吉林省榆樹市第一高級中學高三上學期（老教材）期末備考卷（A）數(shù)學（理）試卷

20202021學年上學期高三期末備考卷理科數(shù)學（A）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，集合，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，所以．2．復數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）A．3 B． C．2 D．【答案】D【解析】，所以，．3．已知，，，若，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由題可知，因為，所以有，得．4．設，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，，．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】程序運行過程如下：；；；；；；退出循環(huán)，輸出結(jié)果為．6．連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為，連接4個焦點的四邊形的面積為，則當取得最大值時，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】四個頂點形成的四邊形的面積，四個焦點連線形成的四邊形的面積，所以，當取得最大值時有，，離心率．7．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使得成立的概率為等差數(shù)列的公差，且，若，則的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【解析】由題意，本題符合幾何概型，區(qū)間長度為6，使得成立的x的范圍為區(qū)間長度為2，使得成立的概率為，又，，，令，則有，故的最小值為11．8．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當最小時，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當最小時，，函數(shù)恰有兩個零點等價于方程有兩個實根，等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點．畫出函數(shù)的簡圖如下，而函數(shù)恒過定點，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為．9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三視圖可知其是由半個球及半個倒立的圓柱拼接而成，其中球的半徑為1，其體積為，半圓柱的體積為．所以總體積．10．函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，點的坐標為，若將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關于軸對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于，函數(shù)最高點與最低點的高度差為，所以函數(shù)的半個周期，所以，又，，則有，可得，所以，將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關于軸對稱，即平移后為偶函數(shù)，所以的最小值為1．11．等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中，，，現(xiàn)將沿BD折起，則當直線AD與平面BCD所成角為時，直線AC與平面ABD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設E為BD中點，連接AE、CE，由題可知，，所以，過A作于點O，連接DO，則，所以即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，所以，可得，在中，可得，又，即點O與點C重合，此時有，過C作CFAE與點F，又，所以，所以，從而角即為直線AC與平面ABD所成角的平面角，．12．已知函數(shù)．若存在實數(shù)，且，使得，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，令，得，．其單調(diào)性及極值情況如下：x0+0_0+極大值極小值若存在，使得，則由（1）可知，需要（如圖1）或（如圖2）．（圖1） （圖2）于是可得．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．展開式中的系數(shù)的和大于8而小于32，則．【答案】4【解析】，．14．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，滿足，．，若是等比數(shù)列，數(shù)列的通項公式．【答案】【解析】因為，所以，因為是等比數(shù)列，所以數(shù)列的公比為2．又，所以當時，有．這說明在已知條件下，可以得到唯一的等比數(shù)列，所以．15．實數(shù)x，y滿足，如果目標函數(shù)的最小值為，則的最小值為．【答案】【解析】先做，的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi)，由，得可知，直線的截距最大時，z取得最小值，此時直線為，作出直線，交于A點，由圖象可知，目標函數(shù)在該點取得最小值，所以直線也過A點，由，得，代入，得，所以點C的坐標為．等價于點與原點連線的斜率，所以當點為點C時，取得最小值，最小值為．16．已知是拋物線上一點，是圓關于直線對稱的曲線上任意一點，則的最小值為．【答案】【解析】假設圓心關于直線對稱的點為，則有，解方程組可得，所以曲線的方程為，圓心為，設，則，又，所以，，即，所以．三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）已知在中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且．（1）求角A的值；（2）若，設角，周長為y，求的最大值．【答案】（1）；（2）時，．【解析】（1）由已知，可得，結(jié)合正弦定理可得，∴，又，∴．（2）由，及正弦定理得，∴，，故，即，由，得，∴當，即時，．18．（12分）如圖，已知三棱柱中，是全等的等邊三角形．（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）取BC的中點O，連接，，由于是等邊三角形，所以有，，且，所以，，所以．（2）設，是全等的等邊三角形，所以，又，由余弦定理可得，在中，有，所以以分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，設平面的一個法向量為，則，令，則，又平面的一個法向量為，所以二面角的余弦值為．19．（12分）移動支付（支付寶及微信支付）已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式，為調(diào)查市民使用移動支付的年齡結(jié)構(gòu)，隨機對100位市民做問卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下：35歲以下（含35歲）35歲以上合計使用移動支付4050不使用移動支付40合計100（1）將上列聯(lián)表補充完整，并請說明在犯錯誤的概率不超過0．10的前提下，認為支付方式與年齡是否有關？（2）在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調(diào)查，從這10人隨機中選出3人頒發(fā)參與獎勵，設年齡都低于35歲（含35歲）的人數(shù)為，求的分布列及期望．（參考公式：（其中）【答案】（1）列聯(lián)表見解析，在犯錯誤的概率不超過0．10的前提下，認為支付方式與年齡有關；（2）分布列見解析，．【解析】（1）根據(jù)題意及列聯(lián)表可得完整的列聯(lián)表如下：35歲以下（含35歲）35歲以上合計使用移動支付401050不使用移動支付104050合計5050100根據(jù)公式可得，所以在犯錯誤的概率不超過0．10的前提下，認為支付方式與年齡有關．（2）根據(jù)分層抽樣，可知35歲以下（含35歲）的人數(shù)為8人，35歲以上的有2人，所以獲得獎勵的35歲以下（含35歲）的人數(shù)為，則的可能為1，2，3，且，，，其分布列為123．20．（12分）已知橢圓()的離心率為，且以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知動直線l過右焦點F，且與橢圓C交于A、B兩點，已知Q點坐標為，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由離心率為，可得，，且以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓的方程為，因與直線相切，則有，即，，，故而橢圓方程為．（2）=1\*GB3①當直線l的斜率不存在時，，，由于．=2\*GB3②當直線l的斜率為0時，，，則．=3\*GB3③當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為，，，由及，得有，∴，，，，∴，綜上所述：．21．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線為，試求實數(shù)的值；（2）當時，若有兩個極值點，且，若不等式恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題可知，，，聯(lián)立可得．（2）當時，，，有兩個極值點，且，是方程的兩個正根，，，不等式恒成立，即恒成立，，由，，得，，令，，在上是減函數(shù)，，故．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修44坐標系與參數(shù)方程】過點作傾斜角為的直線與曲線相交于M、N兩點．（1）寫出曲線C的一般方程；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由曲線C的參數(shù)方程，可得，即曲線C的一般方程為．（2）直線MN的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將直線MN的參數(shù)方程代入曲線，得，整理得，設M，N對應的對數(shù)分別為