上海市浦東復(fù)旦附中分校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

-2024學(xué)年上海市上海復(fù)旦附中浦東分校高三年級(jí)下學(xué)期3月月考2024.3一、填空題(本大題共有12小題，滿分54分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.1.已知是虛數(shù)單位，則______.2.直線與直線平行，則______.3.設(shè)，若關(guān)于的不等式的解集是區(qū)間的真子集，則的取值范圍是______.4.函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.5.已知的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，則______.6.若橢圓的離心率為，則______.7.某醫(yī)院選派甲乙等4名醫(yī)生到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)義診，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少有一人，每名醫(yī)生只能去一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，且甲乙不在同一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的選派方法有______種8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則______.9.若函數(shù)的圖象在內(nèi)有且僅有兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心，則實(shí)數(shù)的最大值是______.10.已知某人每次投籃的命中率為，投進(jìn)一球得1分，投不進(jìn)得0分，記投籃一次的得分為，則的最大值為_(kāi)_____.11.若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為_(kāi)_____.12.已知非空集合滿足．若存在非負(fù)整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，均有，則稱集合具有性質(zhì)．設(shè)具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)為，求的值為_(kāi)_____.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.如圖，四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖為等腰梯形，已知，，則下列說(shuō)法正確的是A． B． C．四邊形的周長(zhǎng)為 D．四邊形的面積為14.有一組樣本數(shù)據(jù)由5個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，，，組成，其中是最小值，是最大值，若在原數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上增加兩個(gè)數(shù)據(jù)，，組成一組新的樣本數(shù)據(jù)，，，，，，則A．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù) B．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù) C．新樣本數(shù)據(jù)的方差等于原樣本數(shù)據(jù)的方差 D．新樣本數(shù)據(jù)的方差大于原樣本數(shù)據(jù)的方差15.某品牌手機(jī)為了打開(kāi)市場(chǎng)，促進(jìn)銷售，準(zhǔn)備對(duì)其特定型號(hào)的產(chǎn)品降價(jià)，有四種降價(jià)方案：①先降價(jià)，再降價(jià)；②先降價(jià)，再降價(jià)；③先降價(jià)，再降價(jià)；④一次性降價(jià)．其中，則最終降價(jià)幅度最小的方案是A．① B．② C．③ D．④16.已知平面非零向量，，，滿足，，，則對(duì)于任意的使得A．恒有解 B．恒有解 C．恒無(wú)解 D．恒無(wú)解三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）如圖．在直棱柱中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)．（1）證明：；（2）當(dāng)異面直線，所成的角為時(shí)，求三棱錐的體積．18.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）對(duì)于函數(shù)，若的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則稱為定義域上的“函數(shù)”．（1）試判斷，是否為“函數(shù)”，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；（2）若是定義在區(qū)間上的“函數(shù)”求實(shí)數(shù)的取值范圍；19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（2）記為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）．20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）己知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓C于另一點(diǎn)B，若△OAB的面積為2，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程；（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MA，NA分別交直線于點(diǎn)P，Q.求證：線段PQ的中點(diǎn)為定點(diǎn).21.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知函數(shù)（1）若，求的單調(diào)區(qū)間（2）若時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（3）定義函數(shù)，對(duì)于數(shù)列，若，則稱為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個(gè)“源數(shù)列”①已知，為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對(duì)任意正整數(shù)，均有②已知，為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問(wèn)在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由。2023-2024學(xué)年上海市上海復(fù)旦附中浦東分校高三年級(jí)下學(xué)期3月月考2024.3一、填空題(本大題共有12小題，滿分54分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.1.已知是虛數(shù)單位，則______.【答案】【解析】2.直線與直線平行，則______.【答案】4【解析】由題意知3.設(shè)，若關(guān)于的不等式的解集是區(qū)間的真子集，則的取值范圍是______.【答案】【解析】不等式的解集是區(qū)間的真子集，則4.函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【答案】3【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)5.已知的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，則______.【答案】【解析】由題意知6.若橢圓的離心率為，則______.【答案】或【解析】若焦點(diǎn)在軸上，則若焦點(diǎn)在軸上，則7.某醫(yī)院選派甲乙等4名醫(yī)生到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)義診，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少有一人，每名醫(yī)生只能去一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，且甲乙不在同一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的選派方法有______種【答案】30【解析】不同的選派方法是8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則______.【答案】210【解析】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，①則當(dāng)時(shí)，，②由①②可得，，9.若函數(shù)的圖象在內(nèi)有且僅有兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心，則實(shí)數(shù)的最大值是______.【答案】【解析】由題意得，，令，，解得，令，1，2，得；令，解得，令，2，得．根據(jù)題意，得，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值是10.已知某人每次投籃的命中率為，投進(jìn)一球得1分，投不進(jìn)得0分，記投籃一次的得分為，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題意可知，服從兩點(diǎn)分布，可得，，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故最大值為11.若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為_(kāi)_____.【答案】1【解析】設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，即，直線過(guò)定點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，即，直線過(guò)定點(diǎn)，所以，所以，則，是函數(shù)和的圖象與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易知與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而曲線也關(guān)于直線對(duì)稱，因此點(diǎn)，，，關(guān)于直線對(duì)稱，從而，，所以12.已知非空集合滿足．若存在非負(fù)整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，均有，則稱集合具有性質(zhì)．設(shè)具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)為，求的值為_(kāi)_____.【答案】31【解析】當(dāng)時(shí)，，，，，，，1，具有性質(zhì)，對(duì)應(yīng)的分別為0，1，2，1，1，故（2）．時(shí)，具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，，其中表達(dá)也具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)，下面計(jì)算關(guān)于的表達(dá)式，此時(shí)應(yīng)有，即，故對(duì)分奇偶討論，①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，故應(yīng)該有，則對(duì)每一個(gè)，和必然屬于集合，且和，，和共有組數(shù)，每一組數(shù)中的兩個(gè)數(shù)必然同時(shí)屬于或不屬于集合，故對(duì)每一個(gè)，對(duì)應(yīng)的具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)為，所以．②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，故應(yīng)該有，同理，，由累加法得：，二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.如圖，四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖為等腰梯形，已知，，則下列說(shuō)法正確的是A． B． C．四邊形的周長(zhǎng)為 D．四邊形的面積為【答案】D【解析】如圖過(guò)作，由等腰梯形可得：△是等腰直角三角形，即，即錯(cuò)誤；還原平面圖為下圖，即，即錯(cuò)誤；過(guò)作，由勾股定理得，故四邊形的周長(zhǎng)為：，即錯(cuò)誤；四邊形的面積為：，即正確．故選：．14.有一組樣本數(shù)據(jù)由5個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，，，組成，其中是最小值，是最大值，若在原數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上增加兩個(gè)數(shù)據(jù)，，組成一組新的樣本數(shù)據(jù)，，，，，，則A．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù) B．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù) C．新樣本數(shù)據(jù)的方差等于原樣本數(shù)據(jù)的方差 D．新樣本數(shù)據(jù)的方差大于原樣本數(shù)據(jù)的方差【答案】D【解析】根據(jù)題意，假設(shè)正整數(shù)，，，依次為3、4、5、6、7，其平均數(shù)為，則增加兩個(gè)數(shù)據(jù)后，新數(shù)據(jù)為2、3、4、5、6、7、8，其平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則、錯(cuò)誤；增加數(shù)據(jù)后，數(shù)據(jù)的波動(dòng)變大了，則其方差變大，即新樣本數(shù)據(jù)的方差大于原樣本數(shù)據(jù)的方差，正確，錯(cuò)誤．故選：．15.某品牌手機(jī)為了打開(kāi)市場(chǎng)，促進(jìn)銷售，準(zhǔn)備對(duì)其特定型號(hào)的產(chǎn)品降價(jià)，有四種降價(jià)方案：①先降價(jià)，再降價(jià)；②先降價(jià)，再降價(jià)；③先降價(jià)，再降價(jià)；④一次性降價(jià)．其中，則最終降價(jià)幅度最小的方案是A．① B．② C．③ D．④【答案】C【解析】設(shè)手機(jī)原價(jià)為元，因?yàn)?，不妨設(shè)，①，②③；④；可見(jiàn)③降價(jià)幅度最?。蔬x：C．16.已知平面非零向量，，，滿足，，，則對(duì)于任意的使得A．恒有解 B．恒有解 C．恒無(wú)解 D．恒無(wú)解【答案】B【解析】設(shè)，其中，記因?yàn)?，所以，即．若，則點(diǎn)的軌跡是拋物線，點(diǎn)恰為拋物線的焦點(diǎn)．記，因?yàn)?，所以，則，，三點(diǎn)共線，則是過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，此時(shí)．①若，則點(diǎn)的軌跡是橢圓，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，軸是橢圓的左準(zhǔn)線，是過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，此時(shí)圓與準(zhǔn)線相離，故．②若，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，軸是雙曲線的右準(zhǔn)線，是過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，此時(shí)圓與準(zhǔn)線相交，故可正，可負(fù)，可零．所以當(dāng)時(shí)，恒有，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，與均有解，故，錯(cuò)誤；故選：．三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）如圖．在直棱柱中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)．（1）證明：；（2）當(dāng)異面直線，所成的角為時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）直棱柱中，平面，平面，中，，為中點(diǎn)，又、平面，平面，結(jié)合平面，可得；（2）直棱柱中，，（或其補(bǔ)角）即為異面直線、所成的角，，又平面，可得，結(jié)合，可得平面，平面，因此，△中，，可得，得又，由此可得18.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）對(duì)于函數(shù)，若的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則稱為定義域上的“函數(shù)”．（1）試判斷，是否為“函數(shù)”，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；（2）若是定義在區(qū)間上的“函數(shù)”求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】（1）是；（2）【解析】（1）根據(jù)題意，，可得，故是“函數(shù)”；（2）因?yàn)闉椤昂瘮?shù)”，所以存在，使，即，整理得在有解．因?yàn)?，所以，可得，結(jié)合在上恒成立，可得，綜上所述，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（2）記為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）用表示甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的是事件，表示第局甲獲勝，表示第局乙獲勝，則，，，2，3，4，5（A）．（2）的可能取值為2，3，4，5．，，，，或者，故分布列為：234520.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）己知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓C于另一點(diǎn)B，若△OAB的面積為2，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程；（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MA，NA分別交直線于點(diǎn)P，Q.求證：線段PQ的中點(diǎn)為定點(diǎn).【答案】（1）；（2）或；（3）見(jiàn)解析【解析】（1）由題意可得：，解得，故橢圓方程為：.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即聯(lián)立，設(shè)，則，解得.故此時(shí)方程為；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件；故直線方程為或.（3）設(shè)，直線的方程為：與橢圓方程聯(lián)立可得：即：，則：直線的方程為：令可得：同理可得：.很明顯，且：，注意到：而：故，從而.21.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知函數(shù)（1）若，求的單調(diào)區(qū)間（2）若時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（3）定義函數(shù)，對(duì)于數(shù)列，若，則稱為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個(gè)“源數(shù)列”①已知，為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對(duì)任意正整數(shù)，均有②已知，為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問(wèn)在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由。【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）；（3）見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，令，則，解得或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)