高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計

第八講概率統(tǒng)計

考點透視

1.了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機事件概率的意義.

2.了解等可能性事件的概率的意義,會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率.

3.了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公

式計算一些事件的概率.

4.會計算事件在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率.

5.掌握離散型隨機變量的分布列.

6.掌握離散型隨機變量的期望與方差.

7.掌握抽樣方法與總體分布的估計.

8.掌握正態(tài)分布與線性回歸.

例題解析

考點1.求等可能性事件、互斥事件和相互獨立事件的概率

解此類題目常應(yīng)用以下知識：

1等可能性事件古典概型的概率：PA=card(A)=m;

card{I}n

等可能事件概率的計算步驟：

①計算一次試驗的基本事件總數(shù)〃；

②設(shè)所求事件A,并計算事件A包含的基本事件的個數(shù)用；

③依公式戶(如機求值；

P(A)=—

n

④答,即給問題一個明確的答復(fù).

2互斥事件有一個發(fā)生的概率：PA+B=PA+PB；

特例：對立事件的概率：PA+P1=PA+N=1.

3相互獨立事件同時發(fā)生的概率：PA?B=PA?PB；

特例：獨立重復(fù)試驗的概率：Pnk=aUmAp(Ai-p)n-k.其中P為事件A在一次試驗中發(fā)

生的概率,此式為二項式l-P+Pn展開的第k+1項.

4解決概率問題要注意“四個步驟,一個結(jié)合”:

①求概率的步驟是:

等可能事件

第一步,確定事件性質(zhì)

互斥事件

獨立事件

n次獨立重復(fù)試驗

即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種.

第二步,判斷事件的運算［和事件

i積事件

即是至少有一個發(fā)生,還是同時發(fā)生,分別運用相加或相乘事件.

第三步,運用公式等可能事件：P(A)=—

互斥事件：P(A+8)=P(A)+P(B)

獨立事件：P(AB)=P(A)P(B)

n次獨立重復(fù)試驗：P(k)=Ckpk([-p)?-k

第四步,答，即給提出的問題有一個明確的答復(fù).

例1.在五個數(shù)字1,2,3,4,5中，若隨機取出三個數(shù)字，則剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)的概

率是結(jié)果用數(shù)值表示.

考查目的本題主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.

Ci~5x4

例2.一個總體含有100個個體，以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為

5的樣本,則指定的某個個體被抽到的概率為.

考查目的本題主要考查用樣本分析總體的簡單隨機抽樣方式，同時考查概率的概

念和等可能性事件的概率求法.

用頻率分布估計總體分布，同時考查數(shù)的區(qū)間~的意義和概率的求法.

解答過程，提示：尸_/___1

20'10020

例3從自動打包機包裝的食鹽中，隨機抽取20袋,測得各袋的質(zhì)量分別為單位：g：

492496494495498497501502504496

497503506508507492496500501499

根據(jù)的原理，該自動包裝機包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在~之間的概率約為.

考查目的本題主要考查用頻率分布估計總體分布，同時考查數(shù)的區(qū)間~的意義和概

率的求法.

解答過程在~內(nèi)的數(shù)共有5個,而總數(shù)是20個,所以有

204'

點評：首先應(yīng)理解概率的定義,在確定給定區(qū)間的個體的數(shù)字時不要出現(xiàn)錯誤.

例4.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為.現(xiàn)有5人接種該疫苗,至少有3人出現(xiàn)

發(fā)熱反應(yīng)的概率為.精確到

考查目的本題主要考查運用組合、概率的基本知識和分類計數(shù)原理解決問題的能

力，以及推理和運算能力.w

g

解答提示至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為

口

C3-0.803-0.202+C4-0.804?0.20+Cs0.80s=0.94?H

555

故填.

例5.右圖中有一個信號源和五個接收器.接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時,

就能接收到信號,否則就不能接收到信號.若將圖中左端的六個接線點隨機地平均

分成三組,將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩

個接線點用導(dǎo)線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是

A_4_BJ_C_￡DJ_

45361515

考查目的本題主要考查運用組合、概率知識，以及分步計數(shù)原理解決問題的能力,

以及推理和運算能力.

解答提示由題意,左端的六個接線點隨機地平均分成三組有COC2種分法，同理

Ai

右端的六個接線點也隨機地平均分成三組有代種分法；要五個接收器能同

―6-4*?=15

A3

3

時接收到信號,則需五個接收器與信號源串聯(lián)在同一個線路中，即五個接收器的一

個全排列，再將排列后的第一個元素與信號源左端連接,最后一個元素與信號源右

端連接，所以符合條件的連接方式共有A.120種，所求的概率是P%。8,所以選

J-1Z.V廠=

522515

D.

點評：本題要求學(xué)生能夠熟練運用排列組合知識解決計數(shù)問題，并進一步求得概率

問題，其中隱含著平均分組問題.

例6.從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次,每次隨機抽取1件，假設(shè)事件力：“取

出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率p（A）=096.

1求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p;

2若該批產(chǎn)品共100件,從中任意抽取2件,求事件B：“取出的2件產(chǎn)品中至少有

一件二等品”的概率p（B）.

考查目的本小題主要考查相互獨立事件、互斥事件等的概率計算,運用數(shù)學(xué)知識解

決問題的能力，以及推理與運算能力.

解答過程1記A表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，

0

A表示事件”取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”.

1

則A,A互斥，且A=A+A，故

010I

J0.96=1-/?2,

解得p=0.2,p二一0.2舍去?

I2

2記B表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，則八萬.

00

若該批產(chǎn)品共100件，由1知其中二等品有100x0.2=20件,故WA_316.

■I\D）—M）,—

oC2495

100

例7.兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本.將它

們?nèi)我獾嘏懦梢慌?左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率

是結(jié)果用分數(shù)表示.

考查目的本題主要考查運用排列和概率知識，以及分步計數(shù)原理解決問題的能力,

以及推理和運算能力.

解答提示從兩部不同的長篇小說8本書的排列方法有As種,左邊4本恰好都屬于

8

同一部小說的的排列方法有種.所以，將符合條件的長篇小說任意地排成

442

一排，左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是「一”勺1種.所以，填1.

483535

8

例8.甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球,2個白球；乙袋

裝有2個紅球,n個白球.由甲，乙兩袋中各任取2個球.

I若n=3,求取到的4個球全是紅球的概率；II若取到的4個球中至少有2個紅球

的概率為3求n.

4

考查目的本題主要考查排列組合、概率等基本知識，同時考察邏輯思維能力和數(shù)學(xué)

應(yīng)用能力.

標準解答I記”取到的4個球全是紅球”為事件上

II記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件8,“取到的4個球只有1個紅球”

為事件8,“取到的4個球全是白球”為事件

12

由題意，得131

尸(8)=匚=7

所以，P(8)=P(B)+P(B)=———......+―-----1*~=1)

123(n+2)(/7+1)6(/?+2)(n+l)4

化簡，得解得〃=2,或"二舍去，

7

故〃=2?

例9.某商場經(jīng)銷某商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購買.根據(jù)以往資料統(tǒng)

計,顧客采用一次性付款的概率是,經(jīng)銷一件該商品，若顧客采用一次性付款,商場

獲得利潤200元；若顧客采用分期付款,商場獲得利潤250元.

I求3位購買該商品的顧客中至少有1位采用一次性付款的概率；

II求3位顧客每人購買1件該商品，商場獲得利潤不超過650元的概率.

考查目的本小題主要考查相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗等的概率計算,運用數(shù)學(xué)知

識解決問題的能力，以及推理與運算能力.

解答過程I記力表示事件：“3位顧客中至少1位采用一次性付款”，則Z表示事件:

“3位顧客中無人采用一次性付款”.

/>(7)=(1-0.6)2=0.064，P(A)=1-P(X)=1-0.064=0.936,

II記8表示事件：“3位顧客每人購買1件該商品，商場獲得利潤不超過650元”.

B表示事件：“購買該商品的3位顧客中無人采用分期付款”.

0

B表示事件：“購買該商品的3位顧客中恰有1位采用分期付款”.

1

則B=B+B?

0I

P(B)=0.63=0.216'尸(3)=Cix0.62x0.4=0.432,

013

P(B)=P(B+B)=P(B)+=0.216+0.432=0.648-

oioi

例10.某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.

方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；

方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.

假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是a,6,c,且三門課程考試是否

及格相互之間沒有影響.

I分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時考試通過的概率；

II試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.說明理由

考查目的本題主要考查互斥事件有一個發(fā)生的概率和對立事件的概率，以及不等

式等基本知識，同時考查邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

標準解答記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為A,B,C,

則PA=a,PB=b,PC=c.

I應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率

p=PA,B?K+P1?B?C+PA?7?C+PA?B?C

二aXbX1-c+l-aXbXc+aX1-bXc+aXbXc=ab+bc+ca-2abe.

應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率

p=[PA?B+1PB?C+2PA,C=!XaXb+bXc+cXa=Jab+bc+ca

233333

IIpp=ab+bc+ca-2abe-1ab+bc+ca=2ab+bc+ca-3abe

H233

~-[3^(abc)2-3abc]2，(abc)2(l-Jabc)>0,

.*.p2P

12

例11.

某項選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核,

否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為小

?

3、2、L且各輪問題能否正確回答互不影響.

555

I求該選手進入第四輪才被淘汰的概率；

II求該選手至多進入第三輪考核的概率.注：本小題結(jié)果可用分數(shù)表示

考查目的本小題主要考查相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗的概率計算,運用數(shù)學(xué)知識

解決問題的能力，以及推理與運算能力.

解答過程1記”該選手能正確回答第,?輪的問題”的事件為A(i=l,2,3,4)，則

P(4)=gP(A)=3,P(4)=鄉(xiāng)P(A)=

>5253545

該選手進入第四輪才被淘汰的概率

——432496

P=P(AAAA)=P(A)P(A)P(A)P(P)=-x-x-x-=—,

41234I2345555625

II該選手至多進入第三輪考核的概率

P=P(A+AA'+AA1)=P(彳)+P(A)P(T)+P(A)P(A)P(A)=1+1XZ+￡X1X2=121?

3II2I23II2I23555555125

考點2離散型隨機變量的分布列

1.隨機變量及相關(guān)概念

①隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示,這樣的變量叫做隨機變量,常用希臘字母

，、n等表示.

②隨機變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機

變量.

③隨機變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.

2.離散型隨機變量的分布列

①離散型隨機變量的分布列的概念和性質(zhì)

一般地,設(shè)離散型隨機變量自可能取的值為、，七，……，%,……，自取每一個值

分布列都具有下述兩個性質(zhì)：

1/>>0>?—j2+p+***—1.

i12

②常見的離散型隨機變量的分布列:

1二項分布

〃次獨立重復(fù)試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)E是一個隨機變量,其所有可能的取值為

2幾何分布

在獨立重復(fù)試驗中，某事件第一次發(fā)生時所作的試驗的次數(shù)g是一個取值為正

整數(shù)的離散型隨機變量，2=/'表示在第k次獨立重復(fù)試驗時事件第一次發(fā)生.

隨機變量自的概率分布為：

123???k???

…???

PPqp

例12.

廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗,廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按合

同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗，以決定是否接收這批產(chǎn)品.

I若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為,從中任意取出4件進行檢驗，求至

少有1件是合格的概率；

II若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中,其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商家從中任

取2件.都進行檢驗,只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品.否則拒收,求出該商家檢

驗出不合格產(chǎn)品數(shù)1的分布列及期望反，并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.

考查目的本題考查相互獨立事件、互斥事件等的概率計算,考察隨機事件的分布列,

數(shù)學(xué)期望等,考察運用所學(xué)知識與方法解決實際問題的能力.

解答過程I記”廠家任取4件產(chǎn)品檢驗，其中至少有1件是合格品”為事件A

用對立事件A來算，有「(A)=[“G)=

1-0.24=0.9984

可能的取值為0,1,2.

心。)咆之'

20

20

EC。、里+1*21+2x2=2.

19()19019010

記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗,都合格”為事件B,則商家拒收這批產(chǎn)品的概率

P=1-P(B)=1--=—'

19095

所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為0.

95

例13.

某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，

否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為已、3、

?5

2,且各輪問題能否正確回答互不影響.

5

I求該選手被淘汰的概率；

II該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為匕，求隨機變量1的分布列與數(shù)學(xué)期望.

注：本小題結(jié)果可用分數(shù)表示

考查目的本題考查相互獨立事件、互斥事件等的概率計算,考察隨機事件的分布列,

數(shù)學(xué)期望等,考察運用所學(xué)知識與方法解決實際問題的能力.

解答過程解法一：I記“該選手能正確回答第i輪的問題”的事件為4(>123)，則

432

P(4)=，尸(A)=，P(4)='

?52535

...該選手被淘汰的概率

nq的可能值為123,p《=i)=p(^)T

一一428

Pg=2)=P(AA)=P(A)P(4)=-x-=—)

I2'25525

4312

P6=3)=P(44)=P(4)P(A)=-x-=—?

I2125525

：.匕的分布列為

123

57.

Eg=lx-+2x-+3x—=

5252525

解法二：I記“該選手能正確回答第i輪的問題”的事件為A?=1,2,3)，則

432

P(A)=-'P(A)=_，P(A)=->

>52535

該選手被淘汰的概率尸=1-P(AAA)=1-P(A)P(A)P(A)=1-4X3X2=101,

123123555125

n同解法一.

考點3離散型隨機變量的期望與方差

隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差

1離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望：Et-xApU+十x人Up十+…;期望反映隨機變量取值的平均水平.

\I22

⑵離散型隨機變量的方差：O"（x一房+（x-ESP+…+（x-Eg”p+…；

II22nn

方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動,集中與離散的程度.

⑶基本性質(zhì)：E（成+b）=a慶+6；D（a&+b）=（i2O}

4若g?Bn,p,則EW=叩；Dg=npq這里q=l-p;

如果隨機變量&服從幾何分布，尸《=&）―（“），則成‘，為=q其中q=l-p.

pP2

例14.甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等,所得次品數(shù)分

別為￡、n,￡和n的分布列如下:

￡012n012

PP

則比較兩名工人的技術(shù)水平的高低為.

思路啟迪：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期

望；二是要看出次品數(shù)的波動情況,即方差值的大小.

解答過程：工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)￡的期望和方差分別為：

八I2

=Ox—+1x—+2x—=0.7'

101010

613

D￡=(0-0.7)2x—+(1-0.7)2x—+(2-0.7)2x—=0.891'

101010

工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)n的期望和方差分別為：

532532

￡ri=Ox+lx-+2x=0.7,Dr|=(0-0.7)2—+(1-0.7)2—+(2-0.7)2x—=0.664

101010x10x1010

由E￡=En知,兩人出次品的平均數(shù)相同,技術(shù)水平相當，但D￡〉Dn,可見乙的技

術(shù)比較穩(wěn)定.

小結(jié)：期望反映隨機變量取值的平均水平；方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集

中與離散的程度.

例15.

某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)1的分布列為

12345

商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款,其利潤為200元；分2期或3期付款,其利潤

為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元.r)表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.

I求事件A：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率p(4)；

II求”的分布列及期望期.

考查目的本小題主要考查概率和離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等知識.考查

運用概率知識解決實際問題的能力.

解答過程I由A表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”.

知彳表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”

P(A)=(1-0.4)2=0.216,P(A)=1-P(才)=1-0.216=0.784.

Hr|的可能取值為200元，250元，300元.

P(r)=200)==1)=0.4,

P(r\=250)=P&=2)+P&=3)=0.2+0.2=0.4,

P(r)=300)=1—P(r)=200)-P(r|=250)=1-0.4—04=0.2.

r)的分布列為

Eq=200x0.4+250x0.4+300x0.2=2407E.

小結(jié)：離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率

之和.本題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念,考查運用概率知識解決實

際問題的能力.

例16.某班有48名學(xué)生,在一次考試中統(tǒng)計出平均分為70分,方差為75,后來發(fā)現(xiàn)

有2名同學(xué)的成績有誤，甲實得80分卻記為50分，乙實得70分卻記為100分,更

正后平均分和方差分別是

,25,50,,25

解答過程：易得［沒有改變,7=70,

而S2=J_X2+X2+…+502+1002+…+X2—48嚏2=75,

12

4848

s2=J_x2+x2+…+8O2+7O2+…+x2—48；2

48I248

=±75X48+48^2-12500+11300-48^

48

=75—幽=75—25=50.

48

答案：B

考點4抽樣方法與總體分布的估計

抽樣方法

1.簡單隨機抽樣：設(shè)一個總體的個數(shù)為N,如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣

本,且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等,就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣.常

用抽簽法和隨機數(shù)表法.

2.系統(tǒng)抽樣：當總體中的個數(shù)較多時,可將總體分成均衡的幾個部分,然后按照預(yù)先

定出的規(guī)則,從每一部分抽取1個個體,得到所需要的樣本,這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣也

稱為機械抽樣.

3.分層抽樣：當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分,然后按

照各部分所占的比進行抽樣,這種抽樣叫做分層抽樣.

總體分布的估計

由于總體分布通常不易知道,我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布,一

般地,樣本容量越大,這種估計就越精確.

總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布.

當總體中的個體取不同數(shù)值很少時,其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應(yīng)

的頻率表示,幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.

當總體中的個體取值在某個區(qū)間上時用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率

分布.

總體密度曲線：當樣本容量無限增大,分組的組距無限縮小,那么頻率分布直方圖

就會無限接近于一條光滑曲線,即總體密度曲線.

典型例題

例17.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5.現(xiàn)用分層抽樣

方法抽出一個容量為n的樣本,樣本中A種型號產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量n=

解答過程：A種型號的總體是2,則樣本容量io8n.

例18.一個總體中有100個個體,隨機編號0,1,2,99,依編號順序平均分成10個

小組,組號依次為1,2,3,10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本,規(guī)定如

果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與機+人的個位

數(shù)字相同,若加=6,則在第7組中抽取的號碼是.

解答過程：第K組的號碼為（i）io,（i）io+i，…,（i）io+9,當m=6解第k組抽取的號的個位

數(shù)字為m+k的個位數(shù)字,所以第7組中抽取的號碼的個位數(shù)字為3,所以抽取號碼為63.

例19.考查某校高三年級男生的身高,隨機抽取40名高三男生,實測身高數(shù)據(jù)單位：

cm如下：

171163163166166168168160168165

171169167169151168170160168174

165168174159167156157164169180

176157162161158164163163167161

⑴作出頻率分布表；⑵畫出頻率分布直方圖.

思路啟迪：確定組距與組數(shù)是解決“總體中的個體取不同值較多”這類問題的出發(fā)

八占、、?

解答過程：⑴最低身高為151,最高身高180,其差為180-151=29;確定組距為3,組數(shù)

為10,列表如下:

⑵頻率分布直方圖如下：

小結(jié)：合理、科學(xué)地確定組距和組數(shù)，才能準確地制表及繪圖,這是用樣本的頻率分

布估計總體分布的基本功.

估計總體分布的基本功；

考點5正態(tài)分布與線性回歸

1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)

1正態(tài)分布的概念

如果連續(xù)型隨機變量之的概率密度函數(shù)為1其中口為

SJ\x)—2a2u產(chǎn)

常數(shù),并且。>0,則稱自服從正態(tài)分布,記為g~NN，b”

2期望”=口，方差o"?！?/p>

3正態(tài)分布的性質(zhì)

正態(tài)曲線具有下列性質(zhì)：

①曲線在x軸上方,并且關(guān)于直線x=u對稱.

②曲線在x=u時處于最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低.

③曲線的對稱軸位置由U確定；曲線的形狀由。確定,B越大，曲線越“矮胖”；反之

越“高瘦”.

4標準正態(tài)分布

當廣0,0=1時己服從標準的正態(tài)分布,記作jN。，1

5兩個重要的公式

①帆-幻=1-帆幻，②P(a<^<b)=<l>(b)-<t>(a)-

6/V(H.ai)與N(0,l)—者聯(lián)系。

①若&~N(N.°2)，則月=三上~7(0,1)；

②若&~N（氏62），則p（a*<?=<|）（"艮）_（!）（佇凹”

QO

2.線性回歸

簡單的說,線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.

變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函

數(shù)關(guān)系.不確定性的兩個變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的

相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法.它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗公式.

具體說來,對n個樣本數(shù)據(jù)，v,xv，…，xv，其回歸直線方程,或經(jīng)驗公式為：

1122nn

處"+”?其中工兩，其中行分別為I"、I"的平均數(shù)?

‘"十"b=金,a=y-bx,羽）A

Xx2-n（x）2

例20.如果隨機變量g?NH,。2,且Eg=3,"=1,則P—1VgWl=等于

①1一1B.①4一①2

C.①2一①4D.①一4一①一2

解答過程：對正態(tài)分布，R=Eg=3,。2=乂=1,故P—1<WW1=S—3一①一1—3=

①一2一①一4二①4一①2.

答案：B

例2L將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在d℃,液體的

溫度《單位：C是一個隨機變量，且8?Nd,.

1若d=90°,則&<89的概率為；

2若要保持液體的溫度至少為80c的概率不低于，則d至少是其中若

n-NO,1,貝ij①2=Pn<2=,0-=Pn<-=

思路啟迪：1要求P&<89=F89,

V€?Nd,不是標準正態(tài)分布，而給出的是①2,①一，故需轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布的

數(shù)值.

2轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布下的數(shù)值求概率P,再利用P2,解d.

解答過程：IPM<89=F89=①四型=①一2二1一①2=1—二.

0.5

2由已知d滿足WP&280,

即1-Pg<8021—,.?”<80〃.

???①8O-dW=①一.

0.5

??80-d?

0.5

，dW.

故d至少為.

小結(jié)：1若之?NO,1,則n=j?N0,1.2標準正態(tài)分布的密度函數(shù)fx是偶函

數(shù),x<0時,fx為增函數(shù),x>0時,fx為減函數(shù).

例22.且總體密度曲線的函數(shù)表達式為：“、.)=_!=/丁，x￡R.

1則U,O是；2則「([*一]]<上)及玖i_q<x<l+2揚的值是,

思路啟迪：根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,對照已知函數(shù)求出R和。.利用一般

正態(tài)總體N(禺c)與標準正態(tài)總體N0.1概率間的關(guān)系，將一般正態(tài)總體劃歸為標準正

態(tài)總體來解決.

解答過程：(1)由于“、1一一1-寸，根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達形式,

可知口=1,。=后，故X?N1,2.

=2。⑴-1=2x0.8413-1=0.6826,

又P(1-石'<x<1+2揚=F(1+2VI)-尸(1-41)

=62)+0⑴-1=0.9772+0.8413-1=0.8185

小結(jié)：通過本例可以看出一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).

例23.公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)

計的,如果某地成年男子的身高￡?N173,7單位：cm,則車門應(yīng)設(shè)計的高度是精

確到1cm

思路啟迪：由題意可知,求的是車門的最低高度,可設(shè)其為xcm,使其總體在不低于x

的概率小于1%.

解答過程：設(shè)該地區(qū)公共汽車車門的最低高度應(yīng)設(shè)為xcm,由題意,需使P￡2x<l%.

???￡-N173,7,.?.小加則?).；查表得s>233,解得x>，即公共汽車門

V7、/7

的高度至少應(yīng)設(shè)計為180cm,可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞.

專題訓(xùn)練

一.選擇題

1.下面關(guān)于離散型隨機變量的期望與方差的結(jié)論錯誤的是

A.期望反映隨機變量取值的平均水平,方差反映隨機變量取值集中與離散的程度.

B.期望與方差都是一個數(shù)值,它們不隨試驗的結(jié)果而變化

C.方差是一個非負數(shù)

D.期望是區(qū)間0,1上的一個數(shù).

2.要了解一批產(chǎn)品的質(zhì)量,從中抽取200個產(chǎn)品進行檢測,則這200個產(chǎn)品的質(zhì)量是

A.總體B.總體的一個樣本C.個體D.樣本容量

3.已知T|的分布列為：

01

設(shè)J3n-2則玩的值為

P

A.5B.4C._2D._3

3~3

4?設(shè)“E"12,網(wǎng)=4,則n，P的值分別為

,1B.36,1C.2,36D.18,2

3333

5.已知隨機變量&服從二項分布,自~B(6」)，則P(&=2)等于

A.3_B.，_C.且D._80_

16243243243

6.設(shè)隨機變量的分布列為〃Fk,其中k=l,2,3,4,5,則等于

P(0=^)=—p(-<s<-)

A.iB.iC.[D.i

5296

7.設(shè)15000件產(chǎn)品中有1000件廢品,從中抽取150件進行檢查,則查得廢品數(shù)的數(shù)學(xué)

期望為

D.都不對

8.某市政府在人大會上,要從農(nóng)業(yè)、工業(yè)、教育系統(tǒng)的代表中抽查對政府工作報告的

意見.為了更具有代表性,抽取應(yīng)采用

A.抽簽法B.隨機數(shù)表法C.系統(tǒng)抽樣法D.分層抽樣

9.一臺X型號的自動機床在一小時內(nèi)不需要人照看的概為,有四臺這種型號的自動機

床各自獨立工作,則在一小時內(nèi)至多有2臺機床需要工人照看的概率是

10.某校高三年級195名學(xué)生已編號為1,2,3,-195,為了解高三學(xué)生的飲食情況,要

按1：5的比例抽取一個樣本,若采用系統(tǒng)抽樣方法進行抽取,其中抽取3名學(xué)生的編

號可能是

,24,33,47,147,153,193,132,159

11.同時拋擲4枚均勻硬幣80次，設(shè)4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上,2枚反面向上的

次數(shù)為自，則&的數(shù)學(xué)期望是

12.已知g~N(0,G2)，且p(_2M20)=0.4'則Pg>2等于

某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、

150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況,需從這600個銷售點中抽取一個容

量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點,要從中抽取

7個調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項調(diào)查為②.則完成①、②這兩項調(diào)查宜

采用的抽樣方法依次是

A.分層抽樣法,系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法,簡單隨機抽樣法

C.系統(tǒng)抽樣法,分層抽樣法D.簡單隨機抽樣法,分層抽樣法

14.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們在某一天

各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用下面的條形圖表示，根據(jù)條形圖可得這50名

學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時間為

hhhh

二.填空題

15.某工廠規(guī)定:工人只要生產(chǎn)出一件甲級產(chǎn)品發(fā)獎金50元，生產(chǎn)出一件乙級產(chǎn)品發(fā)

獎金30元,若生產(chǎn)出一件次品則扣獎金20元,某工人生產(chǎn)甲級品的概率為，乙級品的

概率為,次品的概率為,則此人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均獎金為元.

16.同時拋擲兩枚相同的均勻硬幣，隨機變量&句表示結(jié)果中有正面向上，4二o表

示結(jié)果中沒有正面向上,則成=L

17.甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下單位：t/hiw

品種第1年第2年第3年第4年第5年

甲10

乙

18.一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品16800件,它們來自甲、乙、丙3條生產(chǎn)線,為檢查這批產(chǎn)

品的質(zhì)量,決定采用分層抽樣的方法進行抽樣，已知從甲、乙、丙3條生產(chǎn)線抽取的

個體數(shù)組成一個等差數(shù)