七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試真題匯編（人教版）一元一次方程 章末題型（12個(gè)題型）（解析版）

專(zhuān)題09一元一次方程章末重難點(diǎn)題型（12個(gè)題型）

葩專(zhuān)堂導(dǎo)航

一、經(jīng)典基礎(chǔ)題

題型1方程與一元一次方程的辨別

題型2利用一元一次方程的定義和方程的解求值

題型3等式的性質(zhì)及應(yīng)用

題型4一元一次方程中的同解問(wèn)題

題型5方程的特殊解問(wèn)題（求參數(shù)的值）

題型6解方程

題型7含參數(shù)的一元一次方程

題型8一元一次方程中的錯(cuò)解和遮擋問(wèn)題

題型9一元一次方程中的新定義問(wèn)題

題型11一元一次方程中的整體換元

題型12一元一次方程中的實(shí)際應(yīng)用

二、優(yōu)選提升題

題型1方程與一元一次方程的辨別

例L（2022?吉林?大安市七年級(jí)期末）下列各式中，是一元一次方程的是（）

,I

A.x+2γ=5B.x2+x-l=0C.—D.3x+l=10

X

【答案】D

【分析】根據(jù)一元一次方程的定義分析即可得出結(jié)論.

【詳解】解：方程x+2y=5中含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

方程9+χ-i=o中未知數(shù)的最高次數(shù)為2次，不是一元一次方程，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

代數(shù)式?!?不是等式，更不是一元一次方程，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

X

方程3x+l=10含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1,是一元一次方程，故D正確；故選:

D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，熟記一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

變式L（2022?河南三門(mén)峽?七年級(jí)期末）在①2x+l；②1+7=15-8+1；③I-Jx=X-I；

④x+2y=3中，方程共有（）

A.1個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】含有未知數(shù)的等式叫方程，根據(jù)方程的定義解答.

【詳解】解：方程有③I-I=X-1：④x+2y=3,故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了方程的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?廣東湛江?七年級(jí)期末）下列各式中，不是方程的是（）

A.a+a=2aB.2x+3C.2x+l=5D.2（x+l）=2x+2

【答案】B

【分析】根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式稱(chēng)為方程）依次進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)方程的定義可得：A、C、D選項(xiàng)均為方程，

選項(xiàng)B不是等式，所以不是方程，故選：B.

【點(diǎn)睛】題目主要考查方程的定義，深刻理解方程的定義是解題關(guān)鍵.

題型2利用一元一次方程的定義和方程的解求值

【解題技巧】依據(jù)一元一次方程的定義，X的次數(shù)為1,系數(shù)不為0

方程的解：解方程就是求出使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解.

例L（2022?河南鄭州?七年級(jí)期末）若使方程（m+2）x=l是關(guān)于尤的一元一次方程，則m的

值是（）

A.∕∏≠-2B.∕n≠0C.m≠2D.m>-2

【答案】A

【分析】根據(jù)一元一次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1,等號(hào)兩邊都

是整式的方程叫做一元一次方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：團(tuán)方程（m+2）x=l是關(guān)于X的一元一次方程，團(tuán)加+2*0即，"-2.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一元一次方程

的定義.

變式1.（2022?福建泉州?七年級(jí)期末）若尤=3是關(guān)于X的方程0r-A=5的解，則64-2b-2

的值為（）

A.2B.8C.-3D.-8

【答案】B

【分析】將x=3代入ax-b=5中得3。4=5,將該整體代入6α-2?-2中即可得出答案.

【詳解】解:將X=3代入or3=5中得：3a-b=5,所以6a-2b-2=2（3a-b）-2=2×5-2=8.故選：

B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，求代數(shù)式的值，熟練掌握整體法是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?河南南陽(yáng)?七年級(jí)期末）若（a-l）x+l=O是關(guān)于X的一元一次方程，則，”的

值可以是（寫(xiě)出一個(gè)即可）

【答案】2（答案不唯一）

【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫一元一次方程，利用一

元一次方程的定義得出m7≠0,即可得出答案.

【詳解】解：（WT）X+1=0是關(guān)于X的一元一次方程，

Λ∕n-l≠O,解得加Hl,，機(jī)的值可以是2.故答案為：2（答案不唯-）.

【點(diǎn)睛】此題主要考查J'一元一次方程的定義，正確掌握一元一次方程定義是解題關(guān)鍵.

題型3等式的性質(zhì)及應(yīng)用

【解題技巧】

等式的性質(zhì)1：等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；

等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式.

例L（2022?海南?七年級(jí)期末）已知a="根據(jù)等式的性質(zhì)，可以推導(dǎo)出的是（）

A.a+2=b+↑B.-3a=-3bC.2a-3=2bD.-=-

cc

【答案】B

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)依次判斷即可.

【詳解】解：a=b,A、o+2M+l,選項(xiàng)不符合題意;

B>-3a=-3ht選項(xiàng)符合題意；C、2a=2h,團(tuán)2α-3≠2b,選項(xiàng)不符合題意；

D、當(dāng)CXo時(shí)，-=選項(xiàng)不符合題意；故選：B.

CC

【點(diǎn)睛】題目主要考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例L（2022?四川成都?八年級(jí)期末）某小組設(shè)計(jì)了一組數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，給全班同學(xué)展示以下三個(gè)

圖，其中（a）（?）中天平保持左右平衡，現(xiàn)要使（C）中的天平也平衡，需要在天平右盤(pán)中

放入祛碼的克數(shù)為（）

g—?I70^l/\“▲/JXL

(a)(b)(c)

A.25克B.30克C.40克D.50克

【答案】C

【分析】由圖（α）和圖（b）可得5個(gè)黑三角和5個(gè)黑圓共重150克，從而1個(gè)黑三角和1

個(gè)黑圓共重30克，由此可計(jì)算出1個(gè)黑三角重20克，1個(gè)黑圓重10克，可計(jì)算出此題結(jié)

果.

【詳解】設(shè)一個(gè)黑三角重”克，一個(gè)黑圓重?？?，由題意，

得5（α+?）=150,解得α+b=30,

由圖（α）得，a+2（α+?）=80,

即4+2x30=80,解得α=20,

06=30-20=10,Ekz+2∕>=20+10x2=20+20=40,故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了利用等式的性質(zhì)和方程解決實(shí)際問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)題意列出關(guān)

系式，利用等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

例2.（2022?江蘇泰州?七年級(jí)期末）已知方程x-2y=5,請(qǐng)用含X的代數(shù)式表示y,則），=.

【答案】F

2

【分析】先移項(xiàng)，再把y的系數(shù)化為1即可.

【詳解】解：移項(xiàng)得，-2y=5-x,y的系數(shù)化為1得，y=言.故答案為：?.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解二元一次方程，熟知等式的基本性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

題型4一元一次方程中的同解問(wèn)題

解題技巧：通過(guò)前一個(gè)方程求得X的值并代入后一個(gè)方程，轉(zhuǎn)化為含另一未知數(shù)的方程、

例L（2022?黑龍江大慶?期末）關(guān)于X的方程4x-2m=3x-l的解是x=2x-3”?的解的2倍，

則m的值為（）

I111

A.-B.-C.一一D.一一

2442

【答案】C

【分析】分別表示出兩個(gè)方程的解，根據(jù)解的關(guān)系列出方程，求出方程的解即可得到〃，的

值.

【詳解】解：方程4九-2m=3x-L

解得：x=2zn?l,

方程x=2x?3"b

解得:x=3mf

根據(jù)題意得：2m-l=6m,

c

解得：w=4?故選：?

4

【點(diǎn)睛】此題考查「一元一次方程的解,方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

變式1.（2022?遼寧大連?七年級(jí)期末）如果方程2x=4與方程3x+Zr=10的解相同，則k的

值為（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】C

【分析】解方程2x=4,求出X,根據(jù)同解方程的定義計(jì)算即可.

【詳解】解：：2x=4,.?.x=2,

；方程2x=4與方程3x+k=-2的解相同，.?.3χ2+k=10解得，k=4,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是同解方程，掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?山東煙臺(tái)?期末）若關(guān)于X的方程3（2x-l）=A+2x的解與關(guān)于X的方程

8-%=2（x+l）的解互為相反數(shù)，則&=.

【答案】15

【分析】分別解兩個(gè)方程，根據(jù)方程的解互為相反數(shù)，列出方程，解出々即可；

【詳解】解:3（2x-l）=*+2x,

6x-3=%+2x>

6x-2x=?+3，

4x=k+3,

左+3

犬-4，

解方程：8-%=2（x+l）,

8—k=2x+2,

2x=6-k,

6-k

x=----

2

根據(jù)題意列出方程三二+一=0，

42

解得：k=15,

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，依據(jù)解方程步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng),

系數(shù)化為1進(jìn)行計(jì)算，解題關(guān)鍵正確應(yīng)用運(yùn)算法則.

題型5方程的特殊解問(wèn)題（求參數(shù)的值）

解題技巧：求含參數(shù)一元一次方程的逆過(guò)程

例1.（2022?河南安陽(yáng)?七年級(jí)期末）關(guān)于X的方程2x+l=fcv的解是正整數(shù)，則整數(shù)k可以

取的值是.

【答案】3

【分析】把含X的項(xiàng)合并，化系數(shù)為1求X,再根據(jù)X為正整數(shù)求整數(shù)k的值.

【詳解】解：移項(xiàng)、合并，得2x—丘=—1,解得：x=-Jr,

2-k

???χ為正整數(shù)，k為整數(shù)，；.2-Z=-I解得k=3.故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的解.關(guān)鍵是按照字母系數(shù)解方程，再根據(jù)正整數(shù)解的要求

求整數(shù)k的值.

變式1.（2022?上海金山?八年級(jí)期末）如果關(guān)于X的方程αx=b無(wú)解，那么a、b滿(mǎn)足的條

件（）

A.a=0,b=0B.a≠0,b≠0C.a≠0,b=0D.a—0,b≠0

【答案】D

【分析】根據(jù)方程無(wú)解，可知含X的系數(shù)為0,常數(shù)不為0,據(jù)此求解.

【詳解】解：團(tuán)關(guān)于X的方程ax=b無(wú)解，0o=O,b≠0,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方

程的解，理解方程無(wú)解時(shí)含X的系數(shù)為0,常數(shù)項(xiàng)不為。是解題關(guān)鍵.

變式2.（2022?湖南）關(guān)于X的方程（a+l）x=a-1有解，則a的值為（）

A.a≠0B.a≠lC.a≠-1D.o≠+l

【答案】C

【分析】根據(jù)一元一次方程有解，可得一元一次方程的系數(shù)不能為零，可得答案.

【詳解】根據(jù)一元一次方程有解，可得一元一次方程的系數(shù)不能為零，可得答案.

解：由關(guān)于X的方程（a+I）X=a-1有解，得a+lwθ,解得a≠-l.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程有解的條件，利用了一元一次方程的系數(shù)不能為零.

變式3.（2022?黑龍江大慶?期末）關(guān)于X的方程2a（x-l）=（5-a）x+36有無(wú)窮多個(gè)解，則

a-b=.

25

【答案】y

【分析】方程整理后，根據(jù)有無(wú)窮多個(gè)解，確定出。與b的值，即可求出所求.

【詳解】解：方程整理得：（3a-5）x=2a+3A

團(tuán)方程有無(wú)窮多個(gè)解，03a-5=0,2a+3b=0,解得：a=∣,?=-y,

則a-。=]+?=~.故答案為：~.

【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

題型6解方程

【解題技巧】

解含有括號(hào)的一元一次方程：一般方法是由內(nèi)到外逐層去括號(hào)，但有時(shí)這樣做不一定能簡(jiǎn)化

運(yùn)算。因此，應(yīng)根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用恰當(dāng)?shù)娜ダㄌ?hào)的方法，以達(dá)到計(jì)算簡(jiǎn)便準(zhǔn)確

的目的。

對(duì)于多重括號(hào)，即可以按由內(nèi)向外的順序去括號(hào)，也可以按由外向內(nèi)的順序去括號(hào)。有時(shí)，

依據(jù)題目的數(shù)字特點(diǎn)，采取由外向內(nèi)的順序依次去括號(hào)，會(huì)使方程的變形更為簡(jiǎn)潔。

同時(shí)，當(dāng)括號(hào)前面的系數(shù)較大時(shí)，且各項(xiàng)有相同的因式時(shí)，也可以整體上把握，逆用分配律，

可使方程求解過(guò)程更為簡(jiǎn)單。

解分子分母中含有小數(shù)系數(shù)的方程：此類(lèi)題型，需要運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，先將分子和分

母同時(shí)擴(kuò)大，將小數(shù)化為整數(shù)，然后按照分?jǐn)?shù)解方程的步驟，去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并

同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1求解方程。

?QrrI9

例1.（2022?黑龍江七年級(jí)期末）解方程：（l）x-2（x-4）=3（1-x）；=2.

36

【答案】（1）x=-2.5;（2）X=——.

7

【分析】（1）方程去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，把X的系數(shù)化為1,即可求出方程的解：

（2）方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，把X的系數(shù)化為L(zhǎng)即可求出方程的解.

【詳解】解：（1）X-2（X-4）=3（l-x）

去括號(hào)得，χ-2x+8=3-3x

移項(xiàng)，合并得，2x=-5

系數(shù)化為1得，x=-2.5;

（2）注-9=2

36

去分母得，2（2-3x）-（x+2）=12

去括號(hào)得，4-6x-x-2=12

移項(xiàng)，合并得，-7x=10

系數(shù)化為1得，x=-y

【點(diǎn)睛】此題主要考查J'解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵.

變式L（2022?浙江七年級(jí)期末）解方程：

、C2x-?4-3X,、0.2x-0.40.05x-0.2

（z1）3----------=-----------%（2）----------------X=----------------

350.50.03

1944

【答案】（1）X=-^—:（2）X=—

717

【分析】（1）方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，把未知數(shù)系數(shù)化為1即可.

（2）方程整理后，去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，把未知數(shù)系數(shù)化為1即可.

【詳解】解：(1)3-^=1-x,

去分母得45-5(2x-l)=3(4-3x)-15x,

去括號(hào)得45-10x+5=12-9x-15x,

移項(xiàng)得-IOX+9x+15x=12-45-5,

合并得14x=-38,

19

系數(shù)化為1得X=-；；

0.2x-0.40.05Λ-0.2

--------------X=-------------

0.50.03

2Λ-45X-20

方程組化簡(jiǎn)為:---------X=---------

去分母得3(2x-4)-15x=5(5x-20),

去括號(hào)得6x-12-15x=25x-100,

移項(xiàng)得6x-15x-25x=-100+12,

合并同類(lèi)項(xiàng)得-34x=-88,

系數(shù)化為1得X=Y

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程：掌握解一元一次方程的步驟(去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、

合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1);針對(duì)方程的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=α

形式轉(zhuǎn)化.

變式2.(2022?天津和平?七年級(jí)期末)解下列方程：

、2Λ-15X+21-2X、3.1+0.2X0.2+0.03x3

(z1)-------------------=----------2；z(2)------------------------------=-.

3620.20.012

【答案】(I)X=-1；(2)X=-3.

【分析】(1)按解一元一次方程的一般步驟，求解即可；

(2)利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，先化去分母，再解一元一次方程.

【詳解】解：(1)去分母，得2(2x-1)-(5x+2)=3(1-2x)-12,

去括號(hào)，得4x-2-5x-2=3-6x-12,

移項(xiàng)，得4x-5x+6x=3-12+2+2,

合并，得5x=-5,

系數(shù)化為1,得X=-L

5×(3.1+0.2Λ?)100×(0.2+0.03X)3×0.5

(2)—,

5×0.2l00×0.012×0.5

整理，得15.5+x-20-3x=1.5,

移項(xiàng)，得X-3x=1.5-15.5+20,

合并，得-2x=6,

所以X--3.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程,掌握解一元一次方程的一般步驟是解決本題的關(guān)鍵.解

一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為L(zhǎng)

題型7含參數(shù)的一元一次方程

解題技巧：一元一次方程αx=b的解由α,b共同決定。

此類(lèi)方程一般先化為一元一次方程的最簡(jiǎn)形式αx=b,再分三種情況分類(lèi)討論：

b

（1）當(dāng)“0時(shí)，X=一；（2）當(dāng)a=0,b=0時(shí)，X為任意有理數(shù)；（3）當(dāng)α=0,bxθ時(shí)，

a

方程無(wú)解.

例1、（2022?江蘇七年級(jí)期中）解關(guān)于X的方程：rnx7=nx

【答案與解析】

解：原方程可化為：（〃2—〃）X=L

當(dāng)加一"/O,即〃2≠〃時(shí)，方程有唯一解為：X=---;

m-n

當(dāng)加一〃=0,即加=〃時(shí)，方程無(wú)解.

【總結(jié)升華】解含字母系數(shù)的方程時(shí)，先化為最.簡(jiǎn)形式以=8，再根據(jù)X系數(shù)。是否為零

進(jìn)行分類(lèi)討論.

變式L（2022?上海市松江區(qū)八年級(jí)期中）解關(guān)于X的方程：≡-3Λ=2（2-X）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化成1即可.

【詳解】解：mx-3x=2（2-x）,

去括號(hào)，得mx-3x=4-2x,

移項(xiàng)，得mx-3x+2x=4,

合并同類(lèi)項(xiàng)，得（m-l）x=4,

4

當(dāng)m-l≠0,即m≠l時(shí)，方程的解是X=-——，

/M-1

當(dāng)m-l=0,即m=l時(shí)，方程無(wú)解.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵.

題型8一元一次方程中的錯(cuò)解和遮擋問(wèn)題

例L（2022?河南?鄭州七年級(jí)期末）小明在做解方程作業(yè)時(shí)，不小心將方程中的一個(gè)常數(shù)污

染了看不清楚，被污染的方程是：?Λ-3=2（X+1）-般，怎么辦呢？小明想了想,

便翻看書(shū)后答案，此方程的解是x=-5,于是很快就補(bǔ)好了這個(gè)常數(shù)，他補(bǔ)出的這個(gè)常數(shù)

是—.

【答案】

_5

~2

【分析】設(shè)這個(gè)常數(shù)為。，將x=-5代入方程中求解關(guān)于“的方程即可.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)常數(shù)為“，將X=-5代入方程中得：?×（-5）—3=2（—5+1）-a,

解得：α=-∣?,故答案為：-∣?.

22

【點(diǎn)睛】本題考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的關(guān)鍵.

變式L（2022?湖南衡陽(yáng)?七年級(jí)期末）關(guān)于X的方程3（*-9）=5x-1,13處被蓋住了一個(gè)數(shù)

字，已知方程的解是x=5,那么*處的數(shù)字是（）

A.-1B.-17C.15D.17

【答案】D

【分析】把x=5代入已知方程，可以列出關(guān)于回的方程，通過(guò)解該方程可以求得團(tuán)處的數(shù)字.

【詳解】解：將x=5代入方程，得：3（49）=25-1,

解得：回=17,即回處的數(shù)字是17,故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查的是一元一次方程的解的定義，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的

值.

變式2.（2022?重慶酉陽(yáng)?七年級(jí)期末）劉明同學(xué)在解一元一次方程？x-3=x+3時(shí)，不小心

把？處X的系數(shù)弄得看不清了，他便問(wèn)鄰桌，但是鄰桌只告訴他，該方程的解是X=T（鄰

桌的答案是正確的），劉明同學(xué)便由此計(jì)算出了?處X的系數(shù)，那么這個(gè)系數(shù)是.

【答案】-5

【分析】設(shè)？表示的系數(shù)為。，把x=-l代入方程雙-3=x+3中，可得-“-3=-1+3,從而

可求得α的值.

【詳解】設(shè)？表示的系數(shù)為α,則原方程為依-3=x+3

由題意，X=-I是方程的解?-3=x+3

所以把X=-1代入方程0r-3=x+3中，得-α-3=-l+3

解得：α=-5故這個(gè)系數(shù)為一5故答案為：一5.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程解的概念及解?元一次方程，關(guān)鍵是清楚解的含義.

題型9一元一次方程中的新定義問(wèn)題

例L（2022,河南駐馬店?七年級(jí)期末）我們規(guī)定：若關(guān)于X的一元一次方程α+x=b（g0）

h4

的解為X=2,則稱(chēng)該方程為“商解方程例如：2+x=4的解為x=2且2=；,則方程2+

a2

x=4是"商解方程請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）判斷3+x=5是不是"商解方程

⑵若關(guān)于X的一元一次方程6+x=3（m-3）是"商解方程"，求"的值.

27

【答案】（1）不是（2）＞77=—

【分析】（1）求出方程的解是x=2,再進(jìn)行判斷即可；

（2）先求出方程的解，再根據(jù)題意得出關(guān)于機(jī)的方程，最后求出方程的解即可.

（1）3+x=5,x=2,而2≠g,所以3+x=5不是“商解方程”；

（2）6+X=3（"7-3）,6+x=3∕n-9,x=3∕π-9-6=3τn-15,關(guān)于工的一元一次方程

6+X=3（〃L3）是“商解方程”，Λ3（Z-1*3）=3zn-15,解得：m=—.

65

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟記方程的解的定義（使方程

左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解）是解此題的關(guān)鍵.

變式L（2022?湖南七年級(jí)期末）規(guī)定:用{機(jī)}表示大于M的最小整數(shù)，如{2.6}=3,{7}=8,

{T.5}=Y,用[機(jī)]表示不大于”，的最大整數(shù)，例如：[∣?]=2,[Y]=-4,[T.5]=-2.如果

整數(shù)X滿(mǎn)足關(guān)系式2[x]-512}=29,那么X=.

【答案】-8

【分析】根據(jù)題意可將2[幻-5{x-2}=29化為2x-5（x-2+l）=29,解出即可.

【詳解】解：由題意，得㈤=x,{x-2}=x-2÷l,

.?.2[x]-5{x-2}=29可化為2x—5（x—2+1）=29合并同類(lèi)項(xiàng)，得—3x=24解得：X=-8故

答案為：-8.

【點(diǎn)睛】本題結(jié)合新定義考查解一元一次方程的知識(shí)，比較新穎，注意仔細(xì)地審題理解新定

義的含義.

變式2.（2022?河南南陽(yáng)?七年級(jí)期中）我們把::稱(chēng)為二階行列式，且:"=ad-hc,如

bdba

12.-47

r=l×（-4）-2×3=-10.若=6,則加的值為（）

3-4zl2m

A.8B.-2C.2D.-5

【答案】D

【分析】根據(jù)二階行列式的定義列式得一個(gè)關(guān)于小的一元一次方程，求出根的值即可.

-47-47

【詳解】根據(jù)題意得C=-4m?2x7,0C=6,0-4∕n-2×7=6,解得團(tuán)=5.故選：D

2m2m

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用定義新運(yùn)算解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確的

列方程.

題型11一元一次方程中的整體換元

解題技巧：將含X的式子當(dāng)作一個(gè)整體進(jìn)行求解

例L(2022?山西忻州市?七年級(jí)期末)閱讀材料，完成任務(wù).

七年級(jí)同學(xué)在學(xué)完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)在一

元一次方程的部分習(xí)題和練習(xí)題中，存在著許多解題技巧，只要在解題中注重研究其結(jié)構(gòu)特

點(diǎn)和特殊規(guī)律，巧妙地運(yùn)用某些基本性質(zhì)、法則，就可以達(dá)成"一點(diǎn)通”的效果.小明是一名

喜歡動(dòng)腦筋的學(xué)生，在解方程1+3(4*-3)=2(4萬(wàn)-3)時(shí)，不是直接給方程去括號(hào)，而是假設(shè)

4x-3=a,然后把方程變形為：

l+3a=2a,

3a-2a=l,

a=l.

.?.4x-3=1,

解，得X=L

上面的問(wèn)題中利用新的未知量來(lái)代替原來(lái)的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原來(lái)

的未知量，從而得以求解，這種解方程的方法叫做換元法.

任務(wù)：參照材料中的解題方法解方程上==m?2D-ι.

35

【答案】x=-4

【分析】根據(jù)題示的方法，設(shè)7-2x=a,將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程求解即可.

L八M7-2x2(7-2x)

【詳解】W：---=—--------1

設(shè)7-2x=a,則原方程變形為：∣=y-l0?fl=1

解得，α=15即7-2×=15,解得，×=-4

【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解方程.換元法的一般步驟為：設(shè)元，換元，解元，還原.

變式L(2022?江西景德鎮(zhèn)?七年級(jí)期末)若X=T是關(guān)于X的方程依-6=l(aHθ)的解，則

關(guān)于X的方程a(2x—3)—b—1=0(aχθ)的解為.

【答案】-?

【分析】將X=T代入方程以一b=l(axθ)u]■得Ya-b=l,進(jìn)而代入a(2x—3)—b—1=0即

可得到a（2x-3）-b=T〃-方，根據(jù)等式的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】解：將X=Y代入方程O(píng)r-。=Ta-匕=1,

α（2x-3）-ft-l=0,整理得a（2x-3）-b=l,^?a（2x-^i）-b=^a-b,

2x-3=-4.解得x=-；，故答案為一萬(wàn).

【點(diǎn)睛】本題考查J'一元一次方程的解及等式的性質(zhì)，熟練掌握等式兩邊相同未知數(shù)前面系

數(shù)相等是解題的關(guān)鍵.

Y

變式2.（2022?浙江杭州市?七年級(jí)期末）已知關(guān)于X的一元一次方程點(diǎn)矗+3=2021x+α①

與關(guān)于y的一元一次方程為∣^-3=2021（3y-2）-4②，若方程①的解為X=2021,則方程

②的解為.

【答案】y=-673

【分析】根據(jù)題意得出-（3y-2）的值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：???關(guān)于X的一元一次方程泰+3=2021x+a①的解為x=2021,

.?.關(guān)于y的一元一次方程43=2021（3y-2）-α②中-（3y-2）=2021,

解得：y=-673,故答案為：y=-673.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程的解，正確得出-（3六2）的值是解題關(guān)鍵.

題型12一元一次方程中的實(shí)際應(yīng)用

解題技巧：與用字母表示式子的思路相同，尋找題干中的等量關(guān)系，利用未知數(shù)表示出來(lái)。

例1.（2022?河南南陽(yáng)?七年級(jí)期末）【問(wèn)題呈現(xiàn)】

某中學(xué)的學(xué)生以4千米/時(shí)的速度步行去某地參加社會(huì)公益活動(dòng)，出發(fā)30分鐘后，學(xué)校派一

名通信員騎自行車(chē)以12千米/時(shí)的速度去追趕隊(duì)伍，請(qǐng)問(wèn)通信員用多少分鐘可以追上隊(duì)伍.

【自主思考】（1）根據(jù)題意，請(qǐng)畫(huà)出示意圖：

⑵相等關(guān)系為（請(qǐng)?zhí)羁眨?

【建模解答】（請(qǐng)你完整解答本題）

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）學(xué)生步行30分鐘所走的路程+通信員出發(fā)后隊(duì)伍行走的路程=通信員追趕隊(duì)伍所走的路程;

通信員用15分鐘可以追上隊(duì)伍.

【分析】（1）根據(jù)題意，即可畫(huà)出示意圖；

（2）根據(jù)通訊員所走的路程=學(xué)生所走的總路程，列出一元一次方程，解方程即可求解.

（1）解：根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖如圖：

通信員出發(fā)后隊(duì)伍

學(xué)生步行30分鐘所走的路程：行走的路程：

____________通信員追趕隊(duì)伍所走的路程：

學(xué)校追及地點(diǎn)

（2）解：相等關(guān)系為：學(xué)生步行30分鐘所走的路程+通信員出發(fā)后隊(duì)伍行走的路程=通信員

追趕隊(duì)伍所走的路程；故答案為：學(xué)生步行30分鐘所走的路程+通信員出發(fā)后隊(duì)伍行走的路

程=通信員追趕隊(duì)伍所走的路程；設(shè)通訊員用X小時(shí)可以追上學(xué)生隊(duì)伍，根據(jù)題意可得：

4X*+4X=12X,解得：X=L,x60=15（分鐘），答：通信員用15分鐘可以追上隊(duì)伍.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，畫(huà)出草圖,找出題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

變式L（2022?山東七年級(jí)期末）某商場(chǎng)專(zhuān)柜賣(mài)出A,B兩件衣服，每件售價(jià)都是600元，

其中每件A衣服賺25%,每件8衣服賠25%.下列說(shuō)法正確的有（）個(gè)

①每件A衣服的成本價(jià)是480元.②每件8衣服的成本價(jià)是800元.③專(zhuān)柜售

出這兩件衣服是賠了80元.④專(zhuān)柜售出這兩件衣服是不賺也不賠

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】設(shè)賺錢(qián)的衣服的進(jìn)價(jià)為X元，賠錢(qián)的衣服的進(jìn)價(jià)為y兀，根據(jù)題意列出方程求解即

可.

【詳解】解：設(shè)賺錢(qián)的衣服的進(jìn)價(jià)為X元，

依題意，得：600-χ=25%x,解得：x=480,故①正確；

設(shè)賠錢(qián)的衣服的進(jìn)價(jià)為y元，600-y--25%y,解得：y=800,故②正確；

Λ600-480+600-800=-80,.?.這兩件衣服售出后商店虧了80元，故③正確，④錯(cuò)誤：

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的

關(guān)鍵.

變式2.（2022?江蘇南京?初一期末）列方程解應(yīng)用題：

用甲、乙、丙三部抽水機(jī)從礦井里抽水，單獨(dú)用一部抽水機(jī)抽完，用甲需要24小時(shí)，用乙

需要30小時(shí)，用丙需要40小時(shí)，現(xiàn)在甲、丙同時(shí)抽了6小時(shí)后，把乙機(jī)加入，問(wèn)乙加入

后還需要多少時(shí)間才能把井里的水抽完.

【答案】6小時(shí)，過(guò)程見(jiàn)詳解.

【分析】設(shè)還需X小時(shí)可以抽完，分別表示出三臺(tái)抽水機(jī)的工作量，利用工作量總和為1,

列出方程解答即可.

【解析】解：設(shè)還需X小時(shí)可以抽完，由題意得：

X+6XX+6

——+—+——=1,解得：x=6,答：還需6小時(shí)可以抽完.

243040

【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的實(shí)際運(yùn)用，掌握工作總量、工作時(shí)間、工作效率之間的數(shù)

量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

Q

2

1.（2022?河南鶴壁?七年級(jí)期末）在下歹IJ方程：①3x-y=2,②/-2X-3=0,③--=1,

X-I

④辭=1，⑤,〃-5=,"中，一元一次方程的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】由一元一次方程的概念可知：①只含有一個(gè)未知數(shù)，②未知數(shù)的次數(shù)為1,③整

式方程，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：在下列方程：①3x-y=2,②f_2x-3=O,③3=1，④三士=1，⑤

X-I2

2?,

3

_αO

④r三=1,⑤（〃?-5=%是一元一次方程，共2個(gè),故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的概念，掌握概念是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?黑龍江大慶?期末）下列各式運(yùn)用等式的性質(zhì)變形，正確的是（）

A.由α=匕，得旦=2B.由-3x=-3y,得了=一》

-44

C.由t=1，得X=；D.若M+l）α="+[,,則α=%

【答案】D

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判定即可.

【詳解】解：A.由α=b,得===，原式錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

-4-4

B.∣∣∣-3Λ=-3J,得x=y,原式錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.由1=1,得X=4,原式錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.^（m*12+*B.l）a=（m2+l）b,則α=6,正確，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?浙江金華?七年級(jí)期末）已知2x+y=1000,貝IJ代數(shù)式2021—4x—2），的值為（)

A.3021B.1021C.21D.4021

【答案】C

【分析】將2x+y=1000變形為與所求代數(shù)式相關(guān)的式子，即可代入求解.

【詳解】將等式2x+y=1000兩邊乘以—2,得-4x-2y=-2000,

則代數(shù)式2021-4x-2y=2021-2000=21,故答案為：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等式的基本性質(zhì)，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?長(zhǎng)沙市七年級(jí)月考）閱讀：關(guān)于X方程ax=b在不同的條件下解的情況如下：（1）

當(dāng)a≠0時(shí)，有唯一解x==2

(2)當(dāng)a=0,b=0時(shí)有無(wú)數(shù)解；（3）當(dāng)a=0,b≠0時(shí)無(wú)解.請(qǐng)你

根據(jù)以上知識(shí)作答：已知關(guān)于X的方程7?a=?-?（X-6）無(wú)解，則a的值是（）

326

A.1B.-1C.±1D.a≠l

【答案】A

【詳解】要把原方程變形化簡(jiǎn)，去分母得：2ax=3x-（x-6）,去括號(hào)得：2ax=2x+6,移

項(xiàng)，合并得，X=-1-.因?yàn)闊o(wú)解，所以a-1=0,即a=l.故選A.

a-l

點(diǎn)睛：此類(lèi)方程要用字母表示未知數(shù)后，清楚什么時(shí)候是無(wú)解，然后再求字母的取值.

5.（2022?重慶巴南?七年級(jí)期末）從Y,-2,-1,1,2,4中選一個(gè)數(shù)作為％的值，使得

?Y—k?V-Li,

關(guān)于X的方程I-W=三上-X的解為整數(shù)，則所有滿(mǎn)足條件的％的值的積為（）

43

A.-32B.-16C.32D.64

【答案】D

【分析】通過(guò)去分母，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為L(zhǎng)用含k的式子表示X,再根

據(jù)條件，得到滿(mǎn)足條件的k值，進(jìn)而即可求解.

?2-k

【詳解】由I-二=三二-X,解得:X=-------

432

?V一k?V-I-

?.?關(guān)于X的方程LJS=三二-X的解為整數(shù),

43

工滿(mǎn)足條件的）的值可以為:-4,-2,2,4,.'.（Y岡一2）x2x4=64,故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的解法，把k看作常數(shù)，掌握解一元一次方程的步驟,

是解題的關(guān)犍.

6.（2022?山東七年級(jí)期末）關(guān)于X的方程3〃比-|=；卜-g）有負(fù)整數(shù)解，則符合條件的整

數(shù)m的值可能是（）

A.-1B.3C.1D.2

【答案】A

2151r4、

【分析】由題意可得工=三，根據(jù)關(guān)于X的方程彳如-7=TX-7有負(fù)整數(shù)解可得2與

m-?232??/

m-1是倍數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求解即可.得.

151，4、2

【詳解】解：由7如—W=TX—W可得：尢=3，

232<?/加一1

???關(guān)于X的方程;g-g=g卜-g）有負(fù)整數(shù)解，且m為整數(shù)，

，加一1=-1或-2,，團(tuán)=0或-1,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵.

h-?

7.（2022?江蘇南通市?七年級(jí)期末）在有理數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算〃☆〃：a^b=a+-f如：

膚（-3）=1+三1=一1.如果20c=X☆（-1）成立，則X的值是（）

A.-1B.5C.0D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)新定義4V?6=4+怨，將2+x=X☆（-1）變形為方程，解之即可.

【詳解】解：?.?α??b=α+守，,2^x=X☆（-1）可化為2+^-=x+-^,解得：×=5,

故選B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程，新定義運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意掌握新運(yùn)算的

規(guī)律.

8.（2022?山東青島?一模）小賢在做解方程作業(yè)時(shí)，不小心將方程中的一個(gè)常數(shù)污染了看不

21

清楚，被污染的方程是：工-2=:工+,怎么辦呢？小賢想了想，便翻看書(shū)后答案，此

34

方程的解是X=-6,于是他很快就補(bǔ)好了這個(gè)常數(shù)，你能補(bǔ)出這個(gè)常數(shù)嗎？它應(yīng)是（）

92

A.--B.--C.-9D.-2

29

【答案】A

【分析】設(shè)被污染的常數(shù)為小將x=-6代入原方程得到關(guān)于。的一元一次方程，從而可求得

〃的值.

【詳解】解：設(shè)被污染的常數(shù)為G

3

將x=-6代入得：-4-2=-y+tz,

9

解得：f∕=-∣.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是一元一次方程的解和一元一次方程的解法，根據(jù)方程的解的定義

得到關(guān)于X的方程是解題的關(guān)鍵.

9.(2022?河北滄州?七年級(jí)期末)規(guī)定符號(hào)(4力)表示α,b兩個(gè)數(shù)中較小的一個(gè)，規(guī)定符號(hào)

[。,句表示。"兩個(gè)數(shù)中較大的一個(gè),例如：(3/)=1,[3,1]=3.則(-2,3)+-?-?=；

若(6,2)+3[-m,-機(jī)一l]=-4,則機(jī)的值為.

_9

【答案】1

4

【分析】根據(jù)定義得出(-2,3),[-2,-!]表示的數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算即可;

34

根據(jù)定義可得關(guān)于W的一元一次方程，再解方程即可求出團(tuán)的值.

【詳解】解：由題意可知:

9

=-T；

根據(jù)題意得：

∕π-2+3×(-nz)=-4,

解得ιn=l.

9

故答案為：??。?.

4

【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，根據(jù)題中給出的定義理解(以，b)與m，句表示

的意思是解答此題的關(guān)鍵.

10.(2022?福建?廈門(mén)市湖濱中學(xué)七年級(jí)期末)已知5是關(guān)于X的方程辦+0=0的解，則關(guān)

于X的方程α(x+8)+b=0的解是.

【答案】x=-3

【分析】把x=5代入方程O(píng)X+8=0,解得5α+b=0,得到6=-5a,把6=-5。代入方程

α(x+8)+b=0即可解題.

【詳解】解：把x=5代入方程方+6=0,

解得5“+b=0,

.,.b=-Sa,

b=-5α代入方程Qa+8)+0=0得

α(x+8)-5α=0

.?.α(x+8)=5α

.,.x+8=5

.*.x=-3

故答案為：x=-3.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的解和解一元一次方程，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題

關(guān)鍵.

Y

11.(2022?浙江杭州?七年級(jí)期末)已知關(guān)于X的一元一次方程毫+3=2020x+機(jī)的解為

x=2020,那么關(guān)于y的一元一次方程W+2020()，-1)="?-3的解為.

【答案】-2019

YY

【分析】方程念+3=2020x+m可整理得：血一2020x=機(jī)一3,則該方程的解為x=2020,

方程&+2020()-1)=根一3可整理得：痣―2020(1—y)=m-3,令"=1-y,則原方程

可整理得：合一2°20〃=加-3,則,=2020,得到關(guān)于》的一元一次方程，解之即可.

YY

【詳解】解：根據(jù)題意得：方程高+3=2020x+∕n可整理得：-±--2020x=m-3,則該

20202020

方程的解為X=202。，

方程?+202°(-D=5一3可整理得：-2020(1-y)=膽-3,

令”=1-y,則原方程可整理得：一--2020n=∕n-3,則”=2020,

2020

即l-y=2020,解得：y=-2019.故答案為：-2019.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，正確掌握轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵.

12.(2022?四川成都?七年級(jí)期末)關(guān)于X的方程5,"+3x=l+x的解比方程2x=6的解小2,

則m=.

【答案】-1##-0.2

【分析詵求出方程2Λ=6的解為x=3,可得方程5m+3x=l+x的解為X=I,把X=I代入5m+3.r=l+x

可得關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值.

【詳解】解方程2Λ=6,得X=3,

；關(guān)于X的方程5機(jī)+3x=l+x的解比方程2x=6的解小2,

.?.方程5m+3x=l+x的解為X=1,

5∕k+3=l+l,

解得：

故答案為：-g.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

叫做一元一次方程的解.

13.（2022?浙江麗水,七年級(jí)期末）己知關(guān)于X