2023屆高考數(shù)學復習系列模擬試卷及解析（新高考2卷）

《2023屆新高考數(shù)學復習系列模擬試卷》(新高考工工卷)

數(shù)學試卷

第I卷選擇題部分(共60分)

一'選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.(2022?山東?安丘市普通教育教學研究室高三階段練習)已知集合人={-1,1},

8=卜卜+“,》臼，貝(J()

A.AcB={l}B.AUB={-1,0,1}

C.Ac&3)={-1}D.他A)uB={—1,0,1}

【答案】B

【分析】汁算絕對值不等式得到3={T,0,1},從而進行交集，并集，補集相關(guān)計算.

1I31

【詳解】由x+萬金得：-1<X+1<1,所以

又因為xeZ,所以3={-1,0},

故Ac3={_1},A錯誤；

AUB={-1,0,1},B正確；

Ac低3)={1},C錯誤；

(aA)u8={x|xHl},D錯誤.

故選：B

2.(2022?四川省綿陽南山中學高三階段練習(文))已知z=2+i的共轉(zhuǎn)復數(shù)為2，則z(5-i)=

()

A.6+2iB.4-2iC.6-2iD.4+2i

【答案】C

【分析】使用共轉(zhuǎn)復數(shù)和復數(shù)乘法運算知識解決

【詳解】若z=2+i,則5=2—i,

z(z-i)=(2+i)(2-i-i)=(2+i)(2-2i)=4-4i+2i-2i2-6-2i.

故選：C.

3.(2022?河南?商丘市第一高級中學高三開學考試(文))“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，

1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算法》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，

英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而

西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整

除問題：將1至2022這2022個數(shù)中，能被5除余1且被7除余1的數(shù)按由小到大的順序排

成一列，構(gòu)成數(shù)列｛4｝，則此數(shù)列的項數(shù)為（）

A.58B.57C.56D.55

【答案】A

【分析】由題意能被5除余1昆被7除余1,即能被35除余1的數(shù)，從而可得數(shù)列｛%｝的

通項，再結(jié)合條件列不等式，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為能被5除余1且被7除余1,即能被35除余1的數(shù)，

所以q=l,%=36,4=71L,即｛4｝是以1為首項，35為公差的等差數(shù)列.

即=35〃-34

由題意知a.=35〃-34e[l,2022]得1435〃一3442022,

解得14〃458,“wN*，所以此數(shù)列的項數(shù)為58項.

故選:A.

4.（2022?廣東?高三階段練習）窗花是貼在窗紙或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝

術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已

知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2,P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則PAPB

的最大值為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用向量的加法法則及相反向量的定義，結(jié)合向量的數(shù)量

積的運算律及勾股定理即可求解.

【詳解】由題意可知，取AB的中點。，如圖所示

所以尸入.尸8=（尸?（尸O+oB）=（p0+a4）-（p°-a4）=po，一Q/i1

.2

=PO

當點尸與點E或點尸重合時，卜4取的最大值，產(chǎn)爐取得最大值，且最大值為

產(chǎn)+（2+20『=13+8立，故尸4尸8的最大值為12+8&.

故選：D.

5.（2022.浙江?高三階段練習）源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀獲得了長足的發(fā)

展.太空中的環(huán)境為某些科學實驗提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進行科學實

驗.在某次太空旅行中，宇航員們負責的科學實驗要經(jīng)過5道程序，其中A,B兩道程序既不

能放在最前，也不能放在最后，則該實驗不同程序的順序安排共有（）

A.18種B.36種C.72種D.108種

【答案】B

【分析】先排AB兩道程序有A；種放法，再排剩余的3道程序有A；種放法，再由分步計數(shù)

原理即可得出答案.

【詳解】先排AB兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，則在第2,3,4道程序選

兩個放A,B,共有A；種放法；再排剩余的3道程序，共有A；種放法；

則共有A>A；=36種放法.

故選：B.

6.（2022?全國?高三階段練習（文））己知3cos+=則sm：”2=（）

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件求得tan。，化簡sm求得正確答案.

cos26+1

【詳解】依題意3cos（0+當）=sin（9-^j,

5兀5兀

3|cos0cos--sin/9sin—|=sin^cos--cos^sin—,

I4444J44

71sin，一旦os。,

3cos0cos7T+--sin^sin7t+—

442

sin。一也cos。,

3|-COS0COS—+sin0sin—

442

一逑COS"逑sin*-—sin<9--cos6>,

2222

2sin。=cos6,tan0=‘由"=-1

cos02

sin20+22sin6cos8+2sincos0+sin20+cos20八2八1

------------=------------；=1---------------=tan。+tan-。+1

cos20+12cos~0--------------------cos-0

244

故選：C

7.（2022?江蘇?鹽城中學高三階段練習）在正四棱臺4BCO-ABC。中，A4=2A8=4,

AA=2,則該棱臺外接球的半徑為（）

A.2應B.3C.VlOD.3也

【答案】C

【分析】I解法1|設所求外接球球心為。，則。在上下底面中心的連線GQ上，利用勾股定

理可求得GG,設OG=?i,在Rt^OCG和Rt&OGG中，利用勾股定理可構(gòu)造方程組求得/;2,

即可得解.

［解法2］同解法1,求得直角梯形CGQG的各邊，利用圖形的特殊性，作出CG的中垂線,

與GG,的延長線交點即為球心，由此進行計算即可.

【詳解】I解法1］由題意知：四邊形ABCDA旦GR均為正方形，G，a為上下底面的中心，

設正四棱臺的外接球球心為O,外接球半徑為R，則Oe直線G6；

4耳=2AB=4,AC=20>4G=4亞，乂=2,

,5="逑言阡S

當。位于線段GG上時,

,解得：

m=2&

,解得：

R2=10

所以R=JiU,

故選：C.

［解法2］同解法1,求得CG=/=GG］，GG=20,CGGG為直角梯形，如圖所示，取QG的

中點，連接CN,則「?？伞隇榈妊苯侨切?，四邊形CGQN為正方形，取C&中點/，連接

MN井延氏交GQ的延長線于點0,由于MN為1CC,的中垂線，所以。C=0C,，即0為四棱臺

的外接球的球心，顯然，GQ=G、N=叵,

所以外接球半徑R=oc=-JCG2+GO2=V2+8=M■

故選：c.

8.(2022?上海市進才中學高三階段練習)己知函數(shù)f(x)對任意xeR都有

〃x+6)+/(x)=2/(3)且y=的圖像關(guān)于點(1,0)對稱，則“2022)=()

A.-3B.0C.3D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)〃x+6)+.f(x)=2,“3)得到函數(shù)周期為12,從而得到“2022)=46),再根

據(jù)y=f(xT)的圖像關(guān)于點(1,0)對稱,得到y(tǒng)=f(X)的圖象關(guān)于點(0,0)對稱,得到/(0)=0,

再利用賦值法求出"3)=0,最終求出“2022)="6)=0.

【詳解】因為/(x+6)+/(x)=2/(3),

所以〃x)+〃x-6)=2/⑶，

兩式相減后得：/(x+6)=/(x-6),

故函數(shù)的周期7=12,2022=12x168+6,

所以“2022)="6),

/(x+6)+/(x)=2/(3)中，令x=0得：/(6)+〃0)=2/⑶

y=/(x-l)的圖像關(guān)于點(1,0)對稱，

所以)可(犬)的圖象關(guān)于點(0,0)對稱，

又“X)的定義域為R,

所以“0)=0,

f(x+6)+/(x)=2/(3)中,令x=-3得:/(3)+/(-3)=2/(3),

所以/(一3)=/⑶，

因為)可(x)為奇函數(shù)，

所以〃-3)=-〃3),所以—〃3)=〃3),解得：“3)=0,

所以"6)=2/(3)=0,

則/（2022）=/（6）=0.

故選：B

二'多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個

選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得

0分.

9.（2022.福建師大附中高三階段練習）函數(shù)/（x）=V^sin（5+e）（o>O,|0］<1］的部分圖像

如圖所示，則下列說法中，正確的有（）

A./（x）的最小正周期T為1

B./（x）向左平移一3乃個單位后得到的新函數(shù)是偶函數(shù)

O

C.若方程/（x）=l在（0,〃。上共有6個根，則這6個根的和為33子7r

8

D.0年］）圖像上的動點M到直線2x-y+4=0的距離最小時，M的橫坐標為

7

【答案】ABD

【分析】選項A,把圖像上的點代入函數(shù)解析式，可以求出再算出最小正周期進行判斷;

選項B,利用圖像的平移，得到新函數(shù)解析式，再判斷奇偶性；

選項C,方程的根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題，再根據(jù)對稱性求和；

選項D,點到直線距離的最小問題，轉(zhuǎn)化成曲線的切線問題解決.

【詳解】因為〃x）經(jīng)過點傳，0）,所以/陵卜應sin（筍+°）=0,

乂等在/*）的單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，所以萼+9=兀+2質(zhì)（keZ）①；

8o

又因為廣（X）經(jīng)過點傳，I）,所以/（9）=&sin（等+0）=1,sin（竽+0）=當，

又》="是f（x）=l在時最小的解，所以學+e=筌+2E（keZ）②.

4844

聯(lián)立①、②，可得等=4,即0=2,代入①,可得e=-5+2也（0Z）,又|夕盛，所以

8442

9=-（，則/（x）=&sin12x-：J./（x）的最小正周期為夸=兀，A正確.

3兀

/a）向左平移9個單位后得到的新函數(shù)是

O

/（x）=V2sin^x+yj-^=0sin（2x+]）=>/icos2x,為偶函數(shù)，B正確.

設/（X）=l在（0,㈤上的6個根從小到大依次為小“，X,.令2x-（7T=]yr,則》=三37r，根據(jù)

/㈤的對稱性，可得空?=￥，則由/（X）的周期性可得經(jīng)，等+7=半，

2o288

^^=,+27=等，所以次七=2?+9+等）=等,C錯誤.

2oo[=]\ooo/4

作與/：2x-y+4=0平行的直線，使其與〃x）（xe0,曰]）有公共點，則在運動的過程中，只有

當直線與/（x）（xe0,弓。相切時，直線與/存在最小距離，也是點M到直線2x-y+4=0的

最小距離，

令f\x）=2夜cosf2x--l=2,則2》-巴=±工+2fataeZ）,

\4；44

解得X=E（AeZ）或A：+E（keZ）,又xjo,當，所以x=0,與（舍去），

44」44

n1.

——1+4

又f(0)=T,令陷(0,-1),f1,M則由|1+4|；2可得必到直線/的

距離大于知2到直線/的距離，所以M到直線2x-y+4=o的距離最小時，M的橫坐標為;，

4

D正確

故選：ABD.

10.（2022?云南大理?模擬預測）設點F為拋物線C：V=2px（p>0）的焦點，過點/斜率

為女的直線/與拋物線C交于M,N兩點（點M在第一象限），直線/交拋物線C的準線于點

P,若|“/|=3怛⑼=4,則下列說法正確的是（）

A.p=4B.FP+FM=0

C.k=^D.△MON的面積為46（。為坐標原點）

【答案】BC

【分析】設“（不/）川（”2）,利用焦半徑公式求出西=4-導進而求出

y：=8p-p2,￡=*p2,并結(jié)合胃=愣卜3,求出。，即可判斷A；求出

點的坐標，從而求出向量口，尸”的坐標，即可判斷B；已知兩點坐標，且2=

利用斜率公式可得％,即可判斷C；由SOM'NSOFM+SORV，求出"/?？傻拿娣e，即可判

斷D.

如圖，設A/a，y）,N（w，%）,

⑼3+勺4,阿卜毛+

23

?x=4-4X,=--^

??演2傳321

???y：=8p_p2,

又

NF\一何闖一、，

8PP?

.21=9=9

即y而-一r：

解得：P=2；

故選項A不正確;

由上述分析可知"（3,26）電「割

又容易知尸（l,0）,P（T,-2后）,

UU/L\UUU-

貝坨尸=(-2,-2/)，F(xiàn)M=(2,2⑹,

故FP+FM=0成立;

故選項B正確；

故選項C正確;

473

=L1X26+L1X也

S^OMN=S^OFM+S^OFN

223

故選項D不正確；

故選：BC.

11.（2022?廣東?珠海市第三中學二模）在正三棱錐P-ABC中，設

ZAPB=ZAPC=/BPC=0,以=2,則下列結(jié)論中正確的有（）

A.當。=三時，P到底面ABC的距離為偵

23

7T

B.當正三棱錐尸-ABC的體積取最大值時，則有e=§

TT

C.當。=工時，過點4作平面a分別交線段依，PC于點E,F（E,F不重合），則指

0

周長的最小值為2百

D.當。變大時，正三棱錐P-43C的表面積一定變大

【答案】AD

【分析】利用等體積法求正三棱錐的高判斷A；分析可得當時三棱錐體積最大判斷B；

2

利用平面展開圖分析C,寫出表面積，利用三角函數(shù)的單調(diào)性判斷D.

【詳解】解：對于A,當。二5時，AB=BC=AC=2啦,

S△做《2夜x2夜XJ=25

設正三棱錐P-ABC的高為h,

1117

^Vp-ABc=^SABCh=-x-PA-PB-PC,得h=3,A正確；

3323

對于B,結(jié)合A的分析，當正三棱錐尸-ABC的體積取最大值時，則有B錯；

對于C,當。=自時，過點A作平面a分別交線段尸B.PCTE,F（E,尸不重合），

6

則。出周長的最小值為展開圖的直線距離2夜，C錯：

對于。，在A4P8中根據(jù)余弦定理得AB2=AP2+BP--2AP-PBcos6>=8-8cos8,

所以S詆=gAB,BCsin方=2月（1-cos（9）,

所以S=SMC+3s咖=4/sin,-1+2打，

因為呵o,芝I，所以"會‘花），

故函數(shù)y=sin］。用在(0曰上遞增，

即當。變大時，正三棱錐尸-ABC的表面積一定變大，故D正確.

故選：AD.

12.(2022.湖北孝感?高三階段練習)已知6>0,若對任意的xw(0,”o),不等式

4-3x2-abx-3b<0AL,貝I」()

A.<0B.crb-3

C./+4b的最小值為12D.a?+〃〃+3a+〃的最小值為6一66

【答案】ACD

【分析】由已知可得3+3)，一切40,由于6>0,所以可得當0<x<振時，6+32(),

當x>揚時，冰+3K0,從而可得"0,+3=0,則。=一，然后代入各選項的式子

7b

中結(jié)合基本不等式和函數(shù)的性質(zhì)分析判斷.

【詳解】由0￥3+3了2一4及一36工0,得?(丁一人)+3(f-b)W0,

所以(ox+3)(7一b)<0,

因為b>0,

所以當0cxe正時，x2-Z?<0?當x>昭時，X2-b>0,

因為對任意的1￡(0,+00)，不等式ax3+3x2-abx-3Z?<0恒成立,

所以當0cx〈斯時，c/x+320,當x>加時，辦+3W0,

所以對于函數(shù)丁=依+3,有avO,a&+3=0,所以〃2^=9，

所以A正確，B錯誤,

對于C,因為〃〃+3=0,所以。=云,

所以〃2+4/?=2+4〃22--4/?=12,當且僅當g=4人，即Z?=6時取等號，所以片+4b的最

b\bb

小值為12,所以C正確,

令i+京,因為'Jb+22=26,當且僅當布?即％=3時取等號，所

以1226，

由t=加+木,得產(chǎn)=（揚+爰）=6+：+6,所以6+\=/-6,

所以嗚_3（指+京>—…]”1）-y,

所以函數(shù)%）=/一3-6='一|]一日在看刊上遞增，

所以當t=2有時，。+，-3（石+爰）=/-3/-6取得最小值為（2月戶一6百一6=6-6百，

所以/+“。+3°+。的最小值為6-6百，所以D正確，

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查不等式恒成立問題，考查基本不等式的應用，解題的關(guān)鍵是

由題意結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)得。<0,a揚+3=0,從而可結(jié)合基本不等式分析判

斷，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.

第II卷非選擇題部分（共90分）

三'填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2022?廣東廣州?高三階段練習）某品牌手機的電池使用壽命X（單位：年）服從正態(tài)

分布.且使用壽命不少于1年的概率為0.9,使用壽命不少于9年的概率為01，則該品牌手

機的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為.

2

【答案】0.4##彳

i_i_n

【分析】易得P（X<1）=P（XN9）,從而正態(tài)分布曲線的對稱軸為立線乂=爰=5,即可得

到答案

【詳解】由題意知P（XNl）=0.9,P（X29）=0.1,

P（X<l）=l-0.9=0.1=P（X>9）,

，正態(tài)分布曲線的對稱軸為直線*=1彳+9=5,

2

因為P（14X<9）=09—0.1=0.8,

P（5<X<9）=—=0.4,

故該品牌手機的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為0.4,

故答案為：0.4

14.(2022?浙江?高三專題練習)已知P為曲線y=lnx上的一動點，。為直線y=x+l上的一

動點，則當P的坐標為時，PQ最小，此時最小值為.

【答案】(1,0)0

【分析】通過圖像可知當直線/與曲線y=lnx相切且與直線y=x+l平行時，切點到直線

y=x+i的距離即為PQ的最小值，利用導數(shù)幾何意義可構(gòu)造方程求得尸，利用點到直線距離

公式求得P2最小值.

【詳解】如圖所示，當直線/與曲線y=lnx相切且與直線y=x+l平行時，切點到直線y=x+l

的距離即為P。的最小值.

15.(2022?全國?高三專題練習)已知點尸是圓(x-4『+(y-4)2=8上的動點，/1(6-1),O

為坐標原點，則PO+2PA的最小值為.

【答案】10

【分析】解法I：借助阿波羅尼斯圓的逆用，得到PO+2PA=2(P4'+P4),進而根據(jù)三點

共線即可求出最值：

解法2：將PO+2PA=舊+y2+2^(x-6)2+(y+l)2轉(zhuǎn)化為

=2(7(x-3)2+(y-3)2+7(x-6)2+(y+l)2j,進而結(jié)合進而根據(jù)三點共線即可求出最值.

【詳解】解法1：阿波羅尼斯圓的逆用

假設4(加,〃)，使得尸0=224',

則"2+y2,

從而可得3x2-Smx+4m2+3y2-+4n2=0,

從而可知圓心坐標為［q-，方"〉

所以普=4,y=4,解得m=〃=4,即A'(3,3).

所以P0+2以=2(E4'+PA)>2A'A

=2,(6_3/+(_]_3/=10.

即PO+2A4的最小值為10.

解法2：代數(shù)轉(zhuǎn)逆法

由(x_4/+(y_4)2=8,得丁+>2=8x+8y-24.

2222

PO+2PA=yjx+y+2>/(x-6)+(y+l)

=2J[丫+J(x_6『+(y+[)2

=2J，+力_汩+力+J(x_6)2+(y+])2

=2(yjx2+y2-(6x+6y-18)+^(x-6)'+(y+l)2)

22

=2(J(x_3j+(y_3『+A/(x-6)+(y+l)j

J(x-3)2+(y-3『+7(x-6)2+(y+l)2表示的是動點(x,y)與(3,3)和(6,-1)之間的距離之

和，當且僅當三點共線時，和最小，

故PO+2PA>2^(6-3『+(3+1f=2x5=10.

22

16.(2022?全國?高三專題練習)在平面直角坐標系x0y中，橢圓。:^+a=1(“>6>0)經(jīng)

過點P(0,1),且點尸與橢圓的左、右頂點連線的斜率之積為若橢圓C上存在兩點

Q,R,使得PQR的垂心(三角形三條高的交點)恰為坐標原點。，則直線QR的方程

［答案］y=-y/2x~~

【分析】根據(jù)題意列式求出。力，即可得出橢圓方程^+《=1,再設Q（x2J,R（x”片）,

42

根據(jù)題意，得到必《=-近，設直線QR的方程為y=-3x+w,聯(lián)立直線與橢圓方程，根

據(jù)判別式，以及根與系數(shù)關(guān)系，由題意，得到&?*二L=T，求出加，即可得出結(jié)果.

XX2—7Z

'21」

【詳解】由題意，得71n1-解得『A二橢圓C的方程為t+《=L

1-01-01b1=242

標=-，

設。（蒼，,），R（x2,y2）.-QRA.PO.而即。=2，J左加=一五，

故可設直線QR的方程為y=-缶+m.

聯(lián)立,）2，21-45/2//2x4-2/n2-4=0?

x2+2/=4

首先，由A>0得32m2-20（2療—4）>0,解得病<10.（*）且％+當=當"，玉七=3a-

又QOLPR,：.kQ°-kpR=-l,得貴一^2^=_1,

X】&一72

即「何上二回+尸=_1,整理得，3Al9一血風玉+W）+1一加=0，

X]/一q2

.2m2—4rr限叵m

??3x------------72mx-----+m2一機=0,

55

4

即3切2-5加—12=0,解得〃2=3或機=一§（均適合（*）式）.

當機=3時，直線QR恰好經(jīng)過點P,不能構(gòu)成三角形，不合題意，故舍去.

?.直線QR的方程為y=-岳-g.

四'解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.（2022?上海交大附中高三階段練習）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和S“=3〃-l,數(shù)列｛〃｝滿足

A=T，%=我+（2”-1）.

（1）求數(shù)列｛%｝、｛2｝的通項公式.

⑵若％=,求數(shù)列&｝的前〃項和T?.

【答案】（1）4=%.bn=n--2n

I3,n>2

—2,n=l

⑵4=，3"2-9"+2?

------2------，n~2

fS.,H=1

【分析】（1）先利用q=1c求出%，再利用累加法求出2；

（2）先利用（1）結(jié)果求出c“，再利用等差數(shù)列求和公式進行求和即可.

（1）

Sn=3n-l,?,.Sn^=3n-4,n>2,

an=Sn—Sn_|=3n—1—3/24-4=3(?>2),

當〃=1時，S]=q=2w3,

[2,n=l

工4=仁c

[3,72>2

；%=2+(2〃T),

/.b2-bx=1,b3-b2=3,b4-b3=5,...,bn-hn_{=2/i-3,n>2,

以上各式相加得：

_(n—1)(1+2M—3).[、2c

b—Z?|=1+3+5++(2n-3)=-——-----------=(/?-1)2,H>2,

fl2

bn-n~-2n,

又仇=-i符合上式，???勿=/一2〃；

—2,n=1

由題意得%=

3/?-6,n>2

〃=1時，7；=-2,

0+763/一9〃+2

當〃22時，7；l=^-x(n-l)-2=

2

一2,〃=1

3H2-9/24-2

,/1>2

2

18.（2022.湖南省桃源縣第一中學高三階段練習）已知在四邊形ABCD中,

ZABC+ZADC=7r,BC=CD=2,J.sinZACfi=2sinZACO.

BD

C

(1)證明：tanZABC=3tanZSAC；

(2)若AC=3,求四邊形ABC￡＞的面積.

【答案】(1)證明見解析；

⑵噸.

8

【分析】(1)根據(jù)題意和正弦定理NB4C=NDAC,利用誘導公式

sin(NABC+NBAC)=2sin(ZABC-ZBAC),結(jié)合兩角和的正弦公式化筒計算得

sinZABCcosABAC=3cosZABCsinZfi4C,利用同角的三角函數(shù)關(guān)系即可證明；

(2)由(1),利用余弦定理求出AO,求得cosNABC,利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出sinNABC,

結(jié)合三角形面積公式即可求解.

(1)

4ACBCACCD

在LABC中，--------=---------，在△AC。中，---------=---------，

sinZABCsinZBACsinZADCsinZDAC

因為NABC+NAOC=;r,所以sinNABC=sinNADC,

因為5C=CZ),所以sinNB4C=sinNDAC.

因為N84C+ND4Cv?,所以N84C=ZZMC,

因為sinZAC8=sin(ZABC+ZBAC),

sinZACD=sin(ZC4D+ZADC)=sin(NB4C+TI-ZABC)=sin(NA8C-ZBAC),

sinZACS=2sinZAO),

所以sin(ZABC+ZBAC)=2sin(ZABC—NBAC),

即sinZABCcosZBAC+cosZABCsinZBAC=2(sinZABCcosZBAC-cosZABCsinZBAC),

所以sinZABCcosABAC=3cosZABCsinABAC,

所以tanZABC=3tanZBAC.

(2)

由(1)可設AD=x,則AB=2x,

在LABC中，由余弦定理得，

AB2+BC2-AC24X2-5

cosZABC=

2ABBC8x

在△AC。中，由余弦定理得,

AD?+CD?-AC2x2-5

cosZADC=

2ADCD4x

因為cosZABC=cos(乃-ZADC)=-cosZADC,

所以若=一<’解得.乎或戶一萼（舍去），

所以cos/A8C=?

8

娓

所以sinZABC=sinZADC=3

~8~

所以四邊形ABC￡>的面積S=3S^=-AD-CDsinZADC=—.

ACI）28

19.（2022?湖南?長沙一中高三階段練習）某芯片制造企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進行試生產(chǎn).

在試產(chǎn)初期，該款芯片生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工

序，包括智能自動檢測與人工抽檢.

（1）在試產(chǎn)初期，該款芯片的批次M生產(chǎn)前三道工序的次品率分別為［=上,呂=▲.

①求批次〃芯片的次品率4；

②第四道工序中智能自動檢測為次品的芯片會被自動淘汰，合格的芯片進入流水線并由工

人進行抽查檢驗.已知批次M的芯片智能自動檢測顯示合格率為98%,求工人在流水線進

行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品的概率；

（2）該企業(yè)改進生產(chǎn)工藝后生產(chǎn)了批次N的芯片.某手機生產(chǎn)廠商獲得批次M與批次N的

芯片，并在某款新型手機上使用.現(xiàn)對使用這款手機的用戶回訪，對開機速度進行滿意度

調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計，回訪的100名用戶中，安裝批次M有40部，其中對開機速度滿意的有30

人；安裝批次N有60部，其中對開機速度滿意的有58人.依據(jù)a=0.005的獨立性檢驗，能

否認為芯片批次與用戶對開機速度滿意度有關(guān)？

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0100.0050.001

X。2.7063.8416.6357.87910.828

195

【答案】（1）①6”=/；②表；

（2）能認為芯片批次與用戶對開機速度滿意度有關(guān)聯(lián)，理由見解析.

【分析】（1）①先求出M芯片的正品率，利用對立事件求概率公式求出答案;

②利用條件概率公式求出人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品的概率；

（2）寫出列聯(lián)表，計算出卡方，與7.879比較后得到結(jié)論.

（1）

①批次M芯片的次品率為

%=1一［（1一4）（1一切（1一月）］=1號豢

②設批次M的芯片智能自功檢測合格為事件A,人工抽檢合格為事件B,

98119

由已知得P（A）=^，尸缶8）=1-斗=1-卞=指，

1lAJzuzu

則工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品為事件B\A,

P(AB)1910095

P(邳A)=---------------=-------X---------=——

尸(A)209898'

(2)

零假設為“0：芯片批次與用戶對開機速度滿意度無關(guān)聯(lián).

由數(shù)據(jù)可建立2x2列聯(lián)表如下：（單位：人）

芯片批次

開機速度滿意度合計

MN

不滿意10212

滿意305888

合計4060100

根據(jù)列聯(lián)表得

”(ad-bcY100>(10x58-2x30)2

%2?10.67>7.879.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)40x60x12x88

因此，依據(jù)a=0.005的獨立性檢驗，我們推斷此推斷“。不成立，即能認為芯片批次與用戶

對開機速度滿意度有關(guān)聯(lián).此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.

20.（2022?江蘇?南京師大附中高三階段練習）如圖，四棱錐P-ABCZ）的底面為矩形，平面

PCDJ?平面ABC。，aPCD是邊長為2等邊三角形，BC=0，點E為C￡＞的中點，點M為

PE上一點（與點P,E不重合）.

A

(1)證明：AM

(2)當AW為何值時，直線AM與平面BZW所成的角最大？

【答案】(1)證明見解析；

(2)2.

【分析】(1)根據(jù)面面垂宜的性質(zhì)定理可得平面A8CZ),可得結(jié)合條件可

得AELBD,然后利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即得；

(2)利用坐標法，表示出平面的法向量，利用向量夾角公式結(jié)合基本不等式即得.

(1)

因為三角形PCO是等邊三角形，且E是。C中點，

所以尸E_LC￡>,

又因為PEu平面PC。，平面PC￡>_L平面ABC。，平面PCZ))平面AfiCD=CD,

所以PE_L平而ABC。，

又因為BDu面ABC。，

所以BDLPE,

因為。E=1,A￡>=&,AB=2,空=空，

ADAB

所以RlEZMsRtDM,ZDAE=ZABD,

7T

所以NB4E+NABO=5，即AELBD,

因為/^=瓦4后<r平面上4￡,/石匚平面口蛀，

所以BO_L平面FAE，

又因為AMu平面PAE,

所以8D_LA"；

(2)

設廠是AB中點，以E為原點，E尸所在直線為x軸，EC所在直線為丫軸，EP所在直線為z

軸建立空間直角坐標系，

z

A

由已知得E(0,0,0),0),8(也,1,0),￡>(0,-1,0),P(0,0,6),

設何(0,0,M(0<m<,則AM=(-&,l,m),BD=(-0,-2,O),DM=(0,1,機)、

設平面BDM的法向量為〃=(a,b,c),

n-BD=—\[2a-2h=0

則《

n-DM=力+=0

令6=1,有〃=卜血

設直線AM與平面30M所成的角a,

當且僅當機=1時取等號，

當AV=2時，直線A"與平面BOW所成角最大.

22

21.(2022?上海交大附中高三階段練習)已知雙曲線C：2=1(4＞0力＞0)的右焦點為

/(2,0),漸近線方程為y=±6x,過尸的直線與C的兩條漸近線分別交于4B兩點.

(1)求C的方程；

(2)若直線A8的斜率為1,求線段AB的中點坐標；

⑶點P(x”)l)、。(芻,必)在C上，且為＞z＞0，X＞。.過P且斜率為-右的直線與過。且

斜率為K的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①M在

A8上；②尸。〃AB；③

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】⑴=i

3

⑵(-1,-3)

⑶答案見解析.

【分析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線方程和右焦點列出方程，即可求出答案;

3

（2）首先求出點"的軌跡方程即為加=十知，其中A為直線尸。的斜率；

k

若選擇①②：設直線AB的方程為,求出點M的坐標，可得M為AB的中點，

即可推出\MA\=\MB\.

若選擇①③：當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為丫=加（犬-2）,求出點M的坐標，

即可PQ〃A8；

若選擇②③：設直線AB的方程為2）,設AB的中點C,求出點C的坐標，可得點M

恰為A8中點，故點M在直線A8上.

（1）

由題意可得C=2,2=6,即】=6,或"2=2,

aa

解得。=i,/?=G>

因此C的方程為x2-^=l；

3

（2）

由直線A8的斜率為1,得直線A8的方程為y=x-2,

'y=x-2[x^-y/3-]l

聯(lián)立u，得：廠，不妨設A（-石-

.y=j3x[y=-3-j3

（y=x-2L=>/3-1「r-

聯(lián)立石，得：〈r'不妨設B（石-1,-3+6）,

產(chǎn)-J3xy=-3+石

故線段A8的中點的橫坐標為-1,縱坐標為-3,

故線段的中點的坐標為（-1,-3）；

（3）

由題意設直線P0的方程為丫="+加也wO）,將直線尸。的方程代入V一￡=1得

3

（3—k2）x2-2kmx-m2—3=0,

Okm~+q

A=12（〃?2+3-公）>o,因為X[>x2>o,,\X.+X2=---->0,x,x2=——7>0,

3-k2-3-F

22

.\3-k<0，x,-x2=^（Xj+x2）-4XjX2=——‘上3_-,

k"—J

設點M的坐標為（XM，丫M）,則卜Mf%7,

,yM_必73（山-x2）

整理得X_%=26Lw_6（X]+W），

-yt-%=&(芭-々)，.：26xM=K(X|+x2)+Za-Xy),

k>Jm2+3-k2-km

k2-3

又因為2%-儀+%)=6■-%)，

X+必=%。1+x2)+2m,2yM=\f?>(xi-x2)+4(4+x2)+2m,

3yJm2+3-k2-3m.3

v..=--------------------,.：y”=%xM；

F-3

若選擇①②作條件：

設直線AB的方程為y=%(x-2),并設A的坐標為一