2022-2023學(xué)年福建省龍巖市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年福建省龍巖市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知復(fù)數(shù)2=。+3晨Z=2+bi（a,bG/?）,則a+b=（）

A.—1B.1C.—5D.5

2.已知向量為，b＞滿足|弓|=3,|方|=4，五與石的夾角的余弦值為,，則向量方在向量石上的

投影向量為（）

A.uB.3aC.bD.2b

416

3.從長度為1,3,7,8,9的5條線段中任取3條，則這3條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為

（）

4.已知某班40名學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績依次為%,久2,%3，…，％40,經(jīng)計算全班數(shù)學(xué)平

均成績工=90,且空%好=324400,則該班學(xué)生此次數(shù)學(xué)成績的標準差為（）

A.20B.2/~5C.10D.V^O

5.如圖，在正方體/^。。一4當口/中，E,尸為正方體內(nèi)（含

邊界）不重合的兩個動點，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.若E6FeBD,則EF1AC

B.若E€BDi，F(xiàn)GBD,則平面BEF1平面&BG

C.若E"C,FeCDlt貝ijEF〃g

D.若E&AC,FGCDr,則EF〃平面

6.閩西革命烈士紀念碑，坐落在福建省龍巖市城西虎嶺山閩西革命烈士陵園內(nèi)，1991年被

列為第三批省級文物保護單位，其中央主體建筑集棱臺，棱柱于一體，極具對稱之美.某同學(xué)

準備在陵園廣場上對紀念碑的高度進行測量，并繪制出測量方案示意圖（如圖），紀念碑的最

頂端記為4點，紀念碑的最底端記為B點（B在4的正下方），在廣場內(nèi)（與B在同一水平面內(nèi)）選

取C,。兩點，測得CO的長為15米，44cB=45。，^CBD=30°,4408=30。，則根據(jù)以上

測量數(shù)據(jù)，可以計算出紀念碑高度為（）

A.14米B.15米C.16米D.17米

7.己知等邊三邊形ABC的邊長為4,D為BC的中點，將44DB沿力。折至ADB^使得△B^CD

為等邊三邊形，則直線當。與AC所成的角的余弦值為()

A.—?B.0C.jD.J

8.在銳角△ABC中,角力，B,C的對邊分別為a,b,c,若co在8+cosBcosQA-C)=sinAsinC,

a=2/3,則△ABC周長的取值范圍是()

A.(6<3,6+60)B.(3+30,6+60)

C.(3+30,90)D.(60,90)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知復(fù)數(shù)z滿足z-(1-3。=10,則()

A.\z\=<10B.z的虛部為3i

C.z-3(cos：+is譏力2=iD.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限

10.新型冠狀病毒陽性即新型冠狀病毒核酸檢測結(jié)果為陽性，其中包括無癥狀感染者和確診

病例,如圖是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人數(shù)的折線統(tǒng)計圖，貝ij()

一本地新增確診病例?--本地新增無癥狀感染者

B.本地新增確診病例的極差為84

C.本地新增確診病例人數(shù)的中位數(shù)是46

D.本地新增無癥狀感染者的平均數(shù)大于本地新增確診病例的平均數(shù)

11.已知M是邊長為1的正六邊形4BC0EF所在平面內(nèi)一點，t=（MJ+祝）.（而+而）,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.當M為正六邊形力BCDEF的中心時，t=i

B.t的最大值為4

C.t的最小值為一；

D.￡可以為0

12.如圖，水平放置的正方形4BC0邊長為1,先將正方形4BCD

繞直線4B向上旋轉(zhuǎn)45。，得到正方形ABGDi，再將所得的正方

形繞直線向上旋轉(zhuǎn)45。，得到正方形々BCIDZ，則（）

A.直線42cl〃平面4BC0

B.4到平面4BC0的距離為上，

C.點4到點外的距離為

D.平面與平面4BC。所成的銳二面角為60。

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.方程/+2x+3=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為

14.數(shù)據(jù)13,11,12,15,16,18,21,17的第三四分位數(shù)為.

15.為深入學(xué)習(xí)宣傳貫徹黨的二十大精神，某校團委舉辦“強國復(fù)興有我”一一黨的二十大

精神知識競答活動.某場比賽中，甲、乙、丙三位同學(xué)同時回答一道有關(guān)二十大精神知識的問

題.己知甲同學(xué)答對的概率是:，甲、丙兩位同學(xué)都答錯的概率是之乙、丙兩位同學(xué)都答對的

概率是g.若各同學(xué)答題正確與否互不影響.則甲、乙、丙三位同學(xué)中至少2位同學(xué)答對這道題的

概率為.

16.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD是平行四邊形，P

DBLAB,AB=DB=BP=PC=2,記四面體P-BCD的外/\

接球的球心為。，M為球。表面上的一個動點，當NM4。取最

大值時，四面體M—4B。體積的最大值為./

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在△48C中，AC=BC=6,AB=4,~AP=A(0<A<1).

(1)當4=|時，用G?,而表示不；

(2)求不.(CA+0)的值.

18.(本小題12.0分)

如圖，在直三棱柱ABC-AiBiG中，/.ABC=90°,AAr=AB=4,BC=3.

(1)求三棱柱ABC-的側(cè)面積；

(2)設(shè)。為AC的中點，求證：4當〃平面BC1。.

G

19.(本小題12.0分)

已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概

率是:，得到黃球或藍球的概率是:.

(1)求盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)；

(2)隨機試驗：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色.

①寫出該試驗的樣本空間。；

(ii)設(shè)置游戲規(guī)則如下：若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝.從概率的角度，判斷這個

游戲是否公平，請說明理由.

20.(本小題12.0分)

某大型企業(yè)為員工謀福利，與某手機通訊商合作，為員工辦理流量套餐.為了解該企業(yè)員工手

機流量使用情況，通過抽樣，得到100名員工近一周每人手機日平均使用流量L(單位：M)的

數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖：

若將每位員工的手機日平均使用流量分別視為其手機日使用流量，回答以下問題.

(1)求這100名員工近一周每人手機日使用流量的眾數(shù)、中位數(shù)；

(2)在辦理流量套餐后，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道

抽取了男員工20名，其手機日使用流量的平均數(shù)為800M,方差為10000；抽取了女員工40名，

其手機日使用流量的平均數(shù)為1100M，方差為40000.

(i)已知總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分

別為：m,x，sf；n,y,s1＞記總的樣本平均數(shù)為3,樣本方差為s?.證明：s2=

(ii)用樣本估計總體，試估計該大型企業(yè)全體員工手機日使用流量的平均數(shù)和方差.

頻率

21.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面4BCD是邊長為3的正方形，側(cè)面PBC1底面4BCD.

(1)若乙PBC=90°,求證：AC1PD；

(2)若AC與平面PCD所成角為30。，求點4到直線PC的距離.

22.(本小題12.0分)

在4ABC中，角4,B,C的對邊分另ij為a,b,c,點。在邊4B上，=%BD=CD,AD=2.

(1)若BD=一b，求c；

(2)若a=2，克，求AABC的面積.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：復(fù)數(shù)z=a+3i,z=2+bi,

由共軌復(fù)數(shù)的定義可知，

a=2,b=-3,

則有a+b=2-3=-1.

故選：A.

由共扼復(fù)數(shù)的定義求出a,b即可.

本題考查了共軌復(fù)數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：因為向量優(yōu)石,滿足|砧=3,|3|=4,不與石夾角的余弦值為弓，

所以向量日在向量方上的投影向量為

3,

abb3x4x彳b9

而而=^*不=花兒

故選：D.

利用投影向量的定義結(jié)合題意直接計算即可.

本題考查了投影向量的定義與計算問題，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：五條線段中任取3條有酸種結(jié)果，這些結(jié)果等可能出現(xiàn).

要使選出的三條線段可構(gòu)成三角形，則兩條較小邊的和要大于第三邊，

故只有:(3,7,8),(3,7,9),(3,8,9),(7,8,9)這四種可能，

442

故所求概率為P=旗=五=+

故選:B.

先求5條線段中任取3條的結(jié)果數(shù)，再用列舉法求這3條線段能構(gòu)成一個三角形的結(jié)果數(shù)，即可求

出概率.

本題考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：已知某班40名學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績依次為與，x2,....x40,

因為全班數(shù)學(xué)平均成績工=90,且￡2蜉=324400,

所以該班學(xué)生此次數(shù)學(xué)成績的標準差，="鑿出-以「溫x22『鵬x,+4oV

N40-J40

-E^iX?-2x-40x+40x2_S^iX?-40x2_I324400-40x90Z_p-nr.

、40-140-N40-71U

故選：D.

由題意，根據(jù)所給信息，結(jié)合標準差公式進行求解即可.

本題考查標準差，考查了邏輯推理和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：對于4如圖所示:

若E€BDi，F(xiàn)eBD,則EFu平面當口過口，

因為JL平面4BC。，ACu平面48C。，貝ij叫1AC,

又AC1BD,且DDiCIBD=D,D%u平面8也。38。u平面8也。3,

所以4C_L平面BiDiDB,又EFu平面&D1DB,所以EFJ./1C,故A正確；

對于8,若E€BD「FGBD,則EFu平面B/iDB,由正方體的性質(zhì)得4cl平面Bi/OB,

又A0J/AC,則&G，平面B15DB,即4G1平面41BG，

又4傳1u平面BEF,所以平面BEF1平面為BC1，故8正確；

對于C,當E6AC,F6CD1時，則EFu平面4Z\C,則EF與4共面，不一定平行，故C錯誤;

對于D,如圖所示：

若E6AC,FECD1,貝IJEFu平面AZ)1C,因為AB(￡平面AC%,。傳u平面

所以4B〃平面4CD「同理BG//平面AC。1，乂AiBCBg=B,

所以平面4iBG〃平面又EFu平面AC。］,所以EF〃平面&BG,故。正確；

故選：C.

A,易知EFu平面BiDiCB,4c_L平面Bi2DB判斷；B,易知為￡；J"平面見/口⑶，即J_平面

々BG，再利用面面垂直的判定定理判斷；C,易知EF與AD1共面，不一定平行判斷；D,易知EFu

平面4D1C,平面AB】。〃平面4BC1判斷.

本題主要考查了線面平行與線面垂直的判定，考查了面面平行與面面垂直的判定，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：設(shè)=八，

在RtAABC中，因為44cB=45。，所以△4BC為等腰直角三角形，所以BC=4B=/i,

在RtA48。中，因為4408=30。，所以BD==二九，

在△BCD中，由余弦定理知，CD2=BD2+BC2-2BD-BDcosZ.CBD,

所以IS?=(>/—3h)2+h,2—2'y/~3h-hcos30°>解得h=15米.

故選:B.

設(shè)4B=h,用含九的式子表示出BC和BD,再在△SCO中，利用余弦定理，即可得解.

本題考查解三角形的實際應(yīng)用，熟練掌握余弦定理是解題的關(guān)鍵,考查邏輯推理能力和運算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：分別取CD,BrC,AD的中點E,F,G,連接GF,DF,

EF,GE,

則GE〃AC,EF〃Bi。且EF=^BrD=1,GE=^AC=2,DF=GD=

所以直線力C與Bl。所成的角為乙GEF（或其補角），

由題意可知：AD1CD,AD1BXD,B】DCCD=D,B^D,CDu平面/CD,

所以4。1平面々CD,

且。尸u平面BiCD,可得力01DF,則GF=VGD2+DF2=門,

在4GEF中，由余弦定理可得COSNGEF=GE'+EFJ#=4+1-6=_工，

2GE,EF2x2x14

所以直線反。與4c所成的角的余弦值為京

故選：D.

根據(jù)異面直線夾角的定義結(jié)合余弦定理運算求解.

本題考查異面直線所成的角，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：??,cos?B+cosBcos(A—C)=sinAsinC

???cosB[cosB4-cos?！狢)]=sinAsinC,

???A+B+C=TT,???cosB[—cos(A+C)+cos(A—C)]=sinAsinC,

cosB[(sinAsinC—cosAcosC)+(^sinAsinC+cosAcosCy)]=sinAsinC

2cosBsinAsinC=sinAsinC,

?-0<A,C<],???sinA>0,sinC>0,

「7R

???cosB=IQD?-o=-,

由正弦定理得目=_%=-，，

sinAsinBsinC

,asinB2<3x苧3u_竺/

?,一sinA-sinA-sinAsin^

??.△ABC的周長為

2csmc

Q+b+c=+2yJ~l

sinA

2\T3sin(y-71),—3+2\/~3(^-cosA+^sinA),—

三十+2V3=---------^―：——------4-2v3

sinAsinAsinA

3(—+2C=瀛+3C

=a+3心

0VAV彳A__.

27r^=>^<i4<y=>^<y<^=>2-V~~3Vtan5V1,

0<^-A<l6212242

???△ABC的周長為a+b+c€(3+3口,6+6門)，

故選：B.

先由三角恒等變換化簡可求出cosB=:，可得B=g,由正弦定理得AABC的周長為a+b+c=

Z5

三十2\/~3sinC+2刀=a+3，吊再求出工進而可得答案.

sinAsinA

本題考查利用三角恒等變換知識和正弦定理與三角形的面積公式解三角形，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：z-(l-3i)=10,

1010(1+3。

則z==1+3i,

l-3t(l-3t)(l+3i)

\z\=Vl2+32=V10,故A正確;

z的虛部為3,故B錯誤;

(cos*+isin^)2=^(1+i)z=i,

故z—3(cos^+is嗚￥=i+3-3i=1,故c正確；

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(1,3)位于第一象限，故。錯誤.

故選：AC.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，化簡z,即可依次求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABC

【解析】解:對于4,由圖可得2日至16日新增陽性人數(shù)依次為8,15,44,63,120,72,30,59,

131,66,95,85,99,102,92,

其中本地新增陽性人數(shù)最多的一天是10日，故4正確.

對于B,由圖可知本地新增確診病例的極差為90-6=84,故B正確.

對于C,由圖可知本地新增確診病例人數(shù)從小到大排列依次為6,10,14,14,20,33,40,46,

51,72,81,82,90,90,90,

則中位數(shù)為第8個數(shù)46,故C正確.

對于D,由圖可知本地新增無癥狀感染者的平均數(shù)為

0+5+30+43+69+39+16+13+49+26+15+4+9+12+20

23,

本地新增確診病例的平均數(shù)為6+1°+14+20+51+33+14+46+82+40+90+81+90+90+72

49,

所以本地新增無癥狀感染者的平均數(shù)小于本地新增確診病例的平均數(shù)，故。錯誤.

故選：ABC.

根據(jù)折線統(tǒng)計圖逐個分析判斷即可.

本題考查統(tǒng)計圖，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：以。為原點，以4。為x軸，建立平面直角坐標系，如

圖，

???正六邊形邊長為1,

二4(一1,0),B-?),C(1,-?),￡>(1,0)，

設(shè)則誨=(-1-x,-y),MC=(?/一y-y)，

MB=(―^—x,—三—y),MD=(1—x,—y)>

AM+MC=(-1-2x,-^-2y)，

MB+MD=(g-2%,——-2y)>

t=(MA+MC)-(MB+MD)

=(-A2x)?_2x)+(一?-2y)2,

13

+2+2+

4-4yV3y4-

=4%2+4y2+2\T~3y+

=4x2+4(y+_)2

當x=0,y=-、^時■,t的最小值為—；，故C對,

當M為正六邊形的中心時，即x=y=0時，t=g,故A對,

???tG[-；,+8).

??.t可以為0,t沒有最大值，.??故。對，B錯,

故選：ACD.

以。為原點，以4D為x軸，建立坐標系，做一1,0),8(-；,-泊,竭,一三),。(1,0),設(shè)M(x,y),

求出t=4/+4(y+^)2—；,進而可得答案.

474

本題考查平面向量的坐標運算，還考查了計算能力，屬于中檔題.

12.【答案】BD

【解析】解：由已知條件中的旋轉(zhuǎn)，可將正方形ZBCiDi放于兩個全等正方體的公共面上，

正方形4BCD和正方形&BGD2的位置如圖所示，

連接MD1，PC、,PA,Pg,A2Clt如圖所示,

因為平面A8CD〃平面MDiC/,直線42cl與平面MOiQP相交，

則直線4G與平面4BCC相交，所以4選項錯誤；

平面4BGD2與平面4BCD所成的銳二面角可轉(zhuǎn)化為平面4BG4與平面MDiGP所成的銳二面角,

MP_L平面MADiN,ANu平面MADiN,MP1AN,正方形中，M/IAN,

MD〉MPu平面MOiQP,MDrr\MP=M,AN_L平面”。道記，

同理，4PL平面

平面A2BGD2與平面MDiGP所成的銳二面角，等于直線4P與4V所成的角，

由A4PN為等邊三角形，可得所求銳二面角的平面角為60。，故選項。正確.

過。2作。則有。2〃//4B,。2“仁平面ABC。，ABU平面力BCD,D2H//ABCD,

%到平面ABCD的距離等價于H到平面ABCD的距離，如圖所示，

CB==l/BFCi=皿C/=45°,則G"=?，CF=0-1，點C到HF的距離為1一號,

s4HBe=S^HBF-S&HCF-|X(1+?)X1-IX(1+?)X(1一號)=1±y，S^ABC=}'1X

1

1-=2

設(shè)H到平面4BCD的距離為九，根據(jù)等體積關(guān)系人YBC=HBC，

有4九SMBC解得九=1+廠，

由此得外到平面ABCD的距離為當？，故B選項正確；

連接。m2、AD2,如圖所示，

△中，D￡i=IfD2D1=1,Z-D2C1D1=45°,

由余弦定理得Z\D_2,

AD

在Rt。。也中，AD?=Vi+DrD_2'故C選項錯誤.

故選：BD.

將正方形4BC15放于兩個全等正方體的公共面上，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的情況結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，對選

項進行計算和判斷.

本題考查空間圖形的旋轉(zhuǎn)與翻折，考查學(xué)生的空間想象能力和理性的分析能力，將問題歸結(jié)為條

件和結(jié)論明朗化的立凡問題，是中檔題.

13.【答案】-l±y/~2i

【解析】解：方程犬+2%+3=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為

x=Z^=-l±^2i.

故答案為：—1士，至八

利用求根公式直接求解即可

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】17.5

【解析】解：這組數(shù)據(jù)共8個數(shù)，從小到大排列是11,12,13,15,16,17,18,21,

8x,=6,所以第三四分位數(shù)是第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)，即號=175

42

故答案為：17.5.

由分位數(shù)的公式計算.

本題考查分位數(shù)的定義及求法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】看

【解析】解：設(shè)甲同學(xué)答對的事件為4,答錯的事件為工，設(shè)乙同學(xué)答對的事件為B,答錯的事件

為5乙同學(xué)答對的事件為C,答錯的事件為

因為甲同學(xué)答對的概率是黑甲、丙兩位同學(xué)都答錯的概率是之乙、丙兩位同學(xué)都答對的概率是1

Zo5

所以P(4)=Q(4B)=P(4)-P(B)=I，P(BC)=P⑻?P(C)=I，

解得P面=g,P⑻=：,P(C)=：,

所以甲、乙、丙三位同學(xué)中至少2位同學(xué)答對這道題的概率為：

P=P(ABQ+P(4BC)+P(ABC)+P(ABC)，

故答案為：高

設(shè)甲同學(xué)答對的事件為4答錯的事件為乙同學(xué)答對的事件為B,答錯的事件為后，丙乙同學(xué)

答對的事件為C,答錯的事件為根據(jù)題意,由PG4)=:,P(15)=PQ)-P(5)=3P(BC)=

Zo

1———

P(B).P(C)=§求得P(B),P(C),再由P=P(4BC)+P(ABC)+P(ABC)+PQ4BC)求解.

本題考查相互獨立事件的概率計算，屬于中檔題.

16.【答案】喈

【解析】解：依題可得，四面體P—BCD的外接球的球心。為BC中點，外接球半徑r=，N，

要使NAM。取到最大值，則乙4MO=90。，即AM與球。相切時,

.-.sinZM/10=-

在4480中，

AO2=AB2+BO2-2AB?B0-COS/.ABO=4+2-2?2?v7?cosl35。=10,

:.AO=V10,

???sinZ-MAO=三=-^==華，：?AM=VA02—r2=V10—2=2V~~2?

AUV105

過M作MH_LA。，垂足為H,

.?.點M在以“為圓心MH為半徑的圓上，

又MH=AM-sin^MAO=2>J~2x?=

???四面體M-48。體積的最大值為9.S^ABD?MH=：1?2?2?空=冬.

?JOfc?3xo

故答案為：空.

根據(jù)題意，由條件可得NM4。取最大值時4AM。=90°,由余弦定理即可得到A。，然后過M作MH1

A0,即可得到MH,從而得到結(jié)果.

本題主要考查棱錐體積的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題.

17.【答案】解：（1）當;1=|時，AP=jAS,

則汴=CA+AP=CA+lAB

=CA+l(CB-CA)

=|CX+|CF；

（2）法一:

?■■CP=CA+AAB=CA+A(CB-CA)=(1-A)M+ACB-

62+6247

cos乙4cB=

2x6x69

CA-CB=6x6x1=28,

???CP?(G4+CF)=[(1-A)CA+ACB]-(CA^CB)

22

=(1-A)c7+(1-A)CA-CB+ACA-CB+ACB

=36-36A+28-284+284+362

=64；

法二：取48中點。，

則不+詼=2次，且COJL4B,

???CP-（CA+CB）=2CP-CD=2（CD+DP）-CD=2CD2+0=2CD2'

因為力C=BC=6,AB=4,

所以CO=V36-4=

所以麗?（Ei+請）=64.

【解析】（1）利用向量的線性運算可得而=+1面；

（2）利用向量的線性運算可得而=（1-幻方+4區(qū)，利用余弦定理可求C0S4C4B,再利用數(shù)量積

的運算律和數(shù)量積的定義可求方?仁？+編）；我們也可以取AB中點D,利用向量垂直和數(shù)量積的

運算律可求而,（CA+CB）.

本題考查平面向量基本定理和數(shù)量積運算，屬基礎(chǔ)題.

18.【答案】證明：(1)因為三棱柱4BC-4iBiQ為直三棱柱,

所以側(cè)面BCG&,B441B1，C441G均為矩形，

又4B_LBC,所以A/IBC,ZkAiBiCi均為直角三角形，

又=AB=4,BC=3,

AC—VAB2+BC2=V42+32=5?

所以三棱柱ABC-4&G的側(cè)面積為Q4B+BC+AC)?441=(3+4+5)x4=48.

所以三棱柱ABC-的側(cè)面積為48.

(2)連接當。，設(shè)BiCCBG=。，連接0D,

???四邊形BCG/為矩形，

。為&C的中點，

???。為4c的中點，二0D〃4Bi，

ABtC平面ODu平面BQ。，

???AB]〃平面BC1。.

【解析】(1)直三棱柱的側(cè)面是均為矩形，求側(cè)面積就是求矩形的面積之和；

(2)通過構(gòu)造三角形的中位線證明直線與直線平行，然后利用直線與平面平行的判定定理.

本題運用構(gòu)造三角形中位線，勾股定理逆定理，考查棱柱的側(cè)面積，直線與平面平行，是基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)從中任取一球，分別記得到紅球、黃球、藍球為事件4B,C,

因為4,B,C為兩兩互斥事件，

(P(4)+P(B)+P(C)=1

由已知得(P(4)+P(B)=%3,

、P(B)+P(C)=1

，P(4)=1

解得vP(B)=:,

[P(C)=；

???盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)分別是2,1,1；

(2)(i)由(1)知紅球、黃球、藍球個數(shù)分別為2,1,1,用1,2表示紅球，用a表示黃球，用b表示

藍球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m,n)表示試驗的樣本點，

則樣本空間0=｛(1,1),(1,2),(l,a),(l,b),(2,1),(2,2),(2,a),(2,b),(a,1),(a,2),(a,a),

(a,b),(瓦1),Q,2),(瓦a),(瓦b)｝；

(")由(i)得n(0)=16,記“取到兩個球顏色相同”為事件M,“取到兩個球顏色不相同”為事件

N,

則n(M)=6,

所以P(M)=2=|，

所以P(N)=1-P(M)=1-|=|,

因為仁焉所以此游戲不公平.

OO

【解析】(1)從中任取一球，分別記得到紅球、黃球、藍球為事件4B,C,根據(jù)4B,C為兩兩

(P(4)+P(B)+P(C)=1

3

互斥事件，由｛P(4)+P(B)=%求解.

、P(B)+P(C)=：

(2)(。根據(jù)紅球、黃球、藍球個數(shù)分別為2,1,1,用1,2表示紅球，用a表示黃球，用b表示藍球，

m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m,n)表示試驗的樣本點，列舉出來；(五)由⑴利

用古典概型的概率求解.

本題主要考查了樣本空間的定義，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)估計這100名員工近一周每人手機日使用流量的眾數(shù)450,

由頻率分布直方圖可知流量少于300M的所占比例為30%,

流量少于400M的所占比例為55%,

故抽取的100名員工近一周每人手機日使用流量的中位數(shù)在[300,400)內(nèi)，

則中位數(shù)為300+(400-300)x=380.

U.bb-U.D

(2)(i)證明：總樣本的方差為：

S2=熹0g式-3)2+S"=l(y；-

=念[￡之式々-x)?+￡?]2(陽一x)(x-3)+X巴I(X-3)2+￡；=i(%-y)2+￡%i2(yi-

分G-B)+￡%1(3—石聲

由￡曙1(勺一%)=2之一加無=o，可得：

2(Xi-x)(x-o))=2(%-3)￡曙式勺一%)=0,

同理可得2；=12(乃-y)Q-co)=0,

故6=高膽(々一分2+Zmi(-_-)2+￡%](”__y)2+力(亍-不2]

=—^—{m[s_l；

m+nii

(it)估計該企業(yè)全體員工手機日使用流量的平均數(shù)為:

20x800+40x1100

0)=1000M,

20+40

由(i)知，估計該企業(yè)全體員工手機日使用流量的方差為：

1

s2=----；—{m[s1

m+nlL~

=^{20(10000+(800-1000)2]+40[40000+(1100-1000)2]}=50000.

【解析】(1)由頻率分布直方圖中眾數(shù)為最高矩形橫坐標的中點，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積

相等可解；

(2)(i)根據(jù)方差的定義，證明總樣本方差公式；

3)利用總樣本平均數(shù)和方差公式可解.

本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查平均數(shù)，中位數(shù)以及方差的定義，是中檔題.

21.【答案】解：(1)證明：如圖，連接BD,

因為側(cè)面PBCJ■底面ABCD,側(cè)面PBCn底面2BCD=BC,PB1BC,PBu底面PBC,

所以PB1底面ABC。，

且ACu平面ZBCD,可得4CJ.PB.

在正方形4BCD中，AC1BD,

PBCBD=B,BDu平面PBD,PBu平面PBD,

所以AC，平面PBD,

且POu平面PB。，可得ACIP。.

(2)因為AB〃CD,ABC平面PCD,CDu平面PCD,

所以4B〃平面PCD,

過8作8MJLPC,垂足為M,連接4M,

P

因為側(cè)面P8C1底面ABC。，側(cè)面PBCn底面ABCD=BC,CD1BC,CDu底面ZBCD,

所以CD_L底面PBC,

且BMu底面PBC,可得BM1CD,

PCCCD=C,PC,COu平面PCO,可得BM1底面PC。，

則4到平面PCD的距離即為B至lj平面PCD的距離BM,

由力C與平面PCD所成的角為30。，