重慶市永川北山中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

北山中學(xué)高2024屆高三上期10月月考數(shù)學(xué)試題卷考試時(shí)間：120分鐘總分：150分一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為（）A.1 B.0 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則直接計(jì)算得到答案.【詳解】由，虛部為1，故選項(xiàng)C正確.故選：C.2.已知全集，集合，則圖中陰影部分表示集合為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由圖可得陰影部分表示，然后用補(bǔ)集和交集定義進(jìn)行求解【詳解】由圖可得，圖中陰影部分表示的集合為，因?yàn)?，所以或，，故選：A3.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位【答案】B【解析】【分析】函數(shù)，根據(jù)平移規(guī)則，得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以為得到得到函數(shù)的圖象，需向右平移個(gè)單位從而得到故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查描述正弦型函數(shù)圖像的平移過程，屬于簡(jiǎn)單題.4.函數(shù)的圖象為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】按照流程：，可畫出目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)圖像【詳解】按照流程：1.圖像向上平移1個(gè)單位；2.軸左邊的圖像不要，在軸左邊畫與軸右邊對(duì)稱的圖像；3.圖像向右平移2個(gè)單位．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的平移變換，對(duì)稱變換，是基礎(chǔ)題．5.為了全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，加快農(nóng)村、農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化建設(shè)，某市準(zhǔn)備派6位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員到A，B，C，3地指導(dǎo)工作；每地上午和下午各安排一位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員，且每位鄉(xiāng)村振興指導(dǎo)員只能被安排一次，其中張指導(dǎo)員不安排到地，李指導(dǎo)員不安排在下午，則不同的安排方案共有（）A.180種 B.240種 C.480種 D.540種【答案】B【解析】【分析】分兩種情況討論：李指導(dǎo)員安排在C地上午時(shí)和李指導(dǎo)員不安排在C地上午時(shí)，再結(jié)合排列組合定義即可解決.【詳解】李指導(dǎo)員安排在C地上午時(shí)，張指導(dǎo)員有種安排方案，其余4位指導(dǎo)員有種安排方案，則共有種安排方案；李指導(dǎo)員不安排在C地上午時(shí)，李指導(dǎo)員有種安排方案，張指導(dǎo)員有種安排方案，其余4位指導(dǎo)員有種安排方案，則共有種安排方案；綜上，共有96+144=240種安排方案.故選：B6.在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】推出的等價(jià)式子，即可判斷出結(jié)論.【詳解】為鈍角三角形.

∴在中，“”是“為鈍角三角形”的充要條件.

故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查和與差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.7.已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，所以的定義域?yàn)榛?，又，所以，所以為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，令，，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以不等式等價(jià)于，所以，化簡(jiǎn)可得或，解得或，所以不等式成立的的取值范圍是.故選：C.8.已知，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的和差公式與三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系得到關(guān)于的方程組，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的正負(fù)情況求得的取值范圍，再次利用正弦函數(shù)的和差公式求得的值，由此得到的值.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，即，則，故，聯(lián)立，解得，因?yàn)?，，所以，又，，所以，，所以，，則，因?yàn)椋?故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，選錯(cuò)或不選得0分.）9.在的展開式中，下列說法中正確的有（）A.存在常數(shù)項(xiàng) B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為0C.系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)和第5項(xiàng) D.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128【答案】BD【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理以及展開式的通項(xiàng)，賦值法對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：選項(xiàng)A：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，故不存在常數(shù)項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：令，則，所以所有項(xiàng)的系數(shù)的和為0，故B正確；選項(xiàng)C：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，第四項(xiàng)為，第五項(xiàng)為，顯然第五項(xiàng)的系數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故D正確；故選：BD．10.下列結(jié)論正確的是（）．A.若，則的最大值為B.若，，則C.若，，且，則的最大值為9D.若，則的最大值為2【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；即的最大值為；A正確；B選項(xiàng)，由，，可得，即，故B正確；C選項(xiàng)，若，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；即的最小值為9，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.11.有甲、乙兩臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，甲車床加工的優(yōu)質(zhì)品率為90%，乙車床加工的優(yōu)質(zhì)品率為80%，加工出來的零件混放在一起.已知甲、乙兩臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的60%、40%.任取一個(gè)零件，用事件，分別表示取到的零件來自甲、乙車床，事件表示取到的零件為優(yōu)質(zhì)品，則下列選項(xiàng)正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意利用條件概率以及全概率公式即可求解.【詳解】依題意得：用事件表示取到的零件來自甲車床，則，用事件表示取到的零件來自乙車床，則，，，B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于A，，解得：，A正確；對(duì)于D，利用全概率公式得：，D正確.故選：ABD.12.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，如：[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，y＝[x]又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按“取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）A.?x∈R，[2x]＝2[x]B.?x∈R，[x]+C.?x，y∈R，若[x]＝[y]，則有x﹣y＞﹣1D.方程x2＝3[x]+1解集為【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A：取x＝判斷；對(duì)于B：設(shè)[x]＝x﹣a，a∈[0，1）判斷；對(duì)于C：設(shè)[x]＝[y]＝m，得到x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1判斷；對(duì)于D：由x2＝3[x]+1得到x2一定為整數(shù)且3[x]+1≥0，從而[x]≥0，x≥0，再由[x]2≤x2＜（[x]+1）2，得到[x]2≤3[x]+1＜（[x]+1）2判斷.【詳解】解：對(duì)于A：取x＝，[2x]＝[1]＝1，2[x]＝2[]＝0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)[x]＝x﹣a，a∈[0，1），所以[x]+[x+]＝[x]+[[x]+a+]＝2[x]+[a+]，[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]+[2a]，當(dāng)a∈[0，）時(shí)，a+∈[，1），2a∈[0，1），則[a+]＝0，[2a]＝0，則[x]+[x+]＝2[x]，[2x]＝2[x]，故當(dāng)a∈[0，）時(shí)，[x]+[x+]＝2[x]成立；當(dāng)a∈[，1）時(shí)，a+∈[1，），2a∈[1，2），則[a+]＝1，[2a]＝1，則[x]+[x+]＝2[x]+1，[2x]+2[x]+1，故當(dāng)a∈[，1）時(shí)，[x]+[x+]＝2[x]成立，綜上B正確；對(duì)于C：設(shè)[x]＝[y]＝m，則x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1，則|x﹣y|＝|（m+t）﹣（m+s）|＝|t﹣s|＜1，因此x﹣y＞﹣1，故C正確；對(duì)于D：由x2＝3[x]+1知，x2一定為整數(shù)且3[x]+1≥0，所以[x]≥，所以[x]≥0，所以x≥0，由[x]2≤x2＜（[x]+1）2，得[x]2≤3[x]+1＜（[x]+1）2，由[x]2≤3[x]+1，解得≤[x]≤≈3.3，只能取0≤[x]≤3，由3[x]+1＜（[x]+1)2，解得[x]＞1或[x]＜0（舍），故2≤[x]≤3，所以[x]＝2或[x]＝3，當(dāng)[x]＝2時(shí)，x＝，當(dāng)[x]＝3時(shí)，x＝，所以方程x2＝3[x]+1的解集為，故D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題（本大題4小題，每小題5分，共20分）13.如果隨機(jī)變量，且，，則等于___________.【答案】0.2##【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式可得出關(guān)于n、p的方程組，即可求得p的值.

【詳解】由題意得，，解得故答案為：0.2.

14.已知，則______.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?15.函數(shù)（其中，，）的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為______，若將該函數(shù)的圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)，則______.【答案】①.②.【解析】【分析】綜合應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解決.【詳解】由圖象易知，，圖象過點(diǎn)，即，，，所以，又圖象過點(diǎn)，即，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為，可得，故，故答案為：；.16.若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且其圖象過點(diǎn)A，點(diǎn)A為函數(shù)（且）的圖象所過定點(diǎn)，則______.【答案】2【解析】【分析】先求出，可得，從而可得，再推出函數(shù)的周期為，進(jìn)而可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以（且）的圖象過定點(diǎn)，又因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)A，所以，因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即.由可得，由，得，所以，即，于是有，所以，即.所以函數(shù)的周期為.所以.故答案：.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值.【答案】（1），；（2）最大值，最小值.【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.（2）在給定條件下求出（1）中函數(shù)的相位，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【小問1詳解】依題意，，則的最小正周期，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，，由，得，當(dāng)，即時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值.18.已知在時(shí)有極值0．（1）求常數(shù)的值；（2）求在區(qū)間上的最值．【答案】（1）；（2）最大值為4，最小值為0【解析】【分析】（1）由解出，代回導(dǎo)數(shù)，檢驗(yàn)是否在時(shí)取極值即可；（2）先確定函數(shù)單調(diào)性，求出極值，再和端點(diǎn)值比較即可求出最值.【小問1詳解】由題意知：，，解得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，無極值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，在時(shí)有極值，符合題意；故；【小問2詳解】由（1）知，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在取極大值，極大值為，在取極小值，極小值為，又，，故的最大值為4，最小值為0.19.某高中學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)組織各項(xiàng)體育比賽活動(dòng)，甲、乙兩名同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用七局四勝制（即有一方先勝四局即獲勝，比賽結(jié)束）．假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是．（1）求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了5局的概率；（2）若甲以3：1的比分領(lǐng)先時(shí)，記表示到結(jié)束比賽時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求的分布列及期望．【答案】（1）（2）分布列見詳解，【解析】【分析】（1）分兩種情況甲勝或乙勝，如果第5局甲勝則前4局甲勝3局，若第5局乙勝則前4局乙勝3局，即可求出概率；（2）寫出的可能取值，求出各情況的概率即可得出結(jié)果．【小問1詳解】第一種情況：比賽結(jié)束時(shí)恰好打了5局且甲獲勝，則概率為；第二種情況：比賽結(jié)束時(shí)恰好打了5局且乙獲勝，則概率為；所以比賽結(jié)束時(shí)恰好打了5局的概率為.【小問2詳解】依題意得的可能取值為的分布列為．20.在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知式，即可得出答案；（2）由誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式、兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】由正弦定理可得，，從而可得，，又為三角形的內(nèi)角，所以，于是，又為三角形的內(nèi)角，因此.【小問2詳解】，由可知，，，從而，因此，故的取值范圍為.21.為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測(cè)得了平均金屬含量（單位：）與樣本對(duì)原點(diǎn)的距離（單位：）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值．（表中，）．697.900.21600.1414.1226.13﹣1.40（1）利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識(shí)，判斷與哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類型？（2）根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問題：（i）建立關(guān)于的回歸方程；（ii）樣本對(duì)原點(diǎn)的距離時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少？（iii）已知該金屬在距離原點(diǎn)時(shí)的平均開采成本（單位：元）與，關(guān)系為，根據(jù)（2）的結(jié)果回答，為何值時(shí)，開采成本最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其線性相關(guān)系數(shù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．【答案】（1）更適宜；（2）（i）；（ii）；（iii）為10時(shí)，開采成本最大．【解析】【分析】（1）計(jì)算出的線性相關(guān)系數(shù)和的線性相關(guān)系數(shù)可得答案；（2）（i）計(jì)算出和，可得關(guān)于的回歸方程；（ii）代入可得答案；（iii）求出，令，判斷的單調(diào)性可得答案．【詳解】（1）的線性相關(guān)系數(shù)，的線性相關(guān)系數(shù)，∵，∴更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類型．（2）（i），，∴，∴關(guān)于的回歸方程為．（ii）當(dāng)時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值為．（iii），令，則，當(dāng)時(shí)，，