高三第一輪復(fù)習(xí)-圓的方程及求法

圓的方程及求法

【提綱挈領(lǐng)】(請(qǐng)閱讀下面文字，并在關(guān)鍵詞下面記著重號(hào))

1.掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.

主干知識(shí)歸納

1.圓的定義：平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)

2.圓的方程：

標(biāo)準(zhǔn)方程(x—a)2-\-(y—b)2=r2(r>0)圓心：(a,/?),半徑：r

圓心：(一茅—f)，

x1+y1+Dx+Ey+F=0

?一般方程

(D2+j?-4F>0)

半徑：~^D2+E2-4F

方法規(guī)律總結(jié)

1.待定系數(shù)法求圓的方程

(1)若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,6r的方程組,

從而求出a,b,r的值；

(2)若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于￡>,E,F的方程

組，進(jìn)而求出D,E,F的值.

2.幾何法求圓的方程：

利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì)，如“圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上”、“半徑，弦心距，弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成

直角三角形''等.

3.求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法

【指點(diǎn)迷津】

【類(lèi)型一】確定圓的方程

【例1］：求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,l)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2x+3y+l=0上的圓的方程

【解析】：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)2+(y—。)2=廠2,

〃2+房=戶(hù)a=4

由題意列出方程組((〃-1)2+0-1)2=尸

解之得〃二一3,

2。+3/?+1=0r=5

???圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x—4)2+0+3)2=25.

答案：(x-4)2+(>-+3)2=25.

【例2］：已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)40,-6),8(1,-5),且圓心在直線/：x—y+l=0上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程.

【解析】：法一：設(shè)圓的方程為F+V+Dr+Ey+F=0(￡)2+E2-4F>0),則圓心坐標(biāo)為(一帝一。

(-6)2-6E+F=0

D+E-IO=O[0=6

由題意可得41+(—5)2+。一5E+F=0,消去尸得，,解得，代入求得產(chǎn)=-12,

D-E-2=0[七=4

D-E-2=0

所以圓的方程為/+爐+6工+4)，-12=0,標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+(y+2)2=25.

法二：因?yàn)锳(0,-6),8(1,-5),所以線段AB的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為一?)，

直線AB的斜率kAn=_5P)=1,

1-0

因此線段AB的垂直平分線I的方程是y+｝一即x+y+5=0.

fx+y+5=0[x—―3

圓心C的坐標(biāo)是方程組,「的解，解得.',所以圓心C的坐標(biāo)是(一3,-2).

[x—y+l=0[y=~2

圓的半徑長(zhǎng)r=|AC|=J(0+3)~+(―6+2廠=5,

所以，圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+3)2+(-y+2)2=25.

答案：(X+3)2+G，+2)2=25.

【類(lèi)型二】與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題

【例1】：己知圓F+)2=4上一■定點(diǎn)A(2,0),為圓內(nèi)一點(diǎn)，P,。為圓上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求線段4P中點(diǎn)的軌跡方程；

(2)若NPBQ=90°,求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.

【解析】：(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x—2,2y).

因?yàn)镻點(diǎn)在圓/+9=4上，所以(2x-2)2+(2y)2=4.

故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(X—1尸+產(chǎn)=1.

(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為Mx，y)，在RtZiPBQ中，|PM=由N，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接0N(圖略)，則CW_LPQ,

所以|0PF=|0而+|PNF=|。而+IBNF，

所以9+)2+(*—1)2+0—1)2=4.

故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x1+y2-x-y-1=0.

答案：⑴(%—l)2+y2=l.(2)9+尸一x—y—1=0.

【例2】：已知直角三角形48c的斜邊為AB,且&-1,0),5(3,0),求：

(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC中點(diǎn)M的軌跡方程.

【解析】：(I)設(shè)頂點(diǎn)C(x,y),因?yàn)锳ULBC,且A,B,C三點(diǎn)不共線，所以xW3且xW—L

yy

又心。=-77，kBc=---7，且kAC?kBc=11,

x十1X—3

所以卡丁-3=-1,化簡(jiǎn)得r+V一2x—3=0.

因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為/+產(chǎn)―2x—3=O(x#3且xW—l).

⑵設(shè)點(diǎn)M(x,y),點(diǎn)C(xo,y)),因?yàn)?(3,0),M是線段5c的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得且x"1),

)'=嚀"，于是有xo=2x—3,yo=2)，.

由(1)知，點(diǎn)C在圓(%—1)2+)2=4。￡3且xW—1)上運(yùn)動(dòng)，將xo,刈代入該方程得(2x—4)2+(2)，＞=4,

即(X-2A+于=1.

因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x—2)2+y2=i(xW3且x^l).

答案：(1)x2+9一2x—3=0(xW3且xH—1).(2)(x—2)2+產(chǎn)=l(xW3且xWl).

例3.(2010?山東煙臺(tái)調(diào)研)若圓r+y2—ax+2y+1=0與圓/+>2=i關(guān)于直線y=x—1對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)C(一

。)的圓尸與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為()

A.爐一4x+4y+8=0B.y+公一2丁+2=0

C.產(chǎn)+4工―4y+8=0D.y2—2x—y—1=0

【解析】：由圓/+產(chǎn)一水+2廠H=0與圓/+尸=1關(guān)于直線y=x-l對(duì)稱(chēng)可知兩圓半徑相等且兩圓圓心

連線的中點(diǎn)在直線5=4一1上，故可得4=2,即點(diǎn)。(一2,2),所以過(guò)點(diǎn)。(一2,2)且與y軸相切的圓尸的圓

心的軌跡方程為(X+2)2+。-2)2=總整理即得)2+4L4)，+8=0.

答案：C.

【同步訓(xùn)練】

【一級(jí)目標(biāo)】基礎(chǔ)鞏固組

一、選擇題

I.已知兩點(diǎn)A(9,4)和B(3,6),則以A8為直徑的圓的方程為()

A.(x-6)2+(y-5)2=10B.(x+6)2+0'+5)2=10

C.(x-5)2+(>-6)2=10D.(X+5)2+O'+6)2=1O

【解析】：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)(6,5)為圓心坐標(biāo)，半徑="L|AB|=M

2

答案：A.

2.(2014.四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)已知圓Ci：(x+l)2+(j—1>=1,圓C2與圓Ci關(guān)于直線x-y—1=0對(duì)稱(chēng)，

則圓C2的方程為()

A.(x+2)2+(>-2)2=IB.(x-2)2+(j+2)2=I

C.(X+2)2+G+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=l

【解析】：(*+1)2+。-1)2=1的圓心為(-1,1),它關(guān)于直線x-y—1=0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(2,—2),對(duì)稱(chēng)后半徑

不變，所以圓C2的方程為(X-2)2+G，+2)2=1.

答案：B.

3.若曲線C：1+產(chǎn)+2改一4砂+5a2—4=0上所有的點(diǎn)均在第二象限內(nèi)，則a的取值范圍為()

A.(—oo,—2)B.(—oo,—1)C.(1,+oo)D.(2,+oo)

【解析】：曲線C的方程可化為(*+a)2+0—2a)2=4,則該方程表示圓心為(一。,2。)，半徑等于2的圓.因

為圓上的點(diǎn)均在第二象限，所以。>2.

答案：D.

222

4.方程x+y+ax+2ay+2a+a—1=0表示圓，則a的取值范圍是()

A.aV—2或B.-1<a<0C.-2<a<0D.-2<a<l

333

222

【解析】：方程x+y+〃x+2紗+2加+4—1=0

2Q2Q2

轉(zhuǎn)化為(犬+q)+G+。)=一上。~—。+1,所以若方程表示圓，則有一上〃~—。+1>0,

244

2O

.??3〃+4〃-4V0,/.—2<6/<_.

3

答案：D.

5.已知圓C關(guān)于)，軸對(duì)稱(chēng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)且被x軸分成兩段弧長(zhǎng)比為1：2,則圓C的方程為()

A.Q±W)2+yB.Q孝)2+產(chǎn)孑

c-M等內(nèi)D.f+Q萼＞《

【解析】：由己知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對(duì)圓心角為多t,設(shè)圓心(0,。)，半徑為一，則rsin：=

1,/ros^=|iz|,解得廣=泉，即戶(hù)=今|。|=坐，

即a=用,故圓c的方程為r+Qq§)=*

答案：C.

二、填空題

6.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),且圓心是兩直線x=l與x+y=2的交點(diǎn)的圓的方程為.

[x=\,[x=1,

【解析】：由?得

1x+y=2,[y=l,

即所求圓的圓心坐標(biāo)為(1,1),又由該圓過(guò)點(diǎn)(1,0),得其半徑為1,故圓的方程為。-1)2+()-1)2=1.

答案：。-1)2+。-1)2=1.

7.已知圓x2H-y2+2x—4y+a=0關(guān)于直線y=2x-\-b成軸對(duì)稱(chēng)，則a-b的取值范圍是.

【解析】：?.?圓的方程可化為(x+1)2+。-2/=5—4,???其圓心為(一1,2),且5—〃>0,即aV5.

又圓關(guān)于直線y=2x+。成軸對(duì)稱(chēng)，???2=-2+兒??包=4.??.a—b=a—4<l.

答案：(一8,1).

8.圓心在直線2x-3y—1=0上的圓與x軸交于A(l,0),8(3,0)兩點(diǎn)，則圓的方程為.

【解析】：所求圓與工軸交于41,0),3(3,0)兩點(diǎn)，故線段43的垂直平分線X=2過(guò)所求圓的圓心，又所求

圓的圓心在直線2x—3y—l=0上，所以?xún)芍本€的交點(diǎn)坐標(biāo)即為所求圓的圓心坐標(biāo)，解之得為Q,l),進(jìn)一步

可求得半徑為加,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X—2)2+。-1)2=2.

答案：。一2)2+。-1)2=2.

三、解答題

9.已知圓的方程是/+>2+2(根一1)%—4/〃v+5W—2根一8=0,

(1)求此圓的圓心與半徑：

(2)求證：不論加為何實(shí)數(shù)，它們表示圓心在同一條直線上的等圓.

【解析】：(1)配方得：(x+機(jī)-1)2+。-2機(jī))2=9

圓心為(1—〃z,2優(yōu))，半徑r=3.

(2)證明：由(1)可知，圓的半徑為定值3,且，

[y=2m

：.2x+y=2.

???不論歷為何值，方程表示的圓的圓心在直線Zx+y—2=0上，且為等圓.

答案：(1)圓心為(1一根,2加)，半徑r=3.(2)圓心在直線2x+y—2=0上，且為等圓.

10.(2010?遼寧撫順調(diào)研)已知圓爐十爐=4上一定點(diǎn)A(2,0),8(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P,。為圓上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；

(2)若NP8Q=90。，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.

【解析】：(1)設(shè)A尸中點(diǎn)為M(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x—2,2y).

???P點(diǎn)在圓5+)。=4上，，(右一2)2+(2)，)2=4.

故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(X—1)2+V=1.

(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在中，|PN|=|8N|,設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接。M則。N_LPQ,

所以IOPF=|CW|2+IPM?=|CW]2+IBM?,

所以戶(hù)+卡+。-1)2+。-1)2=4.

故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為/+）?-x-y—1=0.

答案：（l）（x-l）2+y2=l.（2）f+y—x—y—l=0.

【二級(jí)目標(biāo)】能力提升題組

一、選擇題

[A=C/0,

1.已知二元二次方程A^+Cy+Dr+Ey+FnO,貝M是方程表示圓的（）

[￡>十日一4尸〉0,

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

（A=CM，

【解析】：取A=C=4,0=2,E=2,F=1時(shí)，滿(mǎn)足彳，?但是4f+4）2+您+2），+1=0

[。?+￡2—4尸>0,

不表示圓；方程++&2+x+y+i=o表示圓，其中A=g,C=1,0=1,E=l,F=l,但不滿(mǎn)足D+E2

-4F>0.綜上可知，選D.

答案：D.

2.（2010?浙江寧波調(diào)研）若直線/：依+b+4=0（〃>0,方>0）始終平分圓C：W+V+ar+Zy+l：。，則H

的最大值為（）

A.4B.2C.1D.；

【解析】：由題意知，圓C的圓心坐標(biāo)為（-4,-1）.又直線/始終平分圓C,所以直線/必過(guò)圓心，故4

=4a+b>2y[4ab，故ab<1.

答案：C.

二、填空題

3.（2009?揚(yáng)州調(diào)研）若直線依+刀=1過(guò)點(diǎn)4兒幻，則以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，0A長(zhǎng)為半徑的圓的面積的最

小值是.

【解析】：’?,直線or+by=l過(guò)點(diǎn)AS，〃）,??ab-\-ab=1,.\ab=^又京，

以。為圓心，0A長(zhǎng)為半徑的圓的面積：5=兀?。摩=（〃2+加）定2而兀=兀，

工面積的最小值為兀

答案：入

【高考鏈接】

1.（2016年浙江省文科第1（）題）已知〃￡R