2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第04講基本不等式（原卷版）

第4講基本不等式思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b.2．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a＞0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．3．利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x>0，y>0，則(1)如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p)(簡(jiǎn)記：積定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(q2,4)(簡(jiǎn)記：和定積最大)．核心素養(yǎng)分析理解基本不等式。結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的求最大值或最小值的問(wèn)題。重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).題型歸納題型1利用基本不等式求最值【例11】（2019·濟(jì)南模擬）（1）已知，求的最大值；（2）已知，是正實(shí)數(shù)，且，求的最小值．【例12】（2019·遼寧模擬）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．【例13】（2019·合肥調(diào)研）已知a>b>0，那么a2＋eq\f(1,ba－b)的最小值為________．【跟蹤訓(xùn)練11】（2020春?湖北期中）已知，則的最小值為．【跟蹤訓(xùn)練12】（2020?韶關(guān)二模）已知，，且，則的最小值是A．7 B．8 C．9 D．10【名師指導(dǎo)】1.通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值的實(shí)質(zhì)及關(guān)鍵點(diǎn)拼湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵．2.通過(guò)常數(shù)代換法利用基本不等式求解最值的基本步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．3.通過(guò)消元法利用基本不等式求最值的策略當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值．4.兩次利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)當(dāng)連續(xù)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且注意取等號(hào)的條件的一致性．題型2利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題【例21】（2019秋?羅田縣期中）小王從甲地到乙地和從乙地到甲地的時(shí)速分別為和，其全程的平均時(shí)速為，則A． B． C． D．【例22】（2019春?南昌縣校級(jí)月考）某校甲、乙兩食堂某年1月份的營(yíng)業(yè)額相等，甲食堂的營(yíng)業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營(yíng)業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份兩食堂的營(yíng)業(yè)額又相等，則本年5月份A．甲食堂的營(yíng)業(yè)額較高 B．乙食堂的營(yíng)業(yè)額較高 C．甲乙兩食堂的營(yíng)業(yè)額相同 D．不能確定甲，乙哪個(gè)食堂的營(yíng)業(yè)額較高【跟蹤訓(xùn)練21】（2019秋?金安區(qū)校級(jí)月考）近來(lái)豬肉價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周豬肉價(jià)格分別為元斤、元斤，家庭主婦甲和乙買豬肉的方式不同：家庭主婦甲每周買3斤豬肉，家庭主婦乙每周買50元錢的豬肉，試比較誰(shuí)購(gòu)買方式更實(shí)惠（兩次平均價(jià)格低視為實(shí)惠）（在橫線上填甲或乙即可）．【名師指導(dǎo)】有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問(wèn)題的解題技巧(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值．(2)解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍．(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解．題型3基本不等式的綜合應(yīng)用【例31】（2020春?吉林月考）在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為A． B． C． D．【例32】（2020春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）已知直線過(guò)圓的圓心，則的最小值為A．3 B． C．6 D．【例33】（2020?山東模擬）若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【跟蹤訓(xùn)練31】（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）已知向量，且向量與向量平行，則的最大值為A．1 B．2 C．3 D．4【跟蹤訓(xùn)練32】（2020?淮南一模）已知函數(shù)，滿足，均為正實(shí)數(shù)），則的最小值為【名師指導(dǎo)】利用基本不等式解題的策略(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對(duì)所給不等式(或式子