨x的增大而增大k>0，b<0一、三、四y=kx+b(k≠0)k<0，b>0一、二、四y隨x的增大而減小k<0，b<0二、三、四3.k，b的符號與直線y=kx+b（k≠0）的關系在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=-，即直線y=kx+b與x軸交于（–，0）．①當–>0時，即k，b異號時，直線與x軸交于正半軸．②當–=0，即b=0時，直線經過原點．③當–<0，即k，b同號時，直線與x軸交于負半軸．4.兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關系：①當k1=k2，b1≠b2，兩直線平行；②當k1=k2，b1=b2，兩直線重合；③當k1≠k2，b1=b2，兩直線交于y軸上一點；④當k1·k2=–1時，兩直線垂直．四、待定系數法1．定義：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知數的系數，從而得出函數解析式的方法叫做待定系數法．2．待定系數法求正比例函數解析式的一般步驟（1）設含有待定系數的函數解析式為y=kx（k≠0）．（2）把已知條件（自變量與函數的對應值）代入解析式，得到關于系數k的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系數k．（4）將求得的待定系數k的值代入解析式．3．待定系數法求一次函數解析式的一般步驟（1）設出含有待定系數k、b的函數解析式y=kx+b．（2）把兩個已知條件（自變量與函數的對應值）代入解析式，得到關于系數k，b的二元一次方程組．（3）解二元一次方程組，求出k，b．（4）將求得的k，b的值代入解析式．五、一次函數與正比例函數的區(qū)別與聯系正比例函數一次函數區(qū)別一般形式y=kx+b（k是常數，且k≠0）y=kx+b（k，b是常數，且k≠0）圖象經過原點的一條直線一條直線k，b符號的作用k的符號決定其增減性，同時決定直線所經過的象限k的符號決定其增減性；b的符號決定直線與y軸的交點位置；k，b的符號共同決定直線經過的象限求解析式的條件只需要一對x，y的對應值或一個點的坐標需要兩對x，y的對應值或兩個點的坐標聯系比例函數是特殊的一次函數．②正比例函數圖象與一次函數圖象的畫法一樣，都是過兩點畫直線，但畫一次函數的圖象需取兩個不同的點，而畫正比例函數的圖象只要取一個不同于原點的點即可．③一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象可以看作是正比例函數y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|個單位長度得到的．由此可知直線y=kx+b（k≠0，b≠0）與直線y=kx（k≠0）平行．④一次函數與正比例函數有著共同的性質：a．當k>0時，y的值隨x值的增大而增大；b．當k<0時，y的值隨x值的增大而減?。?真題精講←考向一一次函數和正比例函數的定義1．正比例函數是特殊的一次函數．2．正比例函數解析式y=kx（k≠0）的結構特征：①k≠0；②x的次數是1．1．（2020·四川中考真題）已知函數，當函數值為3時，自變量x的值為（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣【答案】A【分析】根據分段函數的解析式分別計算，即可得出結論．【解析】解：若x＜2，當y=3時，﹣x+1=3，解得：x=﹣2；若x≥2，當y=3時，﹣=3，解得：x=﹣，不合題意舍去；∴x=﹣2，故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數的性質、一次函數的圖象上點的坐標特征；根據分段函數進行分段求解是解題的關鍵．2．（2020·四川成都市·九年級二模）下列函數關系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；（3）y＝；（4）y＝x2，其中一次函數的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據一次函數的定義條件進行逐一分析即可．【詳解】解：（1）y＝﹣x是正比例函數，是特殊的一次函數，故正確；（2）y＝x﹣1符合一次函數的定義，故正確；（3）y＝屬于反比例函數，故錯誤；（4）y＝x2屬于二次函數，故錯誤．綜上所述，一次函數的個數是2個．故選：B．【點睛】本題主要考查了一次函數的定義．本題主要考查了一次函數的定義，一次函數y=kx+b的定義條件是：k、b為常數，k≠0，自變量次數為1．考向二一次函數的圖象及性質1．通常畫正比例函數y=kx（k≠0）的圖象時只需取一點（1，k），然后過原點和這一點畫直線．2．當k>0時，函數y=kx（k≠0）的圖象從左向右，呈上升趨勢；當k<0時，函數y=kx（k≠0）的圖象從左向右，呈下降趨勢．3．正比例函數y=kx中，|k|越大，直線y=kx越靠近y軸；|k|越小，直線y=kx越靠近x軸．4．一次函數圖象的位置和函數值y的增減性完全由b和比例系數k的符號決定．3．（2023·四川樂山·統考中考真題）下列各點在函數圖象上的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據一次函數圖象上點的坐標特征，將選項中的各點分別代入函數解析式，進行計算即可得到答案．【詳解】解：一次函數圖象上的點都在函數圖象上，函數圖象上的點都滿足函數解析式，A.當時，，故本選項錯誤，不符合題意；B.當時，，故本選項錯誤，不符合題意；C.當時，，故本選項錯誤，不符合題意；D.當時，，故本選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握一次函數圖象上的點都在函數圖象上，是解題的關鍵．4．（2023·甘肅武威·統考中考真題）若直線（是常數，）經過第一、第三象限，則的值可為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】通過經過的象限判斷比例系數k的取值范圍，進而得出答案．【詳解】∵直線（是常數，）經過第一、第三象限，∴，∴的值可為2，故選：D．【點睛】本題考查正比例函數的圖象與性質，熟記比例系數與圖象經過的象限之間的關系是解題的關鍵．5．（2020·山東濟南·中考真題）若m﹣2，則一次函數的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，進而利用一次函數的性質解答即可．【解析】解：∵m＜﹣2，∴m+1＜0，1﹣m＞0，所以一次函數的圖象經過一，二，四象限，故選：D．【點睛】本題考查的是一次函數的圖像與性質，不等式的基本性質，掌握一次函數中的對函數圖像的影響是解題的關鍵．6．（2023·內蒙古·統考中考真題）在平面直角坐標系中，將正比例函數的圖象向右平移3個單位長度得到一次函數的圖象，則該一次函數的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據一次函數的平移規(guī)律求解即可．【詳解】解：正比例函數的圖象向右平移3個單位長度得：，故選：B．【點睛】題目主要考查一次函數的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解題關鍵．7．（2023·內蒙古通遼·統考中考真題）在平面直角坐標系中，一次函數的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】依據一次函數的圖象經過點和，即可得到一次函數的圖象經過一、三、四象限．【詳解】解：一次函數中，令，則；令，則，∴一次函數的圖象經過點和，∴一次函數的圖象經過一、三、四象限，故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數的圖象，一次函數的圖象是與坐標軸不平行的一條直線．8.（2023·新疆·統考中考真題）一次函數的圖象不經過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據即可求解．【詳解】解：∵一次函數中，∴一次函數的圖象不經過第四象限，故選：D．【點睛】本題考查了一次函數的性質，熟練掌握一次函數的性質是解題的關鍵．9．（2023·甘肅蘭州·統考中考真題）一次函數的函數值y隨x的增大而減小，當時，y的值可以是（

）A．2 B．1 C．－1 D．－2【答案】D【分析】根據一次函數的增減性可得k的取值范圍，再把代入函數，從而判斷函數值y的取值．【詳解】∵一次函數的函數值y隨x的增大而減小∴∴當時，故選：D.【點睛】本題考查一次函數的性質，不等式的性質，熟悉一次函數的性質是解題的關鍵．10．（2023·浙江溫州·統考中考真題）如圖，在直角坐標系中，點在直線上，過點A的直線交y軸于點．

(1)求m的值和直線的函數表達式．(2)若點在線段上，點在直線上，求的最大值．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）把點A的坐標代入直線解析式可求解m，然后設直線的函數解析式為，進而根據待定系數法可進行求解函數解析式；（2）由（1）及題意易得，，則有，然后根據一次函數的性質可進行求解．【詳解】（1）解：把點代入，得．設直線的函數表達式為，把點，代入得，解得，∴直線的函數表達式為．（2）解：∵點在線段上，點在直線上，∴，，∴．∵，∴的值隨的增大而減小，∴當時，的最大值為．【點睛】本題主要考查一次函數的圖象與性質，熟練掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．考向三用待定系數法確定一次函數的解析式運用待定系數法求一次函數解析式的步驟可簡單記為：一設，二代，三解，四回代．11．（2023·內蒙古通遼·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，點，以點P為中心，把點A按逆時針方向旋轉得到點B，在，，，四個點中，直線經過的點是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據含角的直角三角形的性質可得，利用待定系數法可得直線的解析式，依次將四個點的一個坐標代入中可解答．【詳解】解：∵點，點，

∴軸，，由旋轉得：，如圖，過點B作軸于C，∴，∴，∴），設直線的解析式為：，則，∴，∴直線的解析式為：，當時，，∴點不在直線上，當時，，∴在直線上，當時，∴不在直線上，當時，，∴不在直線上．故選：B．【點睛】本題考查的是圖形旋轉變換，待定系數法求一次函數的解析式，確定點B的坐標是解本題的關鍵．12．（2023·江蘇蘇州·統考中考真題）已知一次函數的圖象經過點和，則________________．【答案】【分析】把點和代入，可得，再整體代入求值即可．【詳解】解：∵一次函數的圖象經過點和，∴，即，∴；故答案為：【點睛】本題考查的是一次函數的性質，利用待定系數法求解一次函數的解析式，利用平方差公式分解因式，熟練的利用平方差公式求解代數式的值是解本題的關鍵．14．已知函數y＝(2m+1)x+m﹣3；(1)若函數圖象經過原點，求m的值；(2)若函數圖象在y軸的截距為﹣2，求m的值；(3)若函數的圖象平行直線y＝3x﹣3，求m的值；(4)若這個函數是一次函數，且y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍．【答案】(1)m＝3；(2)m＝1；(3)m＝1；(4)m＜﹣．【分析】(1)根據函數圖象經過原點可得m﹣3＝0，且2m+1≠0，再解即可；(2)根據題意可得m﹣3＝﹣2，解方程即可；(3)根據兩函數圖象平行，k值相等可得2m+1＝3；(4)根據一次函數的性質可得2m+1＜0，再解不等式即可．【詳解】解：(1)∵函數圖象經過原點，∴m﹣3＝0，且2m+1≠0，解得：m＝3；(2)∵函數圖象在y軸的截距為﹣2，∴m﹣3＝﹣2，且2m+1≠0，解得：m＝1；(3)∵函數的圖象平行直線y＝3x﹣3，∴2m+1＝3，解得：m＝1；(4)∵y隨著x的增大而減小，∴2m+1＜0，解得：m＜﹣．【點睛】此題主要考查了一次函數的性質，關鍵是掌握與y軸的交點就是y＝kx+b中，b的值，k＞0，y隨x的增大而增大，函數從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數從左到右下降．14．若與成正比例，且