福建省師范大學附屬中學高三上學期期中考試數(shù)學（理）試題

福建師大附中20192020學年上學期期中考試高三數(shù)學（理科）試卷試卷說明：（1）本卷共三大題，22小題，解答寫在答卷的指定位置上，考試結束后，只交答卷。（2）考試過程中不得使用計算器或具有計算功能的電子設備。第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則A．B．C．D．2.若非零向量，滿足，向量與垂直，則與的夾角為A．B．C．D．3.已知，則的大小關系為A．B．C．D．4.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為31.5，前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則芒種日影長為A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺5.設是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，則“”是“對任意的正整數(shù)，”的A．充要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件6.若，則A．B．C．D．己知某函數(shù)圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是A.B.C.D.8.17世紀德國著名的天文學家開普勒曾經(jīng)這樣說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是一個頂角為的等腰三角形（另一種是頂角為的等腰三角形）.例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金中，.根據(jù)這些信息，可得A.B.C.D.9.若x，y滿足約束條件，目標函數(shù)僅在點（2，0）處取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍是A．B．C．D．10.已知平面向量滿足，若，則的最大值為A．B．C．D．11.已知函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是A．B．C．D．12.設函數(shù)()有且僅有兩個極值點()，則實數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：每小題5分,共20分.13.邊界在直線及曲線上的封閉的圖形的面積為．14.16至17世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，改進數(shù)字計算方法成了當務之急，約翰納皮爾正是在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發(fā)明了對數(shù)．后來數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了對數(shù)與指數(shù)的關系，即.現(xiàn)在已知，，則．15.海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞.現(xiàn)要測量如圖所示的藍洞的口徑,兩點間的距離，在珊瑚群島上取兩點，，測得，，，，則,兩點的距離為________．已知數(shù)列的前項和為（），且滿足，若對恒成立，則首項的取值范圍是_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足，.（1）求的值；（2）求的值.18.（12分）已知數(shù)列的前項和為，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，證明：.19．（12分）如圖，在中，角的對邊分別為,.（1）求角的大??；（2）若為外一點，，求四邊形面積的最大值.20．（12分）已知數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項公式.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，記的最小值為，證明：.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22．[選修4―4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，已知直線與曲線C交于不同的兩點A,B．（1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）設P(1，2)，求的取值范圍．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）設函數(shù)的最小值為，實數(shù)滿足，，，求證：.

評分標準一、選擇題：題號123456789101112答案CBCBCCACADDB二、填空題：13.14.15.16.三、解答題:17.解：（1）∵sinBsinC．由正弦定理得，bc，…………2分∵a﹣cb，∴a＝2c，，…………4分，由余弦定理知，cosA．…………6分（2）∵由（1）知，cosA．A為三角形內(nèi)角，∴sinA，……7分∴sin2A=……8分cos2A=…………9分∴＝sin2Acoscos2Asin．…………12分18.解：因為①所以當時，，得.…………1分當時，②①②得，…………3分即，∴，…………5分符合上式.故．．．．．．．．．．6分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）在中，∵.∴，…………1分∴，∴，即，…………4分∵∴.…………6分（2）在中，又，則為等腰直角三角形，，……………8分又，………9分，……………11分當時，四邊形的面積最大值，最大值為.……………12分20.解：（1）時，…………1分①②①2×②…………4分滿足上式，故.…………5分（2），有累加整理①…………7分②②①得滿足上式，故.…………12分21.（1）因為的定義域為，又，…………1分所以當時，，在單調(diào)遞增．當時，若時，，在單調(diào)遞減；若時，，在單調(diào)遞增．綜上，當時，在單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．…………4分（2）當時，由（1）知，，…………5分令，，則，令，，則，所以在單調(diào)遞減，又，，所以存在，使得，且，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以當時，取得最大值，因為，令，，則在單調(diào)遞減，所以，所以，因此當時，，即．…12分22.解：（1）因為，所以，兩式相減可得直線的普通方程為.…………2分因為，，，所以曲線的直角坐標方程.…………4分（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，整理得關于的方程：.因為直線與曲線有兩個不同的交點，所以上述方程有兩個不同的解，設為，則，.…………5分并且，注意到，解得.………6分因為直線的參數(shù)方程為標準形式，所以根據(jù)參數(shù)的幾何意義，有，…………8分因為，所以，.因此的取值范圍是.…