2022-2023學(xué)年廣東省茂名市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年廣東省茂名市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={%6N|-1<x<4},B={xeR\x>3},則

圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{x|-1<x<3]B.{x|-1<x<3}

C.{0,1,2)D.{0,1,2,3)

2.已知復(fù)數(shù)2=備，則憶一”=（)

A.B.2C.V-2D.5

3.已知4。是△ABC的中線，AB=a,AD=b＞則近=（)

A.l(b+a)B.2b+aC.(6—a)D.2b-a

4.現(xiàn)有上底面半徑為2,下底面半徑為4,母線長為2中的圓臺，則其體積為（）

P40V10TTD56CUTT

A.40TTB.567r

=~3-■-3-

5.甲、乙、丙、丁4名志愿者參加創(chuàng)文鞏衛(wèi)志愿者活動，現(xiàn)有4、B、C三個社區(qū)可供選擇,

每名志愿者只能選擇其中一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一名志愿者，則甲不在4社區(qū)的概率為（）

D.I

A-1B5c?|4

6.已知sin(a-/?)cosa-cos(a-6)si7ia=[,則sin怎+2/7)=()

77

C+

A.-D.-8-

8一

7.已知a=log34,b=log49,c=余則()

A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

8.已知橢圓C：胃+馬=1(。>/7>0)的離心率為?,下頂點(diǎn)為8,點(diǎn)時為。上的任意一點(diǎn),

則|MB|的最大值是()

A.翌bB.—bC.V-3hD.2b

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.某地區(qū)國慶七天每天的最高氣溫分別是22,21,20,20,22,23,24（單位。C）,則（）

A.該組數(shù)據(jù)的極差為4B.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為20

C.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為20D.該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為23

10.已知，(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x-3)=f(x+1),當(dāng)xe［0,2］時,/(x)=x2+1,

則下列各選項(xiàng)正確的是()

A.當(dāng)xG［一2,0)時，/(X)=x2+lB.y=/(x)的周期為4

C./(2023)=3D.y=f(x)的圖象關(guān)于(2,0)對稱

11.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為4為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P為A在/上的

射影，線段PF交y軸于點(diǎn)E,Q為線段49的中點(diǎn)，貝11()

A.AE1PFB.直線4E與拋物線C相切

C.點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=2x-lD.NQEF可以是直角

｛xex%<0

三;>0,貝版)

A.f(x)的極小值為一:

B.存在實(shí)數(shù)a,使［/(x)］2+a/(?-1=0有4個不相等的實(shí)根

C.若fQ)-ax>0在(0,+8)上恰有2個整數(shù)解,則2Wa<去

D.當(dāng)無e(0,+8)時,函數(shù)九(x)=e。/Q)—%—比乂的最小值為1

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知數(shù)列｛a.｝的前n項(xiàng)和為%,且右二？與一4,則a“=.

14.圓心在直線y=x+3上，且過點(diǎn)4(2,4),B(l,-3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

15.(2+ax)(l-乃6的展開式中含一的項(xiàng)的系數(shù)為150,則。=.

16.如圖，在三棱錐U-ABC中，△1MB和44BC都是邊長為2的正三角形，二面角U-AB-C

為。，當(dāng)60。W0W120。時，三棱錐U-4BC的外接球表面積S的范圍為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在AABC中，角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,其面積為S,4n為邊BC上的中線.

(1)證明：AD=2(b2+c2)-a2；

(2)當(dāng)S=2/3.B=/時，求4D的最小值.

18.(本小題12.0分)

已知等差數(shù)列｛&J的公差不為0,其前n項(xiàng)和為Sn,Ss=25,且％,a2,成等比數(shù)列.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

4九1

(2)設(shè)b-2~?記數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為"，若〃Wm2+5加對任意neN*恒成立，求Tn的

nan'an+lZ

取值范圍.

19.(本小題12.0分)

2023年6月6日是第28個全國“愛眼日”，某市為了了解該市高二同學(xué)們的視力情視力情況進(jìn)

行了調(diào)查，從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的體檢表，得到如表所示的統(tǒng)計數(shù)據(jù).

視力范圍[4.0,4.2)[4?2,4?4)[4.4,4.6)[4.6,4.8)[4.8,5.0)[5.0,5.2)

學(xué)生人數(shù)203070353015

(1)估計全市高二學(xué)生視力的平均數(shù)和中位數(shù)(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果精確到

0.1)；

(2)視頻率為概率，從全市視力不低于4.8的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，設(shè)這3名學(xué)生的視力不

低于5.0的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.(本小題12.0分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，AB//DC,△ABD為邊長為2的正三角形，DC=3,點(diǎn)。為的

(2)點(diǎn)E為線段PC上的動點(diǎn)(不含端點(diǎn))，當(dāng)平面POD與平面EBD的夾角為30。時，求需的值.

21.(本小題12.0分)

已知雙曲線C；捻-，=l(a>0/>0)的離心率為年(的右焦點(diǎn)尸到其漸近線的距離為L

(1)求該雙曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)S(4,0)的動直線，(存在斜率)與雙曲線C的右支交于4、B兩點(diǎn)，x軸上是否存在一個異

于點(diǎn)S的定點(diǎn)7,使得|S*?|TB|=|SB|?|7;4|成立.若存在，請寫出點(diǎn)了的坐標(biāo)，若不存在請說

明理由.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=aex-ln(x+2)+Ina-2.

(1)當(dāng)a=1時，求f(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程；

(2)若/(無)有兩個零點(diǎn)%1，x2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明：+%24-2>0.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：由集合4=(xEN\-1<x<4]={0,1,2,3},B={x&R\x>3},

又由陰影部分表示的集合為AD(CRB)={0,1,2).

故選：C.

根據(jù)題意求得結(jié)合A={0,123},結(jié)合陰影部分表示的集合為ADCCRB),即可求解.

本題主要考查了利用Uenn圖表達(dá)集合的關(guān)系和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：由題意知，2=三=再黑惡=兇尸=1一"

所以z—t=1—2i,

所以|z-t|=|1-2i|=J12+(-2)2=7-5.

故選：A.

利用復(fù)數(shù)的除法法則和復(fù)數(shù)的減法法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的模公式即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?。是△4BC的中線，AB—a,^D-b>

則方=AB+JC=AB+2'BD=AB+2(AD-AB)=2AD-AB=2b-a-

故選：D.

利用向量的線性運(yùn)算求解.

本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：由R=4,r=2,=2CU，

則圓臺的高h(yuǎn)-yjZ2—(/?—r)2=6，

根據(jù)圓臺體積公式得V=1(R2+r2+Rr)h=京x陰+22+4x2)x6=567r.

故選：B.

由R=4,r=2,Z=求得圓臺的高h(yuǎn)=V/2-(7?-r)2=6.再根據(jù)圓臺體積公式即可求解.

本題考查圓臺的體積計算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：4名志愿者分配到3個社區(qū)的方法共有戲題=36種，

其中甲在4社區(qū)的方法有兩種情況，

若4社區(qū)分配2名志愿者，則從乙丙丁三人中選擇1人連同甲一起去4社區(qū)，則有廢掰=6種情況,

若4社區(qū)只有甲這1名志愿者，則從乙丙丁中選擇2人去BC兩個社區(qū)其中之一，則共有戲6=6種

情況，

故甲不在4社區(qū)一共有36-6-6=24種，

故甲不在4社區(qū)的概率為第=|.

Jo3

故選：C.

根據(jù)分配分組問題，結(jié)合排列組合以及分步分類即可求解個數(shù).

本題主要考查了排列組合知識，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閟in(a—6)cosa—cos(a—0)sina=；,

所以sin[(a-/?)-?]=sin(-j?)=

所以sin/?=-；,

所以sin(與+2夕)=—cos2p=—(1—2sin2p)=一，.

故選：D.

利用兩角差的正弦公式及誘導(dǎo)公式求出sin/?,再由誘導(dǎo)公式及二倍角公式計算可得.

本題主要考查了和差角公式及誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】4

【解析1解：a=log34<log33\/~3=

a<c,

3

b=log49>log48=

???b>c,

--a<c<b,

故選：A.

將|分別變形為以3為底的對數(shù)及以4為底的對數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

本題主要考查對數(shù)值大小的比較，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：由橢圓C的離心率6=字，可得a=Cb,所以橢圓的方程為當(dāng)+馬=1,

33bz/

設(shè)M(x0,yo),則馬+4=1,可得以=3爐一3端

3bb

又由點(diǎn)B(O,-b),

222

可得|MB|2=歐+(y0+b)2=3b-3M+(y0+b)=-2(y0-1)+與，

因?yàn)橐籦SyoWb，所以|MBF2,所以iMBLax=型產(chǎn).

故選：A.

設(shè)MQo，yo)，得到系+卓=1，求得=仇一52十孚，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求

解.

本題主要考查橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：該組數(shù)據(jù)的極差為：24-20=4,故A正確；

將該組數(shù)據(jù)從小到大的排列為：20,20,21,22,22,23,24,

所以該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為20,22,故8錯誤；

該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為22,故C錯誤；

由7x80%=5.6,

所以該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為從小到大的排列的第6個數(shù)據(jù)為23,故O正確.

故選：AD.

利用極差、眾數(shù)、中位數(shù)和第p百分位數(shù)的定義即可求解.

本題主要考查了極差、眾數(shù)、中位數(shù)和第P百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AB

【解析】解：/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，設(shè)刀€[-2,0),則一xe(0,2],

/(x)=/(-x)=x2+1,故A正確；

由/(x-3)=/(x+l)得/(x+4)=f(x),二/。)的周期為4,故8正確；

??"(2023)=/(3)=/(-I)=/(I)=2,故C錯誤；

?."(3)力一〃1),故。錯誤.

故選：AB.

利用f(x)是定義在R上的偶函數(shù)可判斷4利用/'(x-3)=f(x+1)得f(x)的周期可判斷BC；利用

特殊值可判斷D.

本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

11.【答案】ABC

【解析】解：設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，由拋物線知原點(diǎn)。為FM的中點(diǎn)，，〃y軸，

所以E為線段PF的中點(diǎn)，由拋物線的定義知|4P|=依川，所以4E1PF,故A正確；

由題意知，E為線段PF的中點(diǎn)，從而設(shè)4(%,y])，/片0,則E(0,為，

直線4E的方程：：7=含0+與)，

與拋物線方程y2=4x聯(lián)立可得：丫=金(?+/)，

由衣=4與代入左式整理得：y2-2yly+衣=0,所以/=4yf-4yf=0,

所以直線4E與拋物線相切，故8正確；

設(shè)點(diǎn)Q(x,y),則點(diǎn)4(2x-l,2y),

而4是拋物線C上任意一點(diǎn)，于是得(2y)2=4(2x-l),即必=2x-l,

所以點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=2%-1,故C正確；

因點(diǎn)Q的軌跡方程為必=2x-l,則設(shè)Q(竽,t),

令E(O,zn),有加=麗=(竽，t-血)，

EF-~EQ=m2~tm+=(m-t)2+t2+^>0>

于是得NQE尸為銳角，故力錯誤.

故選：ABC.

分別應(yīng)用拋物線定義，直線與拋物線位置關(guān)系的判定，求軌跡方程的方法，向量法判斷垂直進(jìn)行

求解.

本題主要考查拋物線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：當(dāng)％<。時，/'(X)=xex+e*=ex(x+1),

?,?當(dāng)％<一1時，f(x)<0,.??/(%)在(一8,-1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)一IV%V0時，/(%)>0,???/(%)在(一1,0)上單調(diào)遞增,

f(x)的極小值為八一1)=-3

同理可得，當(dāng)久>0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增：f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減,

由圖可知A正確;

令七=f(x),則/4-at-1=0有兩個實(shí)根“，％且0),今E(01~)?

(g(-1)>0

則令g(t)=/+Q￡—1,???g(0)=-1v0,???{e,

■)>o

a<--e

eJ所以無解，故3錯誤；

{a>e--

由儲。募得太a4,故。正確；

h(x)=xex—x—Inx,

則九'(x)=ex+xex-1—：=Q+l)(ex—；),由%>0,知％+1>0,

設(shè)3則t(x)在(。，+8)上單調(diào)遞增，又嗎)=，1-2<0,t(l)=e-l.>0,

所以存在即€專1),使得九'(3=0,即/。=/，

所以當(dāng)％W(0,&)時,h!(x)<0,九(久)單調(diào)遞減；

當(dāng)％W(%o，+8)時,hr(x)>0,九(x)單調(diào)遞增，

所以h(x)詼=八(&)=X。/。-X。一仇X。=X?！兑籜。+X。=1,故O正確.

故選：ACD.

根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/Q)的性質(zhì)，即可畫出其函數(shù)圖像，即可判斷力，換元令t=/(x),

由二次函數(shù)根的分布列出不等式，即可判斷氏列出不等式求解，即可判斷C,求導(dǎo)得到函數(shù)/i(x)

的極值，即可判斷D.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，化歸轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，

屬難題.

13.【答案】2n+1

【解析】解：因?yàn)?=2an-4,

所以當(dāng)n>2時，Sn_x=2a?_x-4,兩式相減得多-Sn_r=2an-4-(2an_x-4),整理得an=

2即-1，

即n>2時，an=2an.!，

又當(dāng)n=1時，Si=a[=2al-4,解得的=4,

所以數(shù)列{a"是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

n

所以an=4x2nT=2+i.

故答案為:2n+1.

根據(jù)Sn，即的關(guān)系即可得數(shù)列｛斯｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)即可求

解.

本題主要考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

14.【答案】(x+2尸+(y—I)2=25

【解析】解：直線ZB的斜率為言=7,線段的中點(diǎn)為(I』)，

115

艮X+

線段48的垂直平分線的方程為：y-1=7-py=-7-7-

聯(lián)立｛'［一：；+''解得即圓心坐標(biāo)為(一2,1方

半徑r=J(一2—2尸+(1-44=5,

所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x+2)2+(y-l)2=25.

故答案為：(x+2)2+(y-l)2=25.

通過求圓心和半徑來求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

本題主要考查了圓的性質(zhì)及定義在圓的方程求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】-6

rrr

【解析】解：(l-x)6展開式的通項(xiàng)為：Tr+1=Ca-x)=(-l)Clx,

(2+czx)(l-x)6展開式中一的系數(shù)為2(一1)4《+a(-l)3髭=30-20a=150,Aa=-6.

故答案為：-6.

求出(1-x)6的展開式通項(xiàng)，然后利用含久4項(xiàng)的系數(shù)為150列方程求解.

本題考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】［罟，等］

【解析】解：根據(jù)題意，取AB的中點(diǎn)0,連接U。，C0,

因?yàn)椤?MB和4ABC都是邊長為2的正三角形，

所以U。LAB,CO1AB,

所以W0C為二面角IZ-4B-C的平面角，所以。=NVOC,

B

設(shè)AlMB,△ABC的外心分別為F,E,

在平面HOC內(nèi)過點(diǎn)F作UO的垂線，過點(diǎn)E作0C的垂線，交于點(diǎn)G,

則G為V-4BC外接球的球心，

因?yàn)椤鰽BC是邊長為2的正三角形，E為AABC的外心，

所以CE=|,。七=煮，

又由GE=OEtan^,則腔=CE2+GE2=^+^tan21（30°<!<60°）,在C,,芻,

故球的表面積S=4TTR2￡善，甯.

故答案為：［申,竽］.

根據(jù)題意，取4B的中點(diǎn)0,連接V。，CO,則NVOC為二面角的平面角，設(shè)AV4B,LABC

的外心分別為凡E,在平面UOC內(nèi)過點(diǎn)F作V。的垂線，過點(diǎn)E作。C的垂線，交于點(diǎn)G,則G為U-4BC

外接球的球心，從而表示出外接球半徑，進(jìn)而可求出球的表面積的范圍.

本題考查球的表面積計算，注意球與三棱錐的位置關(guān)系，屬于中檔題.

17.【答案】解：（1）證明：因?yàn)?。為邊BC上的中線,

所以在△ABC中，^ADB+^.ADC=n,

所以cosZJlDB4-cosZ-ADC=0,

在△4D8和△AOC中，由余弦定理可得必應(yīng)心笆.

2ADBD

AD2+CD2-AC2八

----2-A--D-C-D----=U，

又因?yàn)锽D=CD,

所以=如2+c2-7），

所以4Z）=［12（萬+,2）—a2,得證；

(2)因?yàn)镾=2c，8=?

所以S=gacsinB=--rac=2A/-3>

24

所以ac=8,

在^ABC中，由余弦定理爐=a24-c2—2accosB,可得/=a24-c2—ac,

又由(1)可得40=^yj2(h2+c2)-a2=1Va24-4c2—2ac,

所以4D=a24-4c2—2ac>4ac—2ac=2ac=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=2c時等號成立，

所以/D的最小值為2.

【解析】⑴由題意可得〃D8+AADC=7T,在^ADB^WLADC中，由余弦定理可得理也吟?+

2ADBD

222

AD+CD-AC=結(jié)合B0=c。，即可證明；

2ADCD

(2)利用三角形的面積公式可求ac=8,在△ABC中，由余弦定理可得/=(^+c?-ac,由(1)結(jié)

論利用基本不等式即可求解的最小值.

本題考查了余弦定理，三角形的面積公式以及基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算

能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛a。的公差為d,且d彳0,

（（Q1+d）2=+4d）

由題意得:g:rs即「+竽d=25

解得｛建J,

所以%=1+2（71-1）=2n—1；

G）因?yàn)椋?^；=（2九一1）2.（2H1）2一

所以〃=瓦+匕2+萬3+…+bn

1.11.11..111

=卻―/+/_/+/_/+…+^7一^7]

所以，

因?yàn)橐?lt;m2+；m對任意nGN*恒成立，

所以蘇+扣封，解得771w一1或?n2

所以m的取值范圍為(一8,-1]u[1,+°°).

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d,且dWO,然后由題意列方程組，求出由,d,從而可求出通

項(xiàng)公式；

4九111

(2)由⑴得%=cNoG，然后利用裂項(xiàng)相消法可求出〃=力一左7不]，則〃<所以

(ZH—1))乙(Z71+JL)L

m2+>p從而可求出zn的取值范圍.

本題考查等差數(shù)列基本量的運(yùn)算和裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題.

19.【答案】解：（1）由表中數(shù)據(jù)，估計全市高二學(xué)生視力的平均數(shù)為：

星=擊X（4.1x20+4.3X30+4.5X70+4.7x35+4.9x30+5.1x15）=4.57?4.6,

由表中數(shù)據(jù)，視力小于4.4的頻率為蒜=0.25,視力小于4.6的頻率為蝶=0.6,

所以中位數(shù)在4.4至4.6之間，設(shè)中位數(shù)為X,

則照=0.5—0.25,解得x《4.5；

（2）由題意，全市視力不低于4.8的學(xué)生共有45人，從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，

這名學(xué)生取自區(qū)間［4.850）的概率為,=取自區(qū)間［5Q5.2）的概率為左=

則從全市視力不低于4.8的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，這3名學(xué)生的視力不低于5.0的人數(shù)X服從二項(xiàng)

分布，即*-8(3,?

故P(X=0)=(1-1)3=攝,P(X=l)=Cjx|x(l-1)2=§=I，

P(X=2)=Cjx(扔x(l-|)=^=1,P(X=3)=(|)3=%

故X的分布列為：

X0123

8421

P

279927

E（X）=3xg=l.

【解析】（1）由平均數(shù)，中位數(shù)的定義，取每組數(shù)據(jù)的中間值作代表直接計算即可；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在視力不低于4.8的范圍內(nèi)任取一名學(xué)生，這么學(xué)生來自于區(qū)間［4.8,5.0）和區(qū)間

［5.052）的概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布求出X=0,1,2,3時的概率即得分布列和數(shù)學(xué)期望.

本題考查離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）因?yàn)椤髁D為邊長為2的正三角形，點(diǎn)。為AB中點(diǎn),

連接OC交BD于點(diǎn)G,

因?yàn)?B〃DC,DC=3,

所以0c=VOD2+DC2=2V-3.

因?yàn)镻C=<13,

所以PC?=PO2+OC2,

所以P。1OC,

又因?yàn)镻O_L。。，OD,OCu平面。BCD,ODnOC=0,

所以P。_L平面OBCD,

因?yàn)?。u平面OBCD,

所以PO1BD,

在底面OBCD中，△BGO,

所以需=卷=器，進(jìn)而BG=；,OG=?，

所以。口2=OG2+GB2,

所以BD1OC,

因?yàn)镻。，OCu平面POC,POCOC=0,

所以BD1平面POC,

因?yàn)镻Cu平面POC,

所以BD1PC.

(2)由(1)可知，OB、OD、OP兩兩垂直，

所以以。為原點(diǎn)，OB,OD,OP所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

所以P(0,0,l),B(l,0,0),C(3,<3,0),D(0,<3,0).

根據(jù)題意可得詬=(1,0,0)為平面P。。的一個法向量,

設(shè)而=APC.

所以E(34,q4,l-；l)(0<；l<1)，

所以說=(34-1,C入,1-X),DE=(3A,-C,1-4)，

設(shè)平面BDE的一個法向量為元=(x,y,z),

則0.屁=(34-l)x+y/~3Ay+(1-2)z=0

'\jiDE=3Ax+(OA-V-3)y+(1-2)z=0'

取x=3,則y=，3，z=

所以元=(3,q,?^),

1-A

因?yàn)槠矫鍼。。與平面EBD的夾角為30。，

所以cos3(T=|cos〈而，孫=|黑右I，

n

1

解得

所以2A-6◎

>4-

1

A=

所以當(dāng)平面P0。與平面EB。的夾角為30。時，黑=4-

【解析】(1)根據(jù)三角形的邊角關(guān)系可得線線垂直，進(jìn)而根據(jù)線線垂直即可得線面垂直，即可求證.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角，即可求解.

本題考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角，解題關(guān)鍵是空間向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由已知可得(cC，解得Q=2,b=1,

e=a=~

2

、Q2+b=C2

雙曲線C的方程為^—y2=1；

4J

(2)假設(shè)存在定點(diǎn)T滿足已知條件，故設(shè)T(m,0),

???|S*.|7B|=|SB|.|771|,??瑞瑞，

在△ATS和ABTS中，由正弦定理得：

Ml_|7川|SB|_\TB\

sinZATS~sin乙4ST'sin乙B7S-siMBST'

|S/1|_sin^ATS|S8|_sinzBTS

‘兩=sihST'\TB\=sin^BST9

v乙AST=7i—乙BST,:.sinZ.AST=sin乙BST,

X-Ssin^ATS=sinz.BTS,可得〃TS=NBTS,

???直線AT與直線BT的傾斜角互補(bǔ)，得歐丁+卜的=0,

當(dāng)直線1的斜率為0時，顯然不符合題意；

當(dāng)直線，的斜率不為0時，設(shè)直線［的方程為％=ny+4,ri。0,A(%"i)，B(x2,y2V

%=ny+4

2

聯(lián)立，卜%2一丫9=1得(九2—4)y+8ny+12=0,

8n12

?，?乃+先=一;^，％為=

又?.,直線I與雙曲線C的右支交于4B兩點(diǎn),

xx>072yly2+4n(%+y2)+16>0

12加”優(yōu)+力)+8>0

+%2>0

4>0S16(n2+12)>0

{污一4。0<n2H4

f-4(r^+16)

層-4>U

—32

代入根與系數(shù)的關(guān)系可得：(n>°，解得0</<4.

16(n24-12)>0

<n2W4

???^AT+^BT=°，'Xy-m+x?-m=°'

人］，，C人/，，l

又％1=72yl+4,%2=ny2+4，

y-y

?'西+4工+9瓦m=仇即筋為、2+(4-巾)(71+及)=0，

?■12n,+(4-m)(一^=0.

B