《統(tǒng)考版》高考數(shù)學（理科）一輪練習專練51橢圓

專練51橢圓命題范圍：橢圓的定義、標準方程與簡單的幾何性質(zhì)．[基礎強化]一、選擇題1．橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,6)＝1上一點M到其中一個焦點的距離為3，則點M到另一個焦點的距離為()A．2 B．3C．4 D．52．已知△ABC的頂點B，C在橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長為()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．6 D．123．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，則()A．a(chǎn)2＝2b2 B．3a2＝4b2C．a(chǎn)＝2b D．3a＝4b4．動點P到兩定點F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離之和為10，則動點P的軌跡方程是()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝15．已知橢圓的長軸長為8，離心率為eq\f(3,4)，則此橢圓的標準方程是()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1或eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝16．曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)的()A．長軸長相等B．短軸長相等C．離心率相等D．焦距相等7．[2021·全國乙卷]設B是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上頂點，若C上的任意一點P都滿足|PB|≤2b，則C的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))8．[2021·西寧一中高三測試]設橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若△PF1F2為直角三角形，則△PF1F2的面積為()A．3 B．3或eq\f(3,2)C.eq\f(3,2) D．6或39．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為()A．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2) D.eq\r(3)－1二、填空題10．[2021·全國甲卷]已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|＝|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為________．11．若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為________．12．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，若△PF1F2的面積為9，則b＝________.[能力提升]13．已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝114．[2021·昆明一中高三測試]已知橢圓C:eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1、A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)15．F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率的取值范圍是________．16．已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是________．專練51橢圓1．D∵a＝4，由橢圓的定義知，M到另一個焦點的距離為2a－3＝2×4－3＝5.2．B由橢圓的方程得a＝eq\r(3).設橢圓的另一個焦點為F，則由橢圓的定義得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周長為|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4eq\r(3).3．B由題意得，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,4)，又a2＝b2＋c2，∴eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴4b2＝3a2.故選B.4．B依題意，動點P的軌跡是橢圓，且焦點在x軸上，設方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由c＝4,2a＝10，即a＝5，得b＝eq\r(a2－c2)＝3，則橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.5．B∵2a＝8，∴a＝4，e＝eq\f(c,a)，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,7)＝1.6．D∵c2＝25－k－(9－k)＝16，∴c＝4，∴兩曲線的焦距相等．7．C解法一依題意，B(0，b)，設P(acosθ，bsinθ，θ∈[0,2π)，因為|PB|≤2b，所以對任意θ∈[0,2π)，(acosθ)2＋(bsinθ－b)2≤4b2恒成立，即(a2－b2)sin2θ＋2b2sinθ＋3b2－a2≥0對任意θ∈[0,2π)恒成立．令sinθ＝t，t∈[－1,1]，f(t)＝(a2－b2)t2＋2b2t＋3b2－a2，則原問題轉(zhuǎn)化為對任意t∈[－1,1]，恒有f(t)≥0成立．因為f(－1)＝0，所以只需－eq\f(2b2,2a2－b2)≤－1即可，所以2b2≥a2，則離心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))≤eq\f(\r(2),2)，所以選C.解法二依題意，B(0，b)，設橢圓上一點P(x0，y0)，則|y0|≤b，eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，可得xeq\o\al(2,0)＝a2－eq\f(a2,b2)yeq\o\al(2,0)，則|PB|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－b)2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－2by0＋b2＝－eq\f(c2,b2)yeq\o\al(2,0)－2by0＋a2＋b2≤4b2.因為當y0＝－b時，|PB|2＝4b2，所以－eq\f(b3,c2)≤－b，得2c2≤a2，所以離心率e＝eq\f(c,a)≤eq\f(\r(2),2)，故選C.8．C由已知a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，若P為短軸的頂點(0，eq\r(3))時，∠F1PF2＝60，△PF1F2為等邊三角形，∴∠P不可能為直角，若∠F1＝90°，則|PF1|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2)，S△PF1F2＝eq\f(1,2)·eq\f(b2,a)·2c＝eq\f(3,2).9．D不妨設橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵∠PF2F1＝60°，∴|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c＝2a.∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.10．8解析：根據(jù)橢圓的對稱性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四邊形PF1QF2為對角線相等的平行四邊形，所以四邊形PF1QF2為矩形．設|PF1|＝m，則|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，則|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四邊形PF1QF2的面積為|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.11.eq\f(3,5)解析：由題意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，解得e＝eq\f(3,5)或e＝－1(舍去)．12．3解析：∵eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，∴∠F1PF2＝90°，又S△PF1F2＝b2tan45°＝9，∴b＝3.13．B由題意設橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點A為橢圓C的上頂點或下頂點．令∠OAF2＝θ(O為坐標原點)，則sinθ＝eq\f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝eq\f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)＝1－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.故選B.14．A由題意得(0,0)到直線bx－ay＋2ab＝0的距離為a，∴eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，∴a2＋b2＝4b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(2,3)，∴e＝eq\f(\r(6),3).15.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：設P0為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的上頂點，由題意得∠F1P0F2≥90°，∴∠OP0F2≥45°，∴eq\f(c,a)≥sin45°，∴e≥eq\f(\r(2),2)，又0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1.16.eq\r(15)解析：通解：依題意，設點P(m，n)(n>0)，由題意知F(－2,0)，所以線段FP的中點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋m,2)，\f(n,2)))在圓x2＋y2＝4上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋m,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)))2＝4，又點P(m，n)在橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1上，所以eq\f(m2,9)＋eq\f(n2,5)＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－eq\f(3,2)或m＝eq\f(21,2)(舍去)，n＝eq\f(\r(15),2)，所以kPF＝eq\f(\f(\r(15),2)－0,－\f(3,2)－－2)＝eq\r(15