高中數(shù)學(xué)線性回歸

關(guān)于高中數(shù)學(xué)線性回歸兩個(gè)變量之間的關(guān)系確定性的函數(shù)關(guān)系隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．正方形邊長x面積S確定關(guān)系一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系：水稻產(chǎn)量施肥量氣候情況澆水除蟲不確定關(guān)系第2頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析．例如：在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上進(jìn)行施肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)，得到如下所示的一組數(shù)據(jù)：當(dāng)施肥量x一定時(shí)，水稻產(chǎn)量y的值帶有一定的隨機(jī)性455450445405365345330水稻產(chǎn)量y

45403530252015施化肥量x

回歸分析第3頁,共20頁，2024年2月25日，星期天455450445405365345330水稻產(chǎn)量y

45403530252015施化肥量x

散點(diǎn)圖圖中各點(diǎn)，大致分布在某條直線附近。在這些點(diǎn)附近可畫直線不止一條，哪條直線最能代表x與y之間的關(guān)系呢？第4頁,共20頁，2024年2月25日，星期天一般地，設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于n個(gè)觀測值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，我們來求在整體上與這n個(gè)點(diǎn)最接近的一條直線．設(shè)所求的直線的方程為偏差偏差的符號(hào)有正有負(fù)，相加相互抵消，所以和不能代表幾個(gè)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程度.

采用n個(gè)偏差的平方和

回歸直線的計(jì)算步驟叫做回歸直線方程第5頁,共20頁，2024年2月25日，星期天Q取得最小值的a，b的求值公式我們將所得到的方程叫做回歸直線方程，相應(yīng)的直線叫做回歸直線，而對(duì)兩個(gè)變量所進(jìn)行的上述統(tǒng)計(jì)分析叫做線性回歸分析．第6頁,共20頁，2024年2月25日，星期天455450445405365345330水稻產(chǎn)量y

45403530252015施化肥量x

第7頁,共20頁，2024年2月25日，星期天因此所求的回歸直線方程是第8頁,共20頁，2024年2月25日，星期天于是提出一個(gè)問題：所求得的回歸直線方程，在什么情況下才能對(duì)相應(yīng)的一組觀測值具有代表意義呢？如圖是一組觀測值的散點(diǎn)圖．我們看到，圖中的各點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，但是按照上面的方法，同樣可以就這組數(shù)據(jù)求得一個(gè)回歸直線方程．這顯然是毫無意義的．變量的相關(guān)性第9頁,共20頁，2024年2月25日，星期天對(duì)于變量y與x的一組觀測值來說，我們把叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，（簡稱相關(guān)系數(shù)），可以證明，|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越?。?0頁,共20頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

一般地，當(dāng)|r|與1接近到什么程度才表明y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系呢？為明確這一點(diǎn)，通常采用對(duì)相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)（簡稱相關(guān)性檢驗(yàn)）的方法．其中待檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)是兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，檢驗(yàn)的步驟如下．第12頁,共20頁，2024年2月25日，星期天1．在附表3(P.59)中查出與顯著性水平0.05與自由度n－2（n為觀測值組數(shù)）相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05。2．根據(jù)公式⑤計(jì)算r的值．

3．檢驗(yàn)所得結(jié)果．第13頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

如果|r|≤r0.05，那么可以認(rèn)為y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，從而接受統(tǒng)計(jì)假設(shè)．

如果|r|>r0.05，表明一個(gè)發(fā)生的概率不到5％的事件在一次試驗(yàn)中竟發(fā)生了．這個(gè)小概率事件的發(fā)生使我們有理由認(rèn)為y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)是不成立的，拒絕這一統(tǒng)計(jì)假設(shè)，也就是表明可以認(rèn)為y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系．第14頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

按照上述步驟，我們來檢驗(yàn)一下第35頁水稻產(chǎn)量與施化肥量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系．1．在附表3中查出與顯著性水平0.05和自由度7－2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05=0.754．

2．前面已求得r≈0.9733．

3．因?yàn)閞>r0.05，這說明水稻產(chǎn)量與施化肥量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系．第15頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

這個(gè)結(jié)論表明，前面求得的關(guān)于這兩個(gè)變量之間的回歸直線方程是有意義的．又如，在第38頁產(chǎn)品月總成本與月產(chǎn)量關(guān)系的例子中，查得相應(yīng)于顯著性水平0.05和自由度12－2的r0.05為0.576，又算得r=0.998，由r>r0.05，可知，y與x之間存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系．第16頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

通常，在尚未斷定兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系的情況下，應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，在確認(rèn)其具有線性相關(guān)關(guān)系后，再求其回歸直線．第17頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

我們看到，由部分觀測值得到的回歸直線，可以對(duì)兩個(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行估計(jì)，這實(shí)際上是將非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題來進(jìn)行研究．由于回歸直線將部分觀測值所反映的規(guī)律性進(jìn)行了延伸，它在情況預(yù)報(bào)、資料補(bǔ)充等方面有著廣泛的應(yīng)用．第18頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．

相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)：

相關(guān)關(guān)系函數(shù)相同點(diǎn)不同點(diǎn)對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)