陜西省咸陽市2023屆高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

咸陽市2023年高考模擬檢測（一）

數(shù)學(xué)（理科）試題

注意事項(xiàng)：

1.本試題共4頁，滿分150分，時(shí)間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題K答案U后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的K答案X標(biāo)

號(hào)繪里，如需上縣市區(qū)下改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它K答案】標(biāo)號(hào)，回答非選擇題

時(shí)，將E答案》寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A=12，°，1，2},Mx］M-2曲〉1},則ACo（）

A.{-2}B.{1}C.{-2,0,l}D.{0,1,2}

K答案DC

K解析』

K祥解H根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集、交集的定義求解作答.

R詳析H由B=HN—2黑）1}得：?B={x∣-2≤%≤l},而A={-2,0,1,2},

所以Al他3）={-2,0,1}.

故選：C

_2

2.已知復(fù)數(shù)z=l-2i的共軌復(fù)數(shù)為［則一=（）

z-i

A.1-iB.2+iC.l+iD.-l+i

K答案HA

K解析H

K祥解』根據(jù)共輔復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解即可.

22

K詳析D解：由題知［=ι+2i,所以一=——=IT

z-il+i

故選：A

3.已知向量α,方都是單位向量，且卜-4=1,則∣a+q=（）

A.1B.√2C.2D.√3

R答案』D

K解析D

K祥解》根據(jù)給定條件，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算作答.

K詳析D向量α，b都是單位向量，且卜-b∣=l,則(U)2+催—2：3=2—2：?力=1，解得2α?6=l，

所以卜z+4=J(α+h)2—y∣a'+∕7^+2a-h=?/?.

故選：D

4.古希臘大哲學(xué)家芝諾提出一個(gè)有名的悖論，其大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏

龜?shù)馁惻苤校乃俣仁菫觚斔俣鹊?0倍，烏龜在他前面100米爬行，他在后面追，但他不可能追上烏龜，

原因是在競賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追了100米時(shí)，烏龜已在他前面爬行了

10米，而當(dāng)他追到烏龜爬行的10米時(shí)，烏龜又向前爬行了1米，就這樣，烏龜會(huì)制造出無窮個(gè)起點(diǎn)，它總

能在起點(diǎn)與自己之間制造出一個(gè)距離，不管這個(gè)距離有多小，只要烏龜不停地向前爬行，阿喀琉斯就永遠(yuǎn)

追不上烏龜.“試問在阿喀琉斯與烏龜?shù)母傎愔?，?dāng)阿喀斯與烏龜相距0.01米時(shí)，烏龜共爬行了()

A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米

K答案，c

K解析H

K祥解》根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列通項(xiàng)及前"項(xiàng)和公式計(jì)算作答.

K詳析D依題意，烏龜爬行距離依次排成一列構(gòu)成等比數(shù)列{4},q=10,公比q=0?l,α,,=0?01,

所以當(dāng)阿喀斯與烏龜相距0.01米時(shí)，烏龜共爬行的距離sn=-?~紅=?—---=11.11.

?-q1-0.1

故選：C

5.設(shè)廣為拋物線C：V=2px(P>O)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，且A到C焦點(diǎn)的距離為3,到y(tǒng)軸的距離為2,

則p—()

A.1B.2C.3D.4

K答案DB

K解析H

R祥解》根據(jù)給定條件，求出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，再利用定義求解作答.

K詳析D拋物線C：V=2px(p>0)焦點(diǎn)/(爭0),準(zhǔn)線方程χ=-g

顯然點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,由拋物線定義得：IAFb2+?^=3,所以P=2.

故選：B

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入。=《，則輸出S=（）

/輸45/

（4束）

157C331

A.—B.-C.-D.—

168432

R答案』A

K解析H

R祥解H根據(jù)給定的程序框圖，運(yùn)行程序，依次計(jì)算判斷作答.

R詳析D執(zhí)行程序，第一次循環(huán)：b=-,s=-,-≥-;第二次循環(huán)：b=-,s=-,-≥-;

2221044410

第三次循環(huán)：0=:,s=2,≥Jτ;第四次循環(huán)：b=4,s=§,4＜」，退出循環(huán)，輸出S=E,

888101616161016

所以S="

16

故選：A

7.已知α,S是兩個(gè)不同平面，a,匕是兩條不同直線，則下列命題正確的是（）

A.若a_La，aΛ.b>則。Pa

B.若?！āǎ琣β=b,a±b,則&J?A

C.若a_LA，aJ_a，b工β,則0_1_。

D.若αJ?A,a?β=b,alb,則

K答案》C

R解析』

K祥解2分別利用線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，面面垂直的性質(zhì)定理判斷即可.

K詳析』對于A,若aJ_a，aYb,則。Pa或Z?Ua,故A錯(cuò)誤，

對于B,若?！ㄊ?，αβ=b,aJ_4寸，可能/與α相交，但不垂直，即不一定α,尸，故B錯(cuò)誤，

對于D,由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，若αβ=b,a1b,α<=α?xí)r，則。_1夕，若α∕α

時(shí)，直線。與平面夕不垂直，故D錯(cuò)誤，

對于C.若αJ■尸，則兩平面的法向量互相垂直，因?yàn)棣?α,bLβ,所以a_Lb,正確

故選：C.

8.在二45C中，角A,B,C的對邊分別是α,b,c,若A=60°,b=l,———二處，則ABC

sinB+sinC3

的面積為（）

A.—B.—C.?D.-

2424

K答案DB

K解析》

K樣解》根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出邊長小再判斷三角形形狀，求出面積作答.

K詳析》在,ABC中，由正弦定理得：—一=工=三，因此,=一——=氈，

sin4SInBSinCsinAsinB+sinC3

則α=拽SinA=mAsin60=史X旦=而匕=1,即有JlBC是正三角形，

3332

所以..ABC的面積SAr=sin60=-

abZ）c24

故選：B

9.如圖，AABC中，4BAC=90°,AB=AC=√2.。為BC的中點(diǎn)，將JLBC沿AD折疊成三棱錐

A-BCD,則當(dāng)該三棱錐體積最大時(shí)它的外接球的表面積為（）

AA

?D

BL-

B.2πC.3πD.4π

K答案』C

K解析D

R祥解11由題可證明Ar>_1_平面BC。，進(jìn)而得BOLOC時(shí)，三角形BCD的面積最大，此時(shí)三棱錐

A-BcD的體積最大，再求在該條件下的幾何體的外接球半徑，進(jìn)而得表面積.

K詳析》解：在一ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=6，。為BC的中點(diǎn),

所以，BC=2,AD=BD=CD=I,ADYBC,

所以，在三棱錐A-BCD中，ADYBD,AD±DC,

因?yàn)?。DC=D,BD,DCu平面BCD,

所以，AZ），平面BeD,

所以，當(dāng)?shù)酌嫒切?CP的面積最大時(shí)，該三棱錐的體積最大，

因?yàn)镾BCo='?OC?sinNBDC=』?sinNBDC≤』，當(dāng)且僅當(dāng)ZBDC=Z時(shí)等號(hào)成立，

2222

所以，當(dāng)BOLOC時(shí)，三角形BC。的面積最大，此時(shí)三棱錐A-BCz）的體積最大，

所以，D4,DB,OC兩兩垂直，

所以，三棱錐A-Bco的外接球即為以D4,0注。C為鄰邊的正方體的外接球，

所以，棱錐A-Ba）的外接球直徑為以D4,f>8,OC為鄰邊的正方體的體對角線，

所以，三棱錐A-BCO的外接球的半徑滿足2r=百，

所以，三棱錐A-BCD的外接球的表面積為4兀∕=3π?

故選：C

42

io.某家族有x,y兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)X性狀的概率為不，出現(xiàn)y性狀的概率為百，X,Y

7

兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為二，則該成員χ,y兩種性狀都出現(xiàn)的概率為（）

K答案』B

R解析H

3

R祥解》設(shè)該家族某成員出現(xiàn)X性狀為事件A,出現(xiàn)F性狀為事件8,進(jìn)而根據(jù)題意得P(ADB)=??,

再結(jié)合P(AB)=P(A)+P(B)-P(AJB)求解P(ACB)即可.

R詳析X解：設(shè)該家族某成員出現(xiàn)X性狀為事件A,出現(xiàn)y性狀為事件8,

則X,Y兩種性狀都不出現(xiàn)為事件McR，兩種性狀都出現(xiàn)為事件ACB，

所以，P(A)=石,P(B)=VP(AB)=-，

所以，P(AB)=l-P(λfi)??,

又因?yàn)镻(AB)=P(A)+P(B)-P(A∣B),

所以，P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=',

故選：B

?22

II.直線/過雙曲線C=-?v=l(4>O/>0))的右焦點(diǎn)F,與雙曲線。的兩條漸近線分別交于A,B兩

ab

點(diǎn)，。為原點(diǎn)，旦Q4?A/=0，3AF=FB，則雙曲線C的離心率為()

A.√2B.√3C.與D.與

K答案UD

K解析D

K樣解》根據(jù)題意得CM_LAF,進(jìn)而結(jié)合雙曲線的性質(zhì)和己知條件得IAq=c,∣AO∣=α,∣AB∣=4),

再根據(jù)NAoB=2NFOB,tanZFOB=-,tanNAOB=竺得=L,進(jìn)而根據(jù)離心率公式求解即

aa{a}2

可.

K詳析D解：如圖，設(shè)直線/”4為雙曲線C的兩條漸近線，

則直線44的方程分別為y=2χ,y=--χ,

aa

因?yàn)?。A?AF=O,所以Q4,4尸，即。ALAF,

I7

因?yàn)镋(G0),直線4的方程分別為y=——%，即法+歐=0,

be

所以尸(GO)到直線4的距離為IAFl=C

Vo2+b2

所以，在直角三角形AOf'中，IAOl=α

因?yàn)?AF=Eδ,所以3府卜閥=3力,

所以，∣AB∣=48,

IABI4b

所以，在直角三角形AoB中，tanNAOB=曰=一,

?AO?α

因?yàn)橹本€4的方程分別為y=2χ,所以tan∕R98=2,

aa

由雙曲線漸近線的對稱性，ZAOB=2/FOB,

2tanZFOB

所以tanZAOB=

I-Ian2ZFOB

整理得上=L

?aj2

12.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足：當(dāng)0≤x≤l時(shí)，/(X)=-%3+3Λ-1,K/(Λ+1)=/(x-l).若

關(guān)于的方程有個(gè)實(shí)根，則a的取值范圍為()

Xf(X)=Iogfl(|XI+1)(?>1)8

A.(1,6)B.(4,6)C.(8,10)D.(10,12)

K答案，B

R解析H

K祥解》分析函數(shù)/(χ)的性質(zhì)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(χ)與y=log<∣χ∣+l)的部分圖象，結(jié)合

圖象列出不等式，求解作答.

K詳析D當(dāng)O≤x≤l時(shí)，/(x)=-d+3x-l,求導(dǎo)得：/'(x)=-3∕+3,顯然當(dāng)0<無<1時(shí)，∕,(x)>(),

即函數(shù)f(χ)在［0,1］上單調(diào)遞增，而/O)是R上的偶函數(shù)，則f(χ)在上單調(diào)遞減，

又/(x+l)=∕(x-l),即/(x+2)=∕(x),因此函數(shù)Ax)是周期函數(shù)，周期為2,且

/(?)min=-l√Wmax=1>

函數(shù)y=log"(∣x∣+D,a>I是R上的偶函數(shù)，在(-8,0］上單調(diào)遞減，在［0,+8)上單調(diào)遞增，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=∕(χ)與y=log"(∣χ∣+l)(α>l)的部分圖象，如圖，

關(guān)于X的方程F(X)=Iog0(IX1+1)(?>1)的根，即是函數(shù)y=F(X)與y=Ioga(IXl+l)(α>1)的圖象交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)，

依題意，函數(shù)y=f(χ)與>=1。8式1刈+1)(。>1)的圖象有8交點(diǎn)，貝IJ在x>o時(shí)，有4個(gè)交點(diǎn)，

觀察圖象知，log,,4<l<log"6,解得4<α<6,

所以”的取值范圍為(4,6).

故選：B

H點(diǎn)石成金D思路『點(diǎn)石成金J：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為兩

個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.

第∏卷(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.受新冠病毒肺炎影響，某學(xué)校按照上級文件精神，要求錯(cuò)峰放學(xué)去食堂吃飯，高三年級一層樓有四個(gè)班

排隊(duì)，甲班不能排在最后，且乙、丙班必須排在一起，則這四個(gè)班排隊(duì)吃飯不同方案有種(用

數(shù)字作答).

R答案』8

K解析D

K樣解Il根據(jù)相鄰問題捆綁法，特殊位置(元素)法求解即可.

K詳析』解：先將乙、丙班排序，并綁在一起，看成一個(gè)元素，有A；種方案，

此時(shí)考慮將甲，丁及乙、丙的整體3個(gè)元素排序，

由于甲班不能排在最后，故將甲班選取1個(gè)位置安排，有8種方案，

最后，再將丁及乙、丙的整體安排在剩下的兩個(gè)位置上，有A；種方案，

所以，根據(jù)乘法原理，共有A；可A；=8種方案.

故K答案H為：8

14.已知半徑為1的圓過點(diǎn)(1,6),則該圓圓心到原點(diǎn)距離的最大值為.

K答案X3

R解析2

K祥解男設(shè)該圓圓心為(χ,y),進(jìn)而得該圓圓心的軌跡是以點(diǎn)(1,6)為圓心，1為半徑的圓，再結(jié)合圓上

的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離求最值即可.

K詳析11解：設(shè)該圓圓心為(χ,y),因?yàn)榘霃綖?的圓過點(diǎn)(1,6),

所以，(X-I)2+(y_G『=],

所以，該圓圓心的軌跡是以點(diǎn)(1,6)為圓心，1為半徑的圓，

因?yàn)?1,6)到原點(diǎn)的距離為2,

所以，該圓圓心到原點(diǎn)的距離的最大值為2+1=3

故K答案H為：3

15.設(shè)函數(shù)/(x)=ASin(3x+e)(A>0,<υ>0)相鄰兩條對稱軸之間的距離為%T=4,則網(wǎng)的

最小值為.

K答案，：兀##W1兀

66

K解析D

R祥解11根據(jù)給定的條件，求出函數(shù)/(χ)的周期，進(jìn)而求出再利用最值求出。的表達(dá)式作答.

Tr

R詳析》因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=ASinWx+°)(A>O,tυ>O)相鄰兩條對稱軸之間的距離為萬，則函數(shù)f(χ)的

周期丁=兀，

2πCJrTC71

0=于=2,又/A，因此2×—?^φ—ku+—,&∈Z,即O=kit—,k∈Z,

326

所以當(dāng)％=0時(shí)，?lin=f

IT

故K答案D為：?

6

2?χ≤0

16.已知函數(shù)/(X)=χ>o,則函數(shù)g(x)=/(X)-3∕(x)+2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

K答案H6

K解析，

K祥解》由題知/(x)=l或/(x)=2,進(jìn)而作出函數(shù)/(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.

K詳析』解:令g(x)=O,即/(x)-3∕(x)+2=0,解得F(X)=I或f(x)=2,

作出函數(shù)/(x)的圖象如圖,

由圖可知，方程/(x)=l有3個(gè)實(shí)數(shù)解，/(x)=2有3個(gè)實(shí)數(shù)解，且均互不相同，

所以，g(x)=O的實(shí)數(shù)解有6個(gè)，

所以，函數(shù)8(力=/2(力一3"力+2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6個(gè).

故K答案X為：6

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17-21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.已知數(shù)列｛0,,｝的前n項(xiàng)之積為Si=2竽(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)公差不為O的等差數(shù)列也｝中，々=1,,求數(shù)列｛an-bn｝的前〃項(xiàng)和7；.請從①耳=?；

②a+么=8這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)條件，補(bǔ)充在上面的問題中并作答注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，則

按照第一個(gè)解答計(jì)分.

R答案U(1)

,,

(2)條件選擇見R解析1,Tn=(n-2)?1+.

R解析D

K祥解II(I)根據(jù)給定條件，利用前〃項(xiàng)積的意義求解作答.

(2)選擇條件①②，結(jié)合等差數(shù)列求出抄“｝的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求解作答.

R小問1詳析)

,、rt(H-∣)S婦)業(yè)業(yè)為

因?yàn)閿?shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)之積為S,,=2k("∈N*),則當(dāng)〃≥2時(shí)，4=工=222=2"τ,

而當(dāng)〃=1時(shí)，q=S]=1滿足上式，

所以數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式是勺=2"τ.

K小問2詳析』

選①，片=&，設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為止而4=1,則(l+d)2=l+3”,又dHθ,解得d=l,

,l

因此a=n,anbn=∕z?2'^,

則C,=lχ2°+2χ2∣+3χ22++(n-l)×2,,-2+n×2',~'

n

于是得27；=lχ2∣+2x2?+3χ23++^n.^x2-'+n×2"

I-On

兩式相減得一7；=1+2++2"T—〃?2"=1方—〃?2"=(1-〃>2"—1,

所以7；=(〃一?)？"1+.

選②，&+4=8,而數(shù)列也｝是等差數(shù)列，則2"=8,即d=4,又4=1,則公差d=勾二互=1,

4—1

因此d=",an?bn="?2"T,

則(=1X2°+2X2∣+3X22++(n-l)x2,,^2+n×2,'^l

于是得M1n

27；=lx2∣+2x2?+3χ23++(Π-1)×2-+n×2

]-2n

兩式相減得一7；=1+2++2'1-幾?2"=+1一〃?2〃=(1一〃)?2〃一1,

所以＜=（〃一2）?"1+.

18.某學(xué)校為研究高三學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對該校400名高三學(xué)生（其中女生220名）

平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，得到下表：

平均每天鍛煉時(shí)間（分鐘）[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

人數(shù)4072881008020

將日平均體育鍛煉時(shí)間在40分鐘以上的學(xué)生稱為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”，調(diào)查知女生有40人為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”

（1）完成下面2×2列聯(lián)表，試問：能否有99.9%以上的把握認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”與性別有關(guān)？

鍛煉達(dá)標(biāo)生鍛煉不達(dá)標(biāo)合計(jì)

男

女

合計(jì)400

附：Kl=：-----J'"，J'、7------,其中“=α+b+c+d.

(α+b)(c+d)(α+c)S+d)

p(y≥κ°)0.1000.0500.0100.001

K。2.7063.8416.63510.828

（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)生”中用分層抽樣方法抽取10人進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流，再從這10人中選2人作重點(diǎn)發(fā)

言，記這2人中女生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

K答案II（I）填表見K解析》有99.9%以上把認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”與有關(guān)

4

（2）分布列見K解析H；期望為二

K解析D

K樣解Il（I）計(jì)算出K?的值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；

（2）列出隨即變量X的分布列，利用期望的公式計(jì)算可得.

K小問1詳析）

補(bǔ)充完整的2x2列聯(lián)表如下:

鍛煉達(dá)標(biāo)生鍛煉不達(dá)標(biāo)合計(jì)

男60120180

女40180220

合計(jì)100300400

???K：=4100x(60x180-40x120)2=理。^12>10,82

180×220×100×30033

.?.有99.9%以上的把認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”與有關(guān).

K小問2詳析R

“鍛煉達(dá)標(biāo)生”中男女人數(shù)之比為60：40=3：2,抽取的男生有6,女生有4人，

易知X=0,1,2,P(X=O)=*=!，P(X=I)==P(X=2)=*=S

jo?jo??^lO??

X的分布列為：

X012

?82

P

31515

jQ24

E(X)=Ox-+lx—+2χ—二

v7315155

19.如圖，直三棱柱ABC-A4G中，AC=BC=A%,。為CG上一點(diǎn).

(I)證明：當(dāng)。為CG的中點(diǎn)時(shí)，平面A/r>_L平面ABdA；

(2)若NACB=90。，異面直線AB和所成角余弦值為當(dāng)時(shí)，求二面角

3-4。一A的余弦值.

K答案I)(I)證明見K解析》

⑵逅

6

K解析工

K祥解II(I)利用面面垂直的判定定理證明即可；

(2)以C為原點(diǎn)，直線C4,CB,CG分別為X,?Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角公式求解

即可；或者利用異面直線的定義作出異面直線AB和4。所成角，利用余弦定理求出G。的長度，再利用

二面角的定義作出二面角6-A平面角，即可求解.

R小問1詳析』

證明：如圖，分別取A∣6,4月的中點(diǎn)E,F,連接OE,EF,FC1,

易知FE=Go,且FE〃G。，；?GoEb是平行四邊形，/〃。E.

由AIel=4G，/為4月的中點(diǎn)，可知GFJ_4與，

而平面ABlG，平面45瓦4,且平面4耳GC平面ABga=AA,GPU平面A1gG,

,

..Gfj"平面ABBlAI.

又?.?CtF//DE,：.OEL平面ABB,A,

而。EU平面4BO,.?.平面平面ABgΛ1.

K小問2詳析?

方法1：

不妨設(shè)AC=BC=A4,=2,ClD=m,注意到A8〃44，知∕B∣4O或其補(bǔ)角為異面直線AB和4。所

成角，

2

在44A。中，AiBl=2√2,AD=C÷m，

(√4+m2)2+(2√2)2-(√4+w2)2

易知半=CoSNBAD解得m=1,

2×√4+λ∕？×2>∕2

即。為CG的中點(diǎn),

如圖，延長4。交AC的延長線于尸，，連接BE',過C作CEJ_OE'于E',連接BE',

?.?AC,GCU平面4Af',BC±AC,BCYClC,ACClC^C,

：.BCl平面4Ak,.?.BC?DF',

又,.?CE'λ.DF',：.DFl平面BCE',：.DF'1.BE

，NBEC為二面角8-A∣D-A平面角，

2Rr

在Rtz?5CE'中，BC=2,CE'=-,得tan∕8E'C=——=√5,

√r5CE'

；?COSNBBC=直,

6

即二面角6-4。一A的平面角的余弦值為逅

6

方法2：

取C為原點(diǎn)，直線C4,CB,CG分別為X,y,Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-孫Z,

4G

C

yB

不妨設(shè)AC=BC=Λ4,=2,CD=m,則A(2,0,0),B(0,2,0),4(2,0,2),D(0,0,m),

ΛAB=(-2,2,0),AtD=(-2,0,m-2).

A8?A0_(-2,2,0>(2,0,加2)M

225，解得m=l.

IABHAU2√2?λ∕(-2)+(m-2)

由已知可得平面4A。的一個(gè)法向量為4=(0,1,0),

__UU

易知A8=(-2,2,-2),=(-2,0,-1),設(shè)平面AB。的法向量為%=(χ,y,z),

J∕∕2?Λ1B=0C(Λ,y,z)?(-2,2,-2)=0[-x+y-z=O

由1〃2,4。=0得(x,y,z)?(-2,0,-1)=0=(2x+z=0，

ni?n2_(0,1,0)-(1,-1,-2)_?/e

可取巧=(1,一1,一2),則cos<π,,n2>=

.?.二面角6-4。一A的平面角的余弦值為逅.

20.已知橢圓C：［+與=l(a>b>O)的離心率為乂上，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為4.

ab2

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)的直線/與圓龍2+>2=ι相切且與橢圓C交于A、8兩點(diǎn)，求IAH的最大值.

K答案H(1)

(2)2

K解析》

K祥解》(1)根據(jù)已知條件可得出關(guān)于。、b、C的方程，解出。、6的值，可得出橢圓C的方程；

(2)分析可知，直線/不與X軸平行或重合，設(shè)直線/的方程為x=)+m,利用直線/與圓V+y2=ι相切

可得出根2=1+產(chǎn)，將直線/的方程與橢圓。的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式以及基本不等式可

求得IABl的最大值.

R小問1詳析』

解：橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為Jχ2αx28=2α8=4,

2

a2^b2+c2

由題意可得,—=,解得a=2,b=?.

a2

cιb=2

所以，橢圓C的方程為三+y2=ι.

4-

K小問2詳析》

解：若直線/與X軸平行或重合，此時(shí)直線/與圓/+y2=i相交，不合乎題意,

Iml

設(shè)直線I的方程為x=ty+m,由題意可得一號(hào)==1即Z∏2=1+/.

Jl+產(chǎn)

x=ty+m

聯(lián)立《消去X得((y+m)2+4y2=4,即任+4)/+2tmy+rn1-4=0,

X2+4y2=4

Δ=(2Zm)2-4(f2+4)(m2-4)=16(r2+4-m2)=3>0.

2tm加2-4

設(shè)A(Xl,%)、B(Λ,%),貝IJx+%=一

2J2-『+4

所以，IABl=JI+戶|x—%∣=Jl+Lj(y+4)2-4Xy2

J16(r+4-也_4#)

Vi+/2Vi+/2?

『+4r+4

”與乎=2

令=則產(chǎn)=〃2—1，則3

2月

當(dāng)且僅當(dāng)〃=6時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)/=±也，加=±百.

故IAM的最大值為2?

U點(diǎn)石成金」H方法［點(diǎn)石成金』：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函

數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

21.已知函數(shù)=XeR).

(1)求/(χ)的單調(diào)區(qū)間;

兀2

(2)若對于任意的XW0,-,"x)≥"恒成立，求證：k<-.

πe

/3兀TT1?TT5兀?

K答案U(1)遞增區(qū)間為∣2Zτι——,2kτt+—l(?∈Z);遞減區(qū)間為[2E+[,2/71+7-J(Z∈Z)

44

(2)證明見K解析》

K解析，

K祥解W(I)利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

(2)由題知岑N行對于任意的XJOA/兀

恒成立，進(jìn)而分X=O時(shí)和工E[0,,時(shí)兩種情況討論求解即

eL2

可.

R小問1詳析』

/

π

解：/、Cosx-Sinx逝cos無+一

I4

/3=^=—

ev

[π兀π

令用x)>0,則cosX+—>0,即2E-—<Λ+-<2E+](Z∈Z),

I424

(3兀Jr)

解得了(X)的遞增區(qū)間為I2E—,2^π+-l(?∈Z);

π即

令r(x)<0,則COSX~\—<0,2Aπ+5<x+:<2E+g(ZwZ),

4

(IT5冗?

解得/(x)的遞減區(qū)間為122兀+^,2&兀+7~)(&∈Z).

所以，/(x)的遞增區(qū)間為(2E-弓=+∈Z)(Ti5TC

'遞減區(qū)間為[2而+了2也+彳(k∈Z)

K小問2詳析』

JT

證明：因?yàn)?，對于任意的Xe0，-,/(x)≥履恒成立,

sinx

所以,≥證對于任意的XeOg卜亙成立，

ex

當(dāng)％=O時(shí)，4∈R；

.,SinX

當(dāng)xe%時(shí)，k≤--

xe

xcosx-sinΛ-Λsinx

所以，g'(x)

令∕z(x)=XcOSX-SinX-XSinX,x∈

所以，/(X)=—XSinX-SinX-XCOSX<。在X∈上恒成立,

所以，∕z(x)在(0,5上單調(diào)遞減，

所以，Λ(x)<Λ(O)=O,即g'(x)<O在Xe(Og上恒成立

所以，8(尤)在(0e上單調(diào)遞減，

22

所以，k≤-<-.

2

綜上，k<-.

Rr點(diǎn)石成金D關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題第二問解題的關(guān)鍵在于分離參數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)

的最小值問題.

(二)選考題：共10分，考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)

分.

K選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程H

22.在直角坐標(biāo)系XO)，中，直線/的參數(shù)方程為