2023屆高考數(shù)學(xué)試題一輪總復(fù)習(xí)題型練習(xí)第4講一元二次不等式及其解法講義

第4講一元二次不等式及其解法

不含參的二次不等式的解法

，考點(diǎn)1：一元二次不等式的解法耳_含參二欠不等靛解法

(\分式不等式或高次不等式的解法

在R上的恒成立叵題

考點(diǎn)2:一元二次不等式恒成立問題」在給定區(qū)間內(nèi)恒血

一元二次不等式及其解法τz--------

《\給定參數(shù)范圍內(nèi)恒成立，求X的范圍

]由根的限制條件求參數(shù)

\/二次方程在翔范圍內(nèi)有解求參數(shù)

\考點(diǎn)3:一元二次方程根的分布問題Φ--------------------

、------------------------------------------------A二次不等式在區(qū)間內(nèi)有解求參數(shù)

\二次不等式有整數(shù)解求參數(shù)

!---------------再

走進(jìn)教材?自主回顧

1.一元一次不等式0x>b(4≠0)的解集

⑴當(dāng)“>0時(shí),解集為{]x[}?

⑵當(dāng)?<0時(shí),解集為卜,4}.

2.三個(gè)“二次”間的關(guān)系

判別式

J>0/=0J<0

Δ=b2~Aac

二次函數(shù)

2L

y=ax+bx/V

O∕xX

+c(">0)的2

圖象

一元二次方

有兩個(gè)相異實(shí)有兩個(gè)相等實(shí)

程ax2+bx沒有實(shí)

根Xi?X2(Xl根X[=X2

+c=O(a>O)=_包數(shù)根

<X2)=F

的根

一元二次不等

式ax2+bx+c{X?X>X2

Λ-R

>0(a>0)或X<5}M≠?)

的解集

ax2+bx+c{小y}9?

<0(4>0)

的解集

。常用結(jié)論

1.分式不等式的解法

f(X)

⑴就豆->0(<0)次)xg(x)>O(<O).

?f(X)g(X)≥0(<0)

⑵?f(X≡)0)?

Ig(X)≠0.

2.兩個(gè)恒成立的充要條件

a>0，

(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0對任意實(shí)數(shù)X恒成立?L

/一4。CV0.

a<0,

⑵一元二次不等式ax2+bx+c<0對任意實(shí)數(shù)X恒成立?彳?

b2~4ac<0.

考點(diǎn)探究f題型突破

?考點(diǎn)1一元二次不等式的解法

［名師點(diǎn)睛］

(1)解一元二次不等式的方法和步驟

化f海不摹無爰形為三王示X?^λ?f??^?'???'

判→?'?*?????^lJ?...............................

*：^?????W?^???^,^^????j?ι^`

*f，式說明方程有沒有實(shí)根

寫—?∣iffl'','λT?W?;??????"?Λ?????

(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

①二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論參數(shù)是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二

次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式；

②判斷一元二次不等式所對應(yīng)的方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，即討論判別式/與。的關(guān)系；

③確定方程無實(shí)根或有兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)，可直接寫出解集；確定方程有兩個(gè)相異實(shí)根時(shí)，要討論兩實(shí)

根的大小關(guān)系，從而確定解集.

［典例］

1.(2021?湖南?衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí))不等式2f-x-l<0解集為(???????)

02/23

A.{x??<x<2}B.{x?-2<x<?}C.{小>2或χvl}D.jx∣-∣<x<lj

2.(2021?四川省敘永第一中學(xué)校高三階段練習(xí))解下列關(guān)于X的不等式：

2

(1)----r≤3;

x-?

(2)ΛV2+(2t7—l)x—2<0(4vθ).

[舉一反三]

1.(2022?浙江寧波?二模)已知集合42X-3<O},B={x∣l≤x≤5},則AB=(???????)

A.(-1,3]B.[1,3)C.(-1,5]D.(3,5]

2.(2022?全國?模擬預(yù)測)設(shè)集合A=N工>θ1,B={Λ∣X2-7X+10≥0},貝IJ低A)C8=(?????)

A.{x∣-2<x<2}B.{x∣-2≤x≤2∣

C.{Λ∣X≤4或xN5}D.{x∣x≤2或x≥5}

3.(2021?福建省長汀縣第一中學(xué)高三階段練習(xí))解關(guān)于X的不等式：(α+I)X2-(2α+3)x+2<0(α≥-l).

4.(2021?廣東?普寧市大長隴中學(xué)高三階段練習(xí))已知二次函數(shù)y=32+fev-n+2.

⑴若關(guān)于X的不等式αr2+fev-α+2>0的解集是{x∣-lVx<3},求實(shí)數(shù)。，匕的值；

(2)若b=2,α>0,解關(guān)于X的不等式OV2+bx-q+2>0.

A考點(diǎn)2一元二次不等式恒成立問題

[名師點(diǎn)睛1

L一元二次不等式在R上恒成立的條件

(1)不等式Or2+bx+c≥O對任意實(shí)數(shù)X恒成立的條件是：

①當(dāng)”=0時(shí)，b=0,c≥0;

—?a>0,

②當(dāng)今O時(shí)，

M<0.

(2)不等式αx2+?x+c<O對任意實(shí)數(shù)X恒成立的條件是：

①當(dāng)α=0時(shí)，?=0,c<0;

…[a<0,

②當(dāng)a≠0時(shí)，

u<o.

2.一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立的求解方法

設(shè)J(X)=ajc2+bx+c(a≠O).

b或卜拉，

F"

⑴當(dāng)。＜0時(shí)，於)vo在％∈α夕]上恒成立?V或J<0.

/?a?<0

[∕7β9>0

Λ^)>0在XG[a,加上恒成立?：八’

l∕∕a7>0.

(2)當(dāng)0>0時(shí)，

仍HVo

危)<0在x∈[α,0上恒成立?二:「

If!a!<0.

fh

--<Q

兀0>0在XeI?,0]上恒成立？2a或或J<0.

7???>07?夕?>0

3.轉(zhuǎn)換主元法解給定參數(shù)范圍問題

解給定參數(shù)范圍的不等式恒成立問題，若在分離參數(shù)時(shí)會遇到討論的情況，或者即使能容易分離出參

數(shù)與變量，但函數(shù)的最值難以求出，可考慮變換思維角度，即把變量與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量

的函數(shù)，再根據(jù)原參數(shù)的范圍列式求解.

[典例]

1.(2022?全國?高三專題練習(xí))不等式(a+l)χ2-(α+l)χ-l＜。對一切實(shí)數(shù)X恒成立，則n的取值范圍是

(999799?)

A.lva＜5B.-5VaV—1

C.—5vα≤—1D.-3＜。4—1

2.(2021?河北?石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)高三開學(xué)考試)若關(guān)于X的不等式V+20r+L0在[0,+W)上恒成立,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(θ,+∞)B.[-1,+∞)C.[-∣,1]D.[θ,+e)

3.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知αe[-l,1],不等式x?+(α-4)x+4-24＞0恒成立，則X的取值范圍為

()

A.(~∞,2)(3,+8)B.S,Dl(2,+8)

C.(-8,?)i(3,+oo)D.(1,3)

[舉一反=I

1.(2022?江蘇南通?模擬預(yù)測)當(dāng)XeR時(shí),不等式d一2χ-1一α≥O恒成立,則實(shí)數(shù)4的取值范圍是(???????)

A.(-∞,-2]B.(-∞,-2)

C.(→Λ,0]D.(-8,0)

04/23

2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知αeR,“加+2以_1<0對VX∈R恒成立"的一個(gè)充要條件是(???????)

A.—1<tz<OB.-l<tz≤OC.-l≤tz<OD.-l≤α≤0

3.(2022?全國?高三專題練習(xí))若不等式(α-2)f+4(α-2)x+3>0的解集為R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

(9997999)

B.吟

D.(-∞,2]<jf—>+∞

C.(-∞,2)u卜8

4.(2022?全國?高三專題練習(xí))不等式加+5x-74>3-2f對一切α∈(-1,0)恒成立，則實(shí)數(shù)X的取值范圍

是(9999999)

A.(-∞,-4]u；,+8)B.(→o,-4]o[-l,+∞)

C.(+1)D?卜4,g)

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))若對任意的工€[-1,0],-2/+?+2+機(jī)￡0恒成立，則〃1的取值范圍是

(9999999)

A.[4,+oo)B.[2,+oo)C.(-∞,4]D.(-∞,2]

6.(2021?江蘇常州?高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(X)=V-OT-I,當(dāng)xe[0,3]時(shí)，∣f(x)∣45恒成立，則實(shí)數(shù)〃

的取值范圍為.

7.(2022?浙江?高三專題練習(xí))若關(guān)于X的不等式1°-F3>1對任意的「等°，2)恒成立，則實(shí)數(shù)々的取

kx+2x-X

值范圍為.

8.(2021?重慶市涪陵高級中學(xué)校高三階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(X)="i√TnY-L

(1)若對于一切實(shí)數(shù)X,/(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍;

⑵若對于x∈[l,3],F(X)<τn+5恒成立,求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

A考點(diǎn)3一元二次方程根的分布問題

[名師點(diǎn)睛]

1.設(shè)一元二次方程αχ2+5x+c=0(α≠0)的兩實(shí)根為Xi,如且x∣S?,k為常數(shù)，則一元二次方程根和k

的分布(即尤I,初相對于女的位置)有以下若干定理.

定理1：xι<%<T2(即一個(gè)根小于左,一個(gè)根大于k)?碉%)<0.

ZI=按―4αc≥0,

q∕7?7>O,

定理3：汨土2<%（即兩根都小于左）?'

2.一元二次不等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解的求解方法

⑴一元二次不等式加+bx+c>°在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解噌f4>，OC,WR或ILaV=0,〃一4心。.

⑵一元二次不等式加+法+”°在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解?[心/=0墳,一心6Z<0,

0或'

bic∈R.

3.在區(qū)間內(nèi)有解，可以參變分離為。次X）或。勺（無）的形式，轉(zhuǎn)化為。次X）min或。勺（X）max；也可以通過對

立命題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)無解，從而轉(zhuǎn)化為恒成立問題.

[典例]

1.（2022?重慶一中高三階段練習(xí)）若方程_/+妙+4=0的兩實(shí)根中一個(gè)小于_1,另一個(gè)大于2,則n的

取值范圍是（）

A.（0,3）B.[0,3]C.（-3,0）D.（—,1）（3,+∞）

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若不等式丁一2了-m<0在*€；，2上有解，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（???????）

06/23

A.［-l,+∞)B.(-l,+∞)

C.(-?∣+00)D.(0,+∞)

3.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知aeZ,關(guān)于X的一元二次不等式χ2-6χ+α≤0的解集中有且僅有3個(gè)整

數(shù)，則所有符合條件的。的值之和是(???????)

A.13B.18C.21D.26

［舉一反三］

1.(2022?黑龍江?哈爾濱市第六中學(xué)校高三開學(xué)考試(理))關(guān)于X的方程f+G"-2)x+6-機(jī)=0的兩根者B

大于2,則加的取值范圍是(???????)

A.(-∞,-2√5)u(2√5,+∞)B.(-6,-2√5］

C.(-6,-2)u(2√5,+∞)D.(-8,-2)

2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知關(guān)于X的不等式加-2x+4α<0在(。⑵上有解，則實(shí)數(shù)”的取值范圍

是(7999979)

A.B.(展+OO)C.(-°o,2)D.(2,+∞)

3.(2022?江蘇?高三專題練習(xí))已知關(guān)于X的不等式Y(jié)-αr+INO在區(qū)間U,2］上有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為(999Q999)

55

A.(Z≤2B.α≥2C.o≥—D.a≤一

22

4.(2022?全國?高三專題練習(xí))若關(guān)于X的不等式f-4x-2-a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)q的取值

范圍是()

A.(―∞,-2)B.(-∞,-2］C.(-6,+∞)D.(―∞,—6)

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知關(guān)于X的不等式χ2-0v+1NO在區(qū)間U,2］上有解，則實(shí)數(shù)”的取值范圍

為

6.(2022?全國?高三專題練習(xí))若關(guān)于X的不等式α√+2x+l<0有實(shí)數(shù)解，則。的取值范圍是_____-

7.(2022?全國?高三專題練習(xí))若一元二次方程皿2-(加+l)x+3=0的兩個(gè)實(shí)根都大于一1,則用的取值范

圍____

8.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=Anr2_儂一1,若對于任意的xe{x∣lWx43},/(χ)<-m+4

恒成立，則實(shí)數(shù)用的取值范圍為.

9.(2021?江蘇?儀征市第二中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=∕-(2a+3)x+6(4eR).

(1)當(dāng)α=l時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)；

(2)解關(guān)于X的不等式等幻<03>0)；

(3)當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)/(X)，，一(〃?+5求+3+團(tuán)在［-2,2］有解，求實(shí)數(shù)用的取值范圍

第4講一元二次不等式及其解法

不含參的二次不等式的解法

考點(diǎn)1：一元二次不等式的解法4含參:欠不等會解法

C\分式不等用滴次不等式的解法

,在R上的恒成立問題

j考點(diǎn)2:一元二次不等式恒成立問題/在給定區(qū)間內(nèi)恒成立

一元二次不等式及其解法彳/----------------AL-------------V----

〈\給定參數(shù)范圍內(nèi)恒成立，求X的范圉

\由根的限制條件求參數(shù)

?J二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解求參數(shù)

考點(diǎn)3:一元二次方程根的分布問題》-----------------------------

X--------------------------------------——飛二次不第C在區(qū)間內(nèi)有解求參數(shù)

\二次不等式有整數(shù)解求參數(shù)

I........-Φ-_____

走1井教材?自回顧

1.一元一次不等式αx>伙〃翔)的解集

⑴當(dāng)α>0時(shí),解集為｛W｝?

⑵當(dāng)a<0時(shí),解集為卜尾｝.

2.三個(gè)“二次”間的關(guān)系

判別式

J>0/=0J<0

Δ=b2~Aac

二次函數(shù)

￥

y=ax2+bx*V

+c(">0)的

圖象

一元二次方

有兩個(gè)相異實(shí)有兩個(gè)相等實(shí)

程ax2+bx沒有實(shí)

根Xi?X2(X［根x?=Xl

+c=O(tz>O)數(shù)根

=_b_

<X2)=一五

的根

一元二次不等[X?X>X2{4χ≠-?R

08/23

式αx2+?x+c或L}

>0(<2>0)

的解集

cυc2+bx+c

<0(G>0){X?X?<X<X2]??

的解集

◎常用結(jié)論

1.分式不等式的解法

(1)^γ->0(<0)W^ω>0(<0).

f(χ)?f(X)g(X)>0(Wo)'

(2/-,λ->0(≤0)?

g(X)［g(X)≠0.

2.兩個(gè)恒成立的充要條件

a>0,

(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0對任意實(shí)數(shù)X恒成立?《，

b2-4ac<0.

a<0,

(2)一元二次不等式(小+歷c+c<O對任意實(shí)數(shù)入恒成立?《，,C

b2~4ac<0.

T考點(diǎn)探究?題型突破≡

?考點(diǎn)1一元二次不等式的解法

［名師點(diǎn)睛］

(1)解一元二次不等式的方法和步驟

化f海不摹無凌力'%三法質(zhì)???λ?f?????Λ

判................

出「??7?而二元三彳蘇就向宿：/藏轉(zhuǎn)藥前”

*一：式說明方程有沒有實(shí)根

寫—?∣iffl^,?Λτiw?;÷????tr?Λ????MM

(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

①二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論參數(shù)是等于O，小于O，還是大于O，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二

次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式；

②判斷一元二次不等式所對應(yīng)的方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，即討論判別式/與O的關(guān)系；

③確定方程無實(shí)根或有兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)，可直接寫出解集；確定方程有兩個(gè)相異實(shí)根時(shí)，要討論兩實(shí)

根的大小關(guān)系，從而確定解集.

[典例]

1.(2021?湖南?衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí))不等式2Y-χT<0解集為(???????)

A.{x∣l<x<2}B.{x∣-2<x<l}C.{x∣x>2或XV1}D.{x-g<x<l)

【答案】D

【解析】丁2寸一工一1<0,一?一；<工<1,二?不等式2χ2—太一1<0解集為]?j-g<x<1}.

故選：D.

2.(2021?四川省敘永第一中學(xué)校高三階段練習(xí))解下列關(guān)于X的不等式：

2

(1)—r≤3;

X-I

(2)Cix2+(2tz—l)x—2<O(4vθ).

【解】⑴由-?43,得二7-3≤0,即三手≤0

X-IX-IX-I

則(5—3x)(x-l)40且χ≠l,解得：(-∞,l)i[∣,+∞)

(2)當(dāng)α=-g時(shí)，原不等式=(一；X-I)(X+2)<0,解的{x∣x≠-2};

當(dāng)時(shí)，原不等式=(αxT)(x+2)<0,又1>_2所以解集為(F,-2)U(L+∞);

當(dāng)-g<α<O時(shí)，因?yàn)開1<_2所以解集為(口」)一(-2,+8).

綜上有，α=-g時(shí)，解集為{x∣x≠-2};

。<一!時(shí)，解集為(~∞,-2)(1,+8)；

-1<a<0時(shí)，解集為(-∞,L)(-2,+∞).

[舉一反三]

1.(2022?浙江寧波?二模)已知集合A={X,-2X-3<()},B={x∣l≤x≤5},則AB=(???????)

A.(-I,3]B.[1,3)C.(-1,5]D.(3,5]

【答案】B

【解析】由題意，A={X∣X2-2X-3<0}={X∣-1<X<3},

10/23

故AC8={x∣-l<%v3}c{x∣l≤x≤5∣={x∣1<x<3},

故選：B

2.(2022?全國?模擬預(yù)測)設(shè)集合A=18={Mχ2-7x+10≥()},則佃A)CB=(?????)

A.{x∣-2<x<2}B.{x∣-2≤x≤2}

C.{RX≤4或x≥5}D.{RX≤2或x≥5}

【答案】B

【解析】由不等式N>0,解得x<—2或x>4,所以A={x∣x<-2或x>4},

又由不等式f-7x+10≥0,解得x≤2或x25,所以B={x∣x≤2或/5},

可得44={x∣-2≤x≤4},

所以(aA)c8={x∣-2≤x≤2}.

故選：B.

3.(2021?福建省長汀縣第一中學(xué)高三階段練習(xí))解關(guān)于X的不等式：(α+l)χ2-(2α+3)x+2<0S≥-l).

【解】當(dāng)O+l=0即a=-l時(shí)，原不等式變?yōu)橐沪?2<0,即x>2.

當(dāng)”>-l時(shí)，原不等式可轉(zhuǎn)化為(x-2)(X-S)<0,

方程(x-2)(X-El)=O的根為—?-?,2.

若-l<a<-彳，則~~->2,解得2<x<-----；

若4=一］，則一二=2,解得X∈?;

26Z+1

若a>--則<2,???解得<x<2.

2f。+1?+1

綜上，

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為{χ∣Jvα<2}:

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為?；

當(dāng)-時(shí)，原不等式的解集為{x∣2<x<1}.

當(dāng)α=-l時(shí),原不等式的解集為{加>2}.

4.(2021?廣東?普寧市大長隴中學(xué)高三階段練習(xí))已知二次函數(shù)y=0√+fer-α+2.

⑴若關(guān)于X的不等式加+反J。+2>0的解集是{R-1<xV3},求實(shí)數(shù)6的值;

(2)若/?=2,。>0,解關(guān)于X的不等式加+6X-α+2>0.

【解】⑴由題意知，-1和3是方程cιx2?^bx-α+2=0的兩根,

b

-1+3=

a

所以<解得a=-1,b=2；

-a+2

(-D×3=

a

(2)當(dāng)b=2時(shí)，不等式ax2+bx-d+2>0為ar2+2x-α+2>0,

即(cιx-a+2)(x+1)>0,所以~-^(x+l)>0,

當(dāng)T=T即α=l時(shí)，解集為{x∣x≠T};

當(dāng)一<一1即O<“<l時(shí)，解集為卜|x<1或x>—1}；

當(dāng)y>-l即α>l時(shí)，解集為卜|尤>一或x<-1}.

>考點(diǎn)2一元二次不等式恒成立問題

[名師點(diǎn)睛]

1.一元二次不等式在R上恒成立的條件

(1)不等式0^2+?x+c≥0對任意實(shí)數(shù)X恒成立的條件是:

①當(dāng)Q=O時(shí)，?=0,c>0；

/fβ>O,

②當(dāng)中。時(shí)，晨0.

(2)不等式4K+bχ+區(qū))對任意實(shí)數(shù)X恒成立的條件是:

①當(dāng)4=0時(shí)，b=0,c≤0;

…[a<0

②當(dāng)a≠0時(shí)，9

IJ<O.

2.一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立的求解方法

設(shè)Λ-v)=以2÷?x÷c(α≠0).

fb或廿，

——<a

⑴當(dāng)qvθ時(shí)，兀T)Vo在x∈[α,0上恒成立外2a或/<0.

fa?VO5做<o

_、仍夕?>0,

段)>0在x∈[α,1上恒成立?J

[ι∕7α7>O.

⑵當(dāng)a>0時(shí)，

(f!β2<0,

flx)<0在xG[α,為上怛成±?|?<0

12/23

——<a,——>B,

應(yīng)0>0在χC[α,向上恒成立?j2a”或<j2a'或∕<0.

./?a?>0S夕>0

3.轉(zhuǎn)換主元法解給定參數(shù)范圍問題

解給定參數(shù)范圍的不等式恒成立問題，若在分離參數(shù)時(shí)會遇到討論的情況，或者即使能容易分離出參

數(shù)與變量，但函數(shù)的最值難以求出，可考慮變換思維角度，即把變量與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量

的函數(shù)，再根據(jù)原參數(shù)的范圍列式求解.

[典例]

1.(2022?全國?高三專題練習(xí))不等式(a+l)χ2-(a+l)x-l<0對一切實(shí)數(shù)X恒成立，則。的取值范圍是

(9999999)

A.1<a<5B.-5<?<-l

C.-5va≤—1D.—3<Q<—1

【答案】C

【解析】當(dāng)a+l=O,即a=—1時(shí)，(a+l)%2—(a+l)x—1<0可化為—1<0,即不等式—1<0恒成立；

當(dāng)a+l≠O,即a≠T時(shí)，因?yàn)?a+l)x2-(a+l)x-l<0對一切實(shí)數(shù)X恒成立，

a÷l<0

所以?27??解得—5V4V—1;

(a+l)÷4λ(Λ÷1)<0n

綜上所述，—5<6/≤—1.

故選：C.

2.(2021?河北?石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)高三開學(xué)考試)若關(guān)于X的不等式f+2辦+L.0在。+∞)上恒成立,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,+巧B.[-l,+∞)C.[-1,1]D.[0,+∞)

【答案】B

【解析】解：當(dāng)X=O時(shí)，不等式LO恒成立；

當(dāng)x>0時(shí)，由題意可得-2",x+?!■恒成立，

X

由/(刈=*+:.2氏=2,當(dāng)且僅當(dāng)X=I時(shí)，取得等號.

所以~~2a,2,解得a...-?,

綜上可得，4的取值范圍是[T,M)?

故選：B.

3.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知αe[T,?l,不等式J+(α-4)x+4-2”>0恒成立，則X的取值范圍為

()

A.(-∞,2)(3,+8)B.(→θ,?)l(2,+∞)

C.S,1)∣(3,+oo)D.(1,3)

【答案】C

【解析】解：令/(4)=(x-2)4+χ2-4χ+4,

則不等式f+(α-4)x+4-2”>0恒成立轉(zhuǎn)化為Fg)>0在αe[T,l]上恒成立.

.f∕(-D>θ[-(X-2)+X2-4X+4>0

有v<,即HΠ〈,,

[/(1)>O[X-2+JΓ-4x+4>0

[x^—5x+6>O

整理得：2oCZ

[x—3Λ^+2>O

解得：x<l或x>3.

.?,X的取值范圍為(-∞,1)u(3,物).

故選：C.

[舉一反三]

1.(2022?江蘇南通?模擬預(yù)測)當(dāng)XeR時(shí)，不等式/-2x—I一α≥0恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(???????)

A.(—00,—2]B.(―∞,-2)

C.(→o,0]D.(-∞,0)

【答案】A

【解析】由題意，當(dāng)XeR時(shí)，不等式/-2》-1-6^0恒成立，故A=(-2y+4(l+α)≤0

解得α≤-2,故實(shí)數(shù)”的取值范圍是（-∞,-2]

故選：A

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知"eR,''αχ2+2αχτ<o對VXeR恒成立”的一個(gè)充要條件是（???????）

A.—1<α<0B.一IVa≤0C.—l<α<0D.-l≤α≤0

【答案】B

【解析】當(dāng)α=0時(shí)，ax2÷2or-l=-l<0?對Vx∈R恒成立；

當(dāng)〃≠0時(shí)，?0v2+20r-l<0,對DXWH恒成立，

14/23

a<0

則必須有(2^-4×(-l)ɑ<0'解之得TV"。，

綜上，4的取值范圍為一l<α≤O.

故“Or2+2以—1<0對VXeR恒成立”的一個(gè)充要條件是T<ɑ≤O,

故選：B

3.(2022?全國?高三專題練習(xí))若不等式(α-2)Y+4(α-2)x+3>0的解集為R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

(9???999)

2,U

A.吟B.

C.(一。0,2)Dc,+8D.(-∞r(nóng)2]<√f—,÷∞

【答案】B

【解析】；不等式(α-2)/+4m-2)x+3>0的解集為R,

當(dāng)α-2=0,即a=2時(shí)，不等式為3>0恒成立，故“=2符合題意;

當(dāng)q-2≠0,即“≠2時(shí)，不等式(α-2)/+4(α-2)x+3>0的解集為R,

?！??011

則

A=[4("2)]-4(Λ-2)×3<04

綜合①②可得，實(shí)數(shù)α的取值范圍是2.Hj.

故選：B.

4.(2022?全國?高三專題練習(xí))不等式加+5x-7q>3-2x?對一切”(-1,0)恒成立，則實(shí)數(shù)X的取值范圍

是(9999999)

UL+8

A.(-∞,-4]B.(-∞,-4]o[-l,+∞)

2

C.(T-I)D.^4

【答案】A

【解析】令/(a)="/—7)+5x—3+2f,對一切αe(-l,0)均大于O恒成立,

X2-7>0X2-7<0

所以/\,或*

222,

/(-])=-(Λ-7)+5X-3+2X≥0-/(0)=5X-3+2X≥0

X2-7=O

或

5x-3+2x2≥θ'

解得x≤-4或x>√7,^≤x<√7,或X=√7,

綜上，實(shí)數(shù)X的取值范圍是X4T，或

故選：A.

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))若對任意的xe[-l,0],-2χ2+4x+2+,〃≥0恒成立，則加的取值范圍是

()

A.[4,+∞)B.[2,+∞)C.(7,4]D.(→o,2]

【答案】A

【解析】解：因?yàn)閷θ我獾腦e[—1,0],-2x2+4x+2+mN0恒.成立,

所以對任意的Xe[―l,O],∕n≥2/—4x—2恒成立，

因?yàn)楫?dāng)xe[-l,0],J=2(X-1)2-4∈[-2,4].

所以機(jī)≥(2χ2-4x-2)g,=4,x∈[-l,O],

即，〃的取值范圍是H+8)

故選；A

6.(2021?江蘇常州?高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=χ2-αx-l,當(dāng)x∈[θ,3]時(shí)，∣∕(x)∣≤5恒成立，則實(shí)數(shù)4

的取值范圍為.

【答案】[1,4]

【解析】∣∕(x)∣,,5<≈>-5≤x2-αr-l≤5,

①當(dāng)X=O時(shí)，4∈R:

64

②當(dāng)x≠0時(shí)，I/(x)∣,,5o-5≤x2-ax-?≤5=X一一≤a<x+-

XX1

'"B)=2+i=4,(x^x]=3-2=1,

?λ×min乙×λ，max

?l≤α≤4,

綜上所述：l≤α≤4.

故答案為：[1,4].

7.(2022?浙江?高三專題練習(xí))若關(guān)于X的不等式一1對任意的Xe(0,2)恒成立，則實(shí)數(shù)%的取

kx+2x^-X

值范圍為.

16/23

【答案】[o,ι]

【解析】由題意知：br+2x2-√>0,即4>∕-2χ對任意的x∈(0,2)恒成立，.?.?≥0

當(dāng)]得:

x∈(0,2),10fFCV+2√-√<IO-√,

kx+2x~-X

βP2√+fcc-10<0對任意的X∈(0,2)恒成立，即々<止”=--2x對任意的Xe(0,2)恒成立，

XX

令"x)=∕-2x,/(x)在x∈(0,2)上單減，所以/(x)>"2)=l,所以Z≤l

.?.0≤Λ≤l.

故答案為：[()』

8.(2021?重慶市涪陵高級中學(xué)校高三階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(X)="V-sr.

(1)若對于一切實(shí)數(shù)盯/(幻<0恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

⑵若對于XwI,3],/(x)<-m+5恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解】(1)解：由已知，的2_,火_1<0對于一切實(shí)數(shù)X恒成立，

當(dāng)桃=0時(shí)，-1<0恒成立,符合題意，

[∕n<0

當(dāng)相≠0時(shí)，只需L2八，解得-4v"iv0,

[Δ=w^+Z4mI<0

綜上所述，〃Z的取值范圍是(-4,()]；

(2)解：由已知，儂2<-加+5對不以1，3]恒成立，

即/H,一。+1)<6對χw[l,3]恒成立,

X2—x+?=(x----)2H—>0,.,.m<—------對X∈[1,3]恒成立,

24Jr-X+1

令gQ)=χ2一χ+l,則只需用<白即可，

而g(x)在xe[l,3]上是單調(diào)遞增函數(shù)，

?(x)∈[l,7],------∈[―,61,:.m<—,

g(x)77

所以加的取值范圍是(-8,夕?

>考點(diǎn)3一元二