6.2.3平面向量的數(shù)乘運(yùn)算（原卷版）

6.2.3平面向量的數(shù)乘運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一向量的數(shù)乘運(yùn)算定義一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作長(zhǎng)度方向的方向與的方向相同的方向與的方向相反規(guī)定當(dāng)＝0或時(shí)，；微點(diǎn)撥：①數(shù)乘向量仍是向量，實(shí)數(shù)與向量不能相加.②中的實(shí)數(shù)叫作向量的系數(shù).③向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義是把沿著的方向或的反方向長(zhǎng)度擴(kuò)大或縮小幾倍．④當(dāng)＝0或時(shí)，，注意是，而不是0.若，則＝0或.⑤當(dāng)時(shí)，向量是與向量同向的單位向量.知識(shí)點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)為實(shí)數(shù)，那么(1)；(2)；(3).特別地，.知識(shí)點(diǎn)三向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量．對(duì)于任意向量，以及任意實(shí)數(shù)，恒有.微點(diǎn)撥：實(shí)數(shù)與向量可以求積，但不能求和或求差知識(shí)點(diǎn)四向量共線定理向量與共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使.微點(diǎn)撥：①向量共線定理中規(guī)定，因?yàn)槿绻?dāng)時(shí)，，可以是任意實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，值不存在．②的值是唯一存在的．③當(dāng)向量同向時(shí)，；當(dāng)向量反向時(shí)，.考點(diǎn)一向量的線性運(yùn)算提分筆記向量線性運(yùn)算的基本方法1．類(lèi)比法：向量的數(shù)乘運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類(lèi)項(xiàng)”“公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．2．方程法：向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算．題型一向量的數(shù)乘運(yùn)算1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．與的方向相反 B．與的方向相同C． D．2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知m、n是實(shí)數(shù)，、是向量，對(duì)于命題：①

②③若，則

④若，則其中正確命題的個(gè)數(shù)是：（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求下列未知向.(1)；(2)；(3).題型二向量的混合運(yùn)算1．（2023下·重慶綦江·高一校考期中）化簡(jiǎn)為（

）A． B．C． D．2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若向量，，則.考點(diǎn)二用已知向量表示相關(guān)向量提分筆記1．直接法2．方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則或平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．3．中點(diǎn)向量公式若M為AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OM＝OA+題型一不含參數(shù)1．（2023上·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．記，，則（

）A． B． C． D．2．（2023下·廣西欽州·高一浦北中學(xué)?？计谥?，多選）如圖，設(shè)兩點(diǎn)把線段三等分，則下列向量表達(dá)式正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知中，，則（

）A． B． C． D．4．（2023下·山東濰坊·高二校聯(lián)考期末）已知平行四邊形中，M，N，P分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，若，，則等于（

）．A． B． C． D．5．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）在中，若，．(1)若P、Q是線段BC的三等分點(diǎn)，求證：；(2)若P、Q、S是線段BC的四等分點(diǎn)，求證：；(3)如果、、、…、是線段BC的等分點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？不必證明．（已知）題型二含參數(shù)1．（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在線段AC上，且，點(diǎn)F為線段AD的中點(diǎn)，記，則（

）A． B． C． D．2．（2023上·湖南邵陽(yáng)·高三校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，若，則．3．（2024上·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┰谥校珼為AC上一點(diǎn)且滿足若P為BD的中點(diǎn)，且滿足則的值是（

）A． B． C． D．題型三已知關(guān)系式的變形1．（2023上·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C．2 D．32．（2022下·河北石家莊·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知平面上不共線的四點(diǎn)，若，則等于（

）A． B． C． D．3．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期中）在中，，，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則等于（

）A． B． C． D．4．（2019·廣東·校聯(lián)考一模）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足則（

）A． B．C． D．考點(diǎn)三向量共線的判定及應(yīng)用應(yīng)用共線向量定理時(shí)的注意點(diǎn)(1)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．(2)向量共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)，使成立；若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，則向量不共線．題型一向量共線問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）判斷下列各小題中的向量，是否共線：(1)，；(2)，（其中兩個(gè)非零向量和不共線）；(3)，.2．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AD，DC的中點(diǎn)，BE，BF分別交AC于M，N．求證：M，N三等分AC．題型二證明或判斷三點(diǎn)共線提分筆記一般來(lái)說(shuō)，要判定三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)，使得即可．1．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，求證，，三點(diǎn)共線.2．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知，，，求證：A，B，C三點(diǎn)共線．3．（2022上·廣西玉林·高二校考階段練習(xí)）已知向量，不共線，且，，，則一定共線的是（

）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)兩向量與不共線，若，，，則為何值時(shí)，三點(diǎn)共線？題型三利用向量共線求參數(shù)提分筆記已知向量共線求，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解．1．（2023下·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)在線段上，且，若向量，則（

）A．2 B． C． D．2．（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，若點(diǎn)滿足，，則.3．（2023·高一單元測(cè)試）在中，，，，分別是邊，，的中點(diǎn)，是的重心，若，則.4．（2018·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，中任意兩個(gè)都不共線，并且與共線，與共線，那么等于（）A． B．C． D．考點(diǎn)四三角形四心問(wèn)題題型一三角形四心的判斷1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的軌跡一定通過(guò)的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則點(diǎn)是的（

）A．重心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．外心3．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心4．（2022上·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，滿，，則點(diǎn)依次是的（

）A．重心，外心 B．內(nèi)心，外心 C．重心，內(nèi)心 D．垂心，外心題型二已知三角形四心的向量表示1．（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）設(shè)為的重心，則（

）A．0 B． C． D．2．（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P在所在平面內(nèi)，滿足，且，則（

）A． B．1 C． D．2題型三向量與基本不等式交匯問(wèn)題1．（2024上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若均為正數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2．（2024上·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谀┤鐖D所示，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線分別與邊、交于、兩點(diǎn)