山西省陽泉市盂縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

山西省陽泉市盂縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列各式中最小值為2的是（） A． B．+ C． D．sinx+參考答案：C【考點】基本不等式． 【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；不等式． 【分析】變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出． 【解答】解：A.=+＞2，不正確； B．a(chǎn)b＜0時，其最小值小于0，不正確； C.==+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)=1時取等號，滿足題意． D．sinx＜0時，其最小值小于0，不正確． 故選：C． 【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2.如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為()參考答案：C略3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為（

）A．4

B．8

C．16 D．64

參考答案：D略4.直線截圓得到的劣弧所對的圓心角為（

）

A.

B．

C．

D．參考答案：B5.在上隨機取一個實數(shù)，則的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到圖象，則函數(shù)的解析式是（）A. B.C. D.參考答案：C【分析】由題意利用三角函數(shù)的圖象變換原則，即可得出結(jié)論．【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得.故選：C．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于?？碱}型.7.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，4），若P（X＜2a+3）=P（X＞a﹣2），則a的值為（） A． B． 3 C． 5 D． 參考答案：A略8.已知函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．(－1,+∞)

B．(－1,0)

C．(－2,0)

D．(－2,－1)參考答案：B9.已知拋物線y2=2px的焦點F與雙曲線的右焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為K，點A在拋物線上且|AK|=|AF|，則△AFK的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．32參考答案：D【考點】拋物線的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由雙曲線得右焦點為（4，0）即為拋物線y2=2px的焦點，可得p．進(jìn)而得到拋物線的方程和其準(zhǔn)線方程，可得K坐標(biāo)．過點A作AM⊥準(zhǔn)線，垂足為點M．則|AM|=|AF|．可得|AK|=|AM|．可得|KF|=|AF|．進(jìn)而得到面積．【解答】解：由雙曲線得右焦點為（4，0）即為拋物線y2=2px的焦點，∴，解得p=8．∴拋物線的方程為y2=16x．其準(zhǔn)線方程為x=﹣4，∴K（﹣4，0）．過點A作AM⊥準(zhǔn)線，垂足為點M．則|AM|=|AF|．∴|AK|=|AM|．∴∠MAK=45°．∴|KF|=|AF|．∴=32．故選D．【點評】熟練掌握雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.雙曲線x2－=1的漸近線方程和離心率分別是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M為AD的中點，若?=4，則?=．參考答案：首先由已知求出角A的余弦值，然后利用平面向量的三角形法則將?用梯形的各邊表示，展開分別求數(shù)量積即可．解：由已知得到cos∠A=，AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M為AD的中點，若?=4，則?=（）（）==2×3×+﹣1×3=；故答案為：．12.學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一有A、B兩種菜可供選擇．調(diào)查表明，凡是在這星期一選A菜的，下星期一會有20%改選B菜；而選B菜的，下星期一會有30%改選A菜，用an表示第n個星期一選A的人數(shù)，如果a1=428，則a4的值為

．參考答案：316【考點】數(shù)列的函數(shù)特性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】a1=428，則a2=（1﹣20%）?428+30%（500﹣428），依此類推即可得出．【解答】解：∵a1=428，則a2=（1﹣20%）?428+30%（500﹣428）=364，a3=（1﹣20%）?364+30%（500﹣364）=332．∴a4=（1﹣20%）?332+30%（500﹣332）=316．故答案為：316．【點評】本題考查了數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．13.一質(zhì)點在直線上從時刻t＝0(s)開始以速度v＝-t＋3(單位：m/s)運動.求質(zhì)點在4s內(nèi)運行的路程------參考答案：-5

略14.設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值分別為M，m，則M+m=__________．參考答案：【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，再求目標(biāo)函數(shù)的最值即可得解.【詳解】解：，滿足約束條件的可行域如圖，由得；由得，將目標(biāo)函數(shù)化為，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點時目標(biāo)函數(shù)取得最小值，所以；當(dāng)直線經(jīng)過點時目標(biāo)函數(shù)取得最大值，所以，所以有.【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，屬基礎(chǔ)題.15.已知直線L：x+y﹣9=0和圓M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，點A在直線L上，B、C為圓M上兩點，在△ABC中，∠BAC=45°，AB過圓心M，則點A橫坐標(biāo)范圍為．參考答案：[3，6]【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】將圓的方程化為（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2，設(shè)A（a，9﹣a）①當(dāng)a≠2時，把∠BAC看作AB到AC的角，又點C在圓M，由圓心到AC的距離小于等于圓的半徑，求出a的范圍．②當(dāng)a=2時，則A（2，7）與直線x=2成45°角的直線有y﹣7=x﹣2，M到它的距離，判斷這樣點C不在圓M上不成立．【解答】解：圓M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0方程可化為（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2，設(shè)A點的橫坐標(biāo)為a．則縱坐標(biāo)為9﹣a；①當(dāng)a≠2時，kAB=，設(shè)AC的斜率為k，把∠BAC看作AB到AC的角，則可得k=，直線AC的方程為y﹣（9﹣a）=（x﹣a）即5x﹣（2a﹣9）y﹣2a2+22a﹣81=0，又點C在圓M上，所以只需圓心到AC的距離小于等于圓的半徑，即≤，化簡得a2﹣9a+18≤0，解得3≤a≤6；②當(dāng)a=2時，則A（2，7）與直線x=2成45°角的直線為y﹣7=x﹣2即x﹣y+5=0，M到它的距離d==＞，這樣點C不在圓M上，還有x+y﹣9=0，顯然也不滿足條件，綜上：A點的橫坐標(biāo)范圍為[3，6]．故答案為：[3，6]．16.在極坐標(biāo)系中，過點且垂直于極軸的直線方程_______________.參考答案：略17.已知平行六面體ABCD━A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，∠BAA1=∠DAA1=，則棱AA1和底面所成角為

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題14分）已知復(fù)數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位）．（1）求復(fù)數(shù)和；（2）求復(fù)數(shù)的模．

參考答案：解：（1）；

……………3分；

……8分（2），

…12分所以．

…………………14分

19.(12分)對甲、乙的學(xué)習(xí)成績進(jìn)行抽樣分析，各抽門功課，得到的觀測值如下：問：甲、乙誰的平均成績最好？誰的各門功課發(fā)展較平衡？

參考答案：解：，，∵∴甲的平均成績較好，乙的各門功課發(fā)展較平衡。略20.（本題滿分12分）設(shè)定點M，動點N在圓上運動，線段MN的中點為點P.

（1）求MN的中點P的軌跡方程；

（2）直線與點P的軌跡相切，且在軸．軸上的截距相等，求直線的方程.參考答案：解：（1）設(shè)P點坐標(biāo)為（），N點坐標(biāo)為（），則由中點坐標(biāo)公式有

N點在圓上

即為點P的軌跡方程

…6分

（2）因直線在軸、軸上截距相等，故的斜率存在且不為0，當(dāng)直線在軸、軸截距都為0時，設(shè)直線的方程為

即0

直線與相切

………………9分

當(dāng)在軸、軸上的截距均不為0時，設(shè)直線的方程為即

直線與相切

，故直線的方程為或綜上可知的方程為：

或或

…12分21.（本小題滿分12分）已知二次函數(shù)f(x)滿足：①在x=1時有極值；②圖象過點(0,-3)，且在該點處的切線與直線2x+y=0平行．⑴求f(x)的解析式；⑵求函數(shù)g(x)=f(x2)的單調(diào)遞增區(qū)間.

參考答案：解：⑴設(shè)f(x)=ax2+bx+c，則f￠(x)=2ax+b．

由題設(shè)可得：即解得所以f(x)=x2-2x-3．

⑵g(x)=f(x2)=x4－2x2－3，g￠(x)=4x3－4x=4x(x－1)(x+1)．列表：

由表可得：函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0)，(1,+∞)．略22.已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定義h（x）=max{f（x），g（x）}=．（1）求函數(shù)f（x）的極值；（2）若g（x）=xf'（x），且存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），求實數(shù)a的取值范圍；（3）若g（x）=lnx，試討論函數(shù)h（x）（x＞0）的零點個數(shù)．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為不等式在x∈[1，2]上有解，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（3）通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點個數(shù)即可．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）…令f'（x）=0，得x1=0或，∵a＞0，∴x1＜x2，列表如下：x（﹣∞，0）0f'（x）+0﹣0+f（x）↗極大值↘極小值↗∴f（x）的極大值為f（0）=1，極小值為…（2）g（x）=xf'（x）=3ax3﹣6x2，∵存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），∴f（x）≥g（x）在x∈[1，2]上有解，即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x∈[1，2]上有解，即不等式在x∈[1，2]上有解，…設(shè)，∵對x∈[1，2]恒成立，∴在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=1時，的最大值為4，∴2a≤4，即a≤2…（3）由（1）知，f（x）在（0，+∞）上的最小值為，①當(dāng)，即a＞2時，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上無零點…②當(dāng)，即a=2時，f（x）min=f（1）=0，又g（1）=0，∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有一個零點…③當(dāng)，即0＜a＜2時，設(shè)φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax3﹣3x2+1﹣lnx（0＜x＜1），∵，∴φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，又，∴存在唯一的，使得φ（x0）=0．Ⅰ．當(dāng)0＜x≤x0時，∵φ（x）=f（x）﹣g（x）≥φ（